Primer nivel Individual. 8

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Primer nivel Individual. 8, Octava Region

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Cesarator	Aug 5 2006, 10:48 PM Publicado: #1
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caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2006, 11:17 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	un pequeño comentario. El problema 1 puede ser visto como un caso particular, de uno de los problemas de la prueba grupal de 3 y 4 nivel de santiago, melipilla, y rancagua. (con k=4) pero ahí usamos factoriales y ese asunto y creo que acá no se puede. $TEX: Notemos que las permutaciones de números con k dígitos diferentes es igual a k!$ $TEX: y que las cantidades de veces que un número puede repetirse en la unidad en las k! permutaciones es igual a (k-1)!$ por ende la suma de las 24 permutaciones las podríamos escribir de la forma: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \left( k - 1 \right)!\left( {a + b + c + d} \right) \cdot (1000 + 100 + 10 + 1) \hfill \\<br /> 3!\left( {a + b + c + d} \right) \cdot 1111 \hfill \\<br /> 6666\left( {a + b + c + d} \right) \hfill \\<br /> 6666\left( {4 + 5 + 7 + 8} \right) \hfill \\<br /> 6666 \cdot 24 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: ahora lo dividmos por 24 para sacar el promedio:$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \frac{{6666 \cdot 24}}<br />{{24}} = x \hfill \\<br /> 6666 = x \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ mmm igual creo que tengo una pifia por ahí. P.S: igual tengo fe que quizás el problema esté bien por tener tantos 6 xD teniendo en cuenta que "Cesarator" pudo haber intervenido parcial o totalmente en el problema cuando lo plantearon. P.S 2: me había equivocado dividí por 4 y no por 24 xD. (por killua me di cuenta) --------------------

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2006, 11:24 PM Publicado: #3
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Este problema no es más que una aplicación del Problema 6 parte a del Primer y Segundo Nivel Grupal $TEX: $\boxed{\mathcal{S}_{P1}}$$ $TEX: \noindent Primero generalicemos, llamando a los cuatro d\'igitos $a,b,c$ y $d$. Sabemos que son $24$ permutaciones, luego, $a$ estar\'a seis veces en la unidad de mil, seis veces en la centena, seis veces en la decena y seis veces en la unidad. An\'alogamente para $b,c$ y $d$. Para que me crean, aqu\'i est\'an las permutaciones:<br /><br />$$abcd$$<br />$$abdc$$<br />$$acbd$$<br />$$acdb$$<br />$$adbc$$<br />$$adcb$$<br />$$bacd$$<br />$$badc$$<br />$$bcda$$<br />$$bcad$$<br />$$bdac$$<br />$$bdca$$<br />$$cabd$$<br />$$cadb$$<br />$$cbad$$<br />$$cbda$$<br />$$cdab$$<br />$$cdba$$<br />$$dabc$$<br />$$dacb$$<br />$$dbac$$<br />$$dbca$$<br />$$dcab$$<br />$$dcba$$$ $TEX: \noindent Luego, su suma queda dada por:$ $TEX: \noindent$6a\cdot{1000}+6a\cdot{100}+6a\cdot{10}+6a+6b\cdot{1000}+6b\cdot{100}+6b\cdot{10}+6b+6c\cdot{1000}+6c\cdot{100}+6c\cdot{10}+6c+6d\cdot{1000}+6d\cdot{100}+6d\cdot{10}+6d$$ $TEX: \noindent Factorizando y sacando el promedio, nos queda:<br /><br />$$\dfrac{6666\cdot(a+b+c+d)}{24}=\dfrac{1111(a+b+c+d)}{4}$$<br /><br />\noindent Aplicando al problema:<br /><br />$$\dfrac{1111(4+5+7+8)}{4}=6666$$$ Saludos PD: se nota que el problema lo hizo Cesarator PD2: ojo que caf_tito editó -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2006, 11:43 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />\[<br />\begin{gathered}<br /> N = 3^{2006} + 27^{669} \hfill \\<br /> N = 3^{2006} + 3^{2007} \hfill \\<br /> N = 3^{2006} \cdot 4 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: como$ [es obviamente multiplo de 3] $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> 3^{2006} = 3k \hfill \\<br /> N = 3k \cdot 4 \hfill \\<br /> N = 12k \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ le dejo el b a killua --------------------

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2006, 11:50 PM Publicado: #5
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Esta prueba era más entretenida que la de Santiago $TEX: $\boxed{\mathcal{S}_{P2}}$$ $TEX: \noindent Notemos que:<br /><br />$$27^{669}=(3^3)^{669}=3^{2007}$$<br /><br />\noindent Luego:<br /><br />$$\mathcal{N}=3^{2006}+3^{2007}=3^{2006}(1+3)=3^{2006}\cdot{4}=3^{2005}\cdot{3}\cdot{4}=3^{2005}\cdot{12}$$$ $TEX: \noindent La parte $(a)$ est\'a resuelta (es m\'ultiplo de $12$)$ $TEX: \noindent Sabemos que:<br /><br />$$3^2\equiv{-1}(Mod.10)$$<br />$$(3^2)^{1003}\equiv{(-1)^{1003}}(Mod.10)$$<br />$$3^{2006}\equiv{-1}(Mod.10)$$<br /><br />\noindent Por lo tanto $3^{2006}$ termina en $9$$ $TEX: \noindent Ten\'iamos:<br /><br />$$3^{2006}\equiv{-1}(Mod.10)/\cdot{3}$$<br />$$3^{2007}\equiv{-3}(Mod.10)$$<br />$$3^{2007}\equiv{7}(Mod.10)$$$ $TEX: \noindent $3^{2007}$ termina en $7$, luego $\mathcal{N}$ termina en $9+7=16$, o sea, termina en $6$$ Saludos PD: caf_tito me quitaste el (a) -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2006, 11:53 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	jaja sí, es que te vi posteando xD y por eso. Pero el B) no supe como sacarlo, puesto que no sé congruencia de módulo (pero estamos en ello xD) ahora tengo una duda, hay otra forma de hacerlo sin usar eso? porque no creo que un alumno "normal" de primerio medio, maneje congruencia de módulo.... --------------------

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2006, 10:45 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Lo que sí puede hacer un alumno de primero medio (al menos, yo supongo que esto esperaba Cesarator) es observar el dígito final que deja cada potencia de 3, y cada potencia de 27, para darse cuenta de la periodicidad. Y argumentar o intentar argumentar de algún modo -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Cesarator	Aug 6 2006, 11:28 AM Publicado: #8
Invitado	efectivamente, se espera justificaciones y argumentos. Si se trata de demostraciones en toda formalidad, ok, pero bastara observar que las potencias de 3 siguen la periodicidad (en su ultimo digito) 3-9-7-1 -3 -9 -7 -1 -.... Este tipo de problemas, in mi opinion, pueden plantearse a estudiantes de corta edad. Va uno similar en Octavo basico

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