Primer y Segundo Nivel Grupal, Santiago, Rancagua, Melipilla, Talagante Opciones

[ZeuS]

SOLUCION P.6 .
Parte b)

Tenemos que la formula para calcular cuando nos referimos como un numero con cifras ; es:



La divisibilidad esta definida en los numeros enteros, por lo tanto para afirmar que es divisible por es necesario que y que , para asi eliminar el denominador y para que efectivamente sea un numero entero, adems se debe cumplir esa divisibilidad porque ni ni dividen a . Por lo tanto si y dividen a .

El maximo valor de se da cuando y este valor corresponde a , si uno de los digitos varia, es claro que la suma sera menor que y mayor que por definicion.

Con lo anterior concluimos que si y solo si y esto se da solo cuando .

Por lo tanto el unico de cuatro cifras que cumple que la suma de sus cifras son divisible por ( y necesariamente por ) es .

Pero no es , porque no tiene todos sus digitos diferentes. Por lo tanto este truco siempre funciona simplemente porque no existen con que sean divisibles por y por .

[Killua]

SOLUCION P.6 .
Parte b)

Tenemos que la formula para calcular cuando nos referimos como un numero con cifras ; es:



La divisibilidad esta definida en los numeros enteros, por lo tanto para afirmar que es divisible por es necesario que y que , para asi eliminar el denominador y para que efectivamente sea un numero entero, adems se debe cumplir esa divisibilidad porque ni ni dividen a . Por lo tanto si y dividen a .

El maximo valor de se da cuando y este valor corresponde a , si uno de los digitos varia, es claro que la suma sera menor que y mayor que por definicion.

Con lo anterior concluimos que si y solo si y esto se da solo cuando .

Por lo tanto el unico de cuatro cifras que cumple que la suma de sus cifras son divisible por ( y necesariamente por ) es .

Pero no es , porque no tiene todos sus digitos diferentes. Por lo tanto este truco siempre funciona simplemente porque no existen con que sean divisibles por y por .

Nadie dice que el promedio sea entero...

Además, recuerda que el problema consiste en determinar si el número es divisible por 9, no su promedio. Es cosa de citar el número 4-especial 1350,



En ese ejemplo puedes observar que es no entero.

Textualmente, el problema dice así:

Un mago propone realizar el siguiente truco: una persona del público, designada al azar, elige un número 4-especial n (el mago sabe que este número debe ser 4-especial, aunque no conoce su valor preciso). La persona calcula x(n) e informa de este valor al mago. Con esta nueva información, el mago determina si el número es divisible por 9 ¿Por qué razon este truco siempre funciona?

Saludos