Cuarto Nivel Individual Opciones

[Gp20]

1. Se coloca cada uno de los dígitos de {1,2,...,9} en las 9 casillas de un cuadrado de 3x3, de forma arbitraria. cada fila y cada columna determina el número de 3 cifras (leídos de izquierda a derecha y de arriba a abajo). Llamaremos S a la suma de los 6 números anteriores. ¿Pueden colocarse los nueve dígitos de manera que S sea igual a 2004?

2.

[Nico]

hola...estaba mirando el problema 1, me acuerdo ese nos salio cuando fuimos al saint rose...tb recuerdo q me di como 1000 vueltas y no me dio...bue, ahora intente hacerlo denueo y TRIUNFO!!! salio...aqui va:

escribamos el cuadrado de la siguiente forma

A B C
D E F
G H I

donde A...I representan números del 1 al 9, todos distintos
escribamos las 6 sumas:
s1=100A+10B+C
s2=100D+10E+F
s3=100G+10H+I
s4=100A+10D+G
s5=100B+10E+H
s6=100C+10F+I

pero 100A+10B+C=(congruente)A+B+C(Mod9)
haciendo lo mismo con todas las sumas tenemos
s1=A+B+C(Mod 9)
s2=D+E+F(Mod 9)
s3=G+H+I(Mod 9)
s4=A+D+G(Mod 9)
s5=B+E+H(Mod 9)
s6=C+F+I(Mod 9)
sumando todas las "ecuaciones" anteriores, tenemos
s1+s2+s3+s4+s5+s6=2(A+B+C+D+E+F+G+H+I)(Mod9)

recordemos q cada letra representa a un digito diferente(sin contar el 0), asi q independiente del valor q tome cada una
A+B+C+D+E+F+G+H+I=45(suma de 1 a 9)
luego
s1+s2+s3+s4+s5+s6=90=0(Mod 9)
veamos que 2004=6(Mod9)
luego s1+s2+s3+s4+s5+s6 no puede ser iwal a 2004, pues ni siquiera son congruentes (Mod9) y si fueran iwales, serian necesariamente congruentes en cualkier modulo....
esop...ojala y este correcto

[Rurouni Kenshin]

Para el problema 2, les puede ser de utilidad la solucion dada por Pily a este problema http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=163

Razonando de esa manera podrian obtener el area del primero de los cuadrados en funcion de ambos catetos.
Deberia darles

Para el segundo cuadrado les recomienzo utilizar nuevamente semejanza, relacionando las bases y alturas de "ciertos triangulos", para asi obtener una expresion del lado del triangulo en funcion de la hipotenusa y de la altura relativa a ella.
Deberia darles

Luego comparen ambas areas y recuerden un conocido teorema(yo no dije pitagoras)

Ojo que no es que quiera ayudarles

Saludos

PD: Recuerdo que este problema aparecio en una clasificacion para la Olimpiada Nacional, asi que no pueden dejar de hacerlo.