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Segundo Nivel Individual, Santiago, Rancagua, Melipilla, Talagante

daniel_contreras... daniel_contreras(IN) Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2006, 08:01 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 18 Registrado: 15-December 05 Miembro Nº: 470 Nacionalidad: Sexo:	(1) ¿Cuántos números naturales hay entre $TEX: $2^{2006}$$ y $TEX: $2^{2007}$$ ? (2) La siguiente figura muestra un polígono (cruz) de 12 lados de igual medida. Además, dos lados adyacentes son perpendiculares entre sí. Se une el centro de la figura con algunos vértices formando cuatro triángulos que se han pintado. ¿Qué proporción hay entre el área pintada y el área sin pintar?

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2006, 08:30 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> x = 2006 \hfill \\<br /> 2^x \wedge 2^{x + 1} \hfill \\<br /> 2^{x + 1} = 2^x \cdot 2 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: Ahora hay que ver cuantos numeros hay entre$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> 2^x \wedge 2^x \cdot 2 \hfill \\<br /> 2^x = q \hfill \\<br /> q \wedge 2q \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ $TEX: 2q-q=q-1 numeros$ $TEX: \[<br />\text{pero como q = 2}^\text{x} = 2^{2006} <br />\]$ $TEX: hay:$ $TEX: <br />\[<br />2^{2006} <br />\]$ $TEX: -1$ $TEX: numeros$ Grax a "xsebastian" que me corrigió que tenía un número demás --------------------

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2006, 09:06 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Sea "a" la medida de un lado del poligono$ $TEX: trazemos una recta paralela a los lados horizontales del poligono, y que pase por el centro, esta recta es AO$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img161.imageshack.us/img161/5221/polgonomr8.jpg');}" /> $TEX: luego $\bigtriangleup AOC$ rectangulo$ $TEX: luego por estar O en el centro$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> AC = \frac{a}<br />{2} \hfill \\<br /> AO = \frac{{3a}}<br />{2} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \text{Para sacar el Area Azul:} \hfill \\<br /> \text{A = AC} \cdot \text{AO} \hfill \\<br /> \text{A = }\frac{{\text{3a}}}<br />{\text{2}} \cdot \frac{\text{a}}<br />{\text{2}} \hfill \\<br /> A = \frac{{3a^2 }}<br />{4} \hfill \\<br /> \text{Se concluye analogamente el area de los cuatros } \hfill \\<br /> \text{triangulos azules}\text{, y contando que estos son congruentes} \hfill \\<br /> \text{Area Azul = }\frac{{3a^2 }}<br />{4} \cdot 4 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \text{El area del poligono es 5}a^2 \text{por ende el area de los triangulos blancos 2a}^\text{2} \hfill \\<br /> \frac{{3a^2 }}<br />{{2a^2 }} = 3:2 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ --------------------

ZeuS Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2006, 09:44 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 209 Registrado: 12-June 05 Desde: Sagrados Corazones Alameda Miembro Nº: 98 Nacionalidad: Sexo:	Para contar los numeros entre $TEX: $2^{2006}$$ y $TEX: $2^{2007}$$ , hay que considerar que en la cantidad, se excluyen los numeros $TEX: $2^{2006}$$ y $TEX: $2^{2007}$$ . Sabemos que del $TEX: $1$$ hasta el $TEX: $2^{2006}$$ , contando el numero $TEX: $2^{2006}$$ , hay $TEX: $2^{2006}$$ numeros naturales. Sabemos tambien que del $TEX: $1$$ hasta el $TEX: $2^{2007}$$ , sin contar al numero $TEX: $2^{2007}$$ , hay exactamente $TEX: $2^{2007} - 1$$ numeros. Luego la resta entre la cantidad de numeros que existen hasta $TEX: $2^{2007}$$ , no contando a $TEX: $2^{2007}$$ y la cantidad de numeros que existen hasta el $TEX: $2^{2006}$$ , contando a $TEX: $2^{2006}$$ ,determinara la cantidad de numeros naturales entre $TEX: $2^{2006}$$ y $TEX: $2^{2007}$$ , entonces, la cantidad de numeros es: $TEX: $2^{2007} - 1 - 2^{2006} = 2^{2006} . ( 2 - 1 ) - 1 = 2^{2006} . 1 - 1 = 2^{2006} -1$$ O sea $TEX: $2^{2006} -1$$ numeros naturales. -------------------- SS - CC , SS - CC , SS - CC , SAGRADOS CORAZONES DE ALAMEDA!! T_TNIVERSIDAD DE CHILE GRACIAS POR EXISTIR!!! VAMOS LOS LEONES!!!

Shevchenja Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2006, 08:53 AM Publicado: #5
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 129 Registrado: 20-June 05 Desde: Santiago ^^ Miembro Nº: 115 Nacionalidad: Sexo:	Solución alternativa al problema 2: screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img86.imageshack.us/img86/592/untitledpaintqu1.png');}" /> Al trazar las alturas desde C a los lados BA y PQ, cayendo en H y H' respectivamente... Donde $TEX: $\dfrac{a}{2}$ = H'Q = H'P = BH = HA$ . Entonces la altura del triángulo ABC = $TEX: $\dfrac{3a}{2}$$ y su base $TEX: AB =a$ . Entonces sacamos el área: $TEX: $\dfrac{3a}{2} * a *\dfrac{1}{2} $$ $TEX: $\dfrac{3a^2}{4}$$ $TEX: $\Longrightarrow$$ que el total de la ragión achurada es $TEX: $3a^2$$ Luego, prolongamos AB y QP hasta intersectarse perpendicularmente en el punto F. Ahora notemos que el FHCH' es un cuadrado de lado $TEX: $\dfrac{3a}{2}$$ y también notemos que tenemos un cuadrado más pequeño, que es el FPDB que tiene lado " $TEX: a$ ". Luego si al área del cuadrado grande (FHCH') le restamos el área del cuadrado pequeño (FBPD) más las áreas achuradas que serían $TEX: $\dfrac{1}{4}$$ del total de las achuradas, nos queda como resultado $TEX: $\dfrac{1}{4}$$ del total de las no achuradas por lo que al final la multiplicamos por 4. Procedamos: $TEX: $\dfrac{9a^2}{4} - \left(\dfrac{3a^2}{4} + a^2\right)$$ $TEX: $\dfrac{9a^2}{4} - \left(\dfrac{7a^2}{4}\right)$$ $TEX: $\dfrac{9a^2}{4} - \dfrac{7a^2}{4}$$ $TEX: $\dfrac{2a^2}{4} = \dfrac{a^2}{2}$$ multiplicamos por 4 $TEX: $2a^2$$ Entonces si la región achurada es $TEX: $3a^2$$ y la no achurada es $TEX: $2a^2$$ entonces $TEX: $\dfrac{3a^2}{2a^2} = \dfrac{3}{2}$$ Y sería.... Muy larga la lesera pero igual está wena Salu2

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