Primer y Segundo Nivel Grupal, Santiago, Rancagua, Melipilla, Talagante Opciones

[felipe_contreras...]

Dado un número positivo n, definimos el conjunto asociado a n (que llamaremos A(n)), como el conjunto de todos los números obtenidos al permutar los dígitos de n. Si n tuviese dígitos repetidos, entonces algunas permutaciones coincidirían, en este caso no debemos repetir estas permutaciones. Además, si n tuviese dígitos 0, algunas de estas permutaciones coincidirán, en este casose obtienen números con menos dígitos, que sí deben ser considerados en el conjunto asociado.

Por ejemplo el conjunto asociado a 2006 es:

A(2006)={26,62,206,260,2006,2060,2600,6002,6020,6200}

En este ejemplo, los dígitos de 2006 pueden desordenarse para obtener 0602, esto explica que el número 602 esté en el conjunto A(2006). El mismo tipo de argumentos explica la presencia de todos los elementos de A(206) que son menores de mil.

Una vez conocidos los elementos de A(n), podemos definir las siguientes cantidades:

· La suma asociada a n (que llamaremos s(n)) es la suma de todos los elementos de A(n).

· El promedio asociado a n (que llamaremos x(n)) es el promedio de todos los elementos de A(n).

· El menor asociado a n (que llamaremos m(n)) es el menor elemento de A(n).

· El mayor asociado a n (que llamaremos M(n)) es el mayor elemento asociado a A(n).

Por otra parte diremos que un número es k-especial si tiene k dígitos (el primero de ellos debe ser distinto de cero) y todos son distintos. Diremos que un número es especial si es k-especial para algún valor de k. Diremos que un número es curioso si x(n) = n.

Problema 1.

(a) Explique por qué razón los números 10-especiales son múltiplos de 9. Encuentre también dos números 10-especiales cuya diferencia sea 9.

De todo lo anterior, el máximo común divisor de todos los números 10-especiales será igual a 9.

(b) Para cada encuentre un número k-especial que no sea múltiplo de 9, y encuentre también dos números k-especiales conscutivos.

De este modo, para cada , el máximo común divisor de todos los números k-especiales será igual a 1.

Problema 2.

(a) Encuentre un número curioso con 5 cifras.

(b) Encuentre un número curioso con 2006 cifras.

Problema 3. Encuentre todos los números curiosos menores que cien.

Problema 4.

(a) Considere los números:

n = 1234567891011121314151617....19992000200120022003200420052006
ñ = 20062005200420032002200120001999.....17161514131210987654321

¿Qué puede decirse de los conjuntos A(n) y A(ñ)?

(b) Inicialmente tenemos un número n, y al desordenar sus dígitos obtenemos un número ñ. Supongamos que n y ñ tienen la misma cantidad de dígitos. Compare los conjuntos A(n) y A(ñ).

Problema 5. Sea n un número con la siguiente propiedad: existen dos dígitos de n, que llamaremos a y b, tales que a<b y a está a la izquierda de b(en la representación decimal de n). Encuentre un número ñ>n tal que s(n)=s(ñ).

Problema 6.

(a) Si un número 4-especial n tiene dígitos a,b,c,d leídos de izquierda a derecha, encuentre una fórmula para x(n).

(b)Un mago propone realizar el siguiente truco: una persona del público, designada al azar, elige un número 4-especial n (el mago sabe que este número debe ser 4-especial, aunque no conoce su valor preciso). La persona calcula x(n) e informa de este valor al mago. Con esta nueva información, el mago determina si el número es divisible por 9 ¿Por qué razon este truco siempre funciona?

Mensaje modificado por felipe_contreras(IN) el May 3 2007, 07:52 PM

[caf_tito]

[1]
[2]

[Wiccans]

Problema 4:

para a) y b) es:

se pueden obtener iguales permutaciones
s(n)=s(ñ)
x(n)=x(ñ)
m(n)=m(ñ)
M(n)=M(n)

esto segun yo... si alguien quiere agregar otra cosa por favor hagalo... o correcciones y mas...

[Wiccans]

Problema 2:

a) podia ser un numero de 5 cifras y todas iguales 55555

b)lo mismo que antes pero 2006 cifras...

5555555......55555/ 2006 veces


denuevo necesito correcciones y opiniones y mas...

[Wiccans]

Problema 3:

los numero curiosos menores de 100 son (o eran):

1
2
3
4
5
6
7
8
9
11
22
33
44
55
66
77
88
99

[Shevchenja]

El problema 5 con mi grupo lo imaginamos de la siguiente forma:

Si hay un número n con la condición de que 2 de sus dígitos sean "a" y "b" y que se cumpla que : y con "a" a la izquierda de "b".

Entonces llamamos a:

y que:



Considerando que n y ñ tienen el mismo número de cifras y la misma cantidad de digitos iguales, sólo que permutadas. Entonces ahí se cumpliría que:

y que

Salu2

[S. E. Puelma Moy...]

Los problemas 1 y 2 están bien respondidos... nada que objetar

El problema 4 se puede responder en pocas palabras, pero aquí no está hecho de esa manera. Lo único que veo es un listado de afirmaciones sin mucha explicación.

La solución al problema 3, dada aquí, tiene exactamente todos los números curiosos menores que 100, pero no ha explicado por qué descartar los otros números.

Sobre el problema 5: en primer lugar, el símbolo ñ se puede hacer en modo matemático (LaTeX) como $\tilde{n}$. Luego de eso, la solución es correcta, e incluso el mismo argumento sirve para el problema 4.

En resumen, falta que se respondan los ejercicios 3, 4 y 6

[Killua]

A mi me tocó intervenir en el problema 4, así que procedo a exponer mi solución











Saludos

[Killua]

Esta también me tocó a mi



















Saludos

[Shevchenja]

Para:










Y con los consecutivos:











Y ahí estaría la parte "b" de la pregunta uno...