Para practicar Opciones

[~Fatal_Collapse~]

Sea un triangulo rectangulo isosceles con vertice recto en . Sea un punto sobre la hipotenusa. Sean y los circumcentros de los triangulos y , respectivamente.

Probar que es un cuadrado.

[gabriel_gemh]

D es punto medio de la hipotenusa?

[~Fatal_Collapse~]

D es un punto cualquiera sobre la hipotenusa, distinto de A y C.

Mensaje modificado por Vargüitas DSLU el Dec 6 2008, 01:25 PM

[gabriel_gemh]

Había entendido mal...
Al trazar las mediatrices del cada lado de los 2 nuevos triángulos generados por el punto D, obtenemos los circuncentros correspondientes, y como cada mediatriz es perpendicular a su correspondiente lado , además de ser congruentes éstos ángulos con el ángulo ABC se forma dicho cuadrado. La ubicación del punto D sólo determina la rotación de el cuadrado respecto al triángulo

(No sé usar cabri)
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Mensaje modificado por gabriel_gemh el Dec 6 2008, 01:59 PM

[deixo]

sabi que no tengo idea como demostrarlo... pero hice el dibujo, y está la zorra la propiedad...

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[S. E. Puelma Moy...]

además de ser congruentes éstos ángulos con el ángulo ABC se forma dicho cuadrado.

Esta es la parte que no entendí de tu solución. ¿Qué ángulos son iguales con el ángulo ABC?¿Por qué?

[gabriel_gemh]

Esta es la parte que no entendí de tu solución. ¿Qué ángulos son iguales con el ángulo ABC?¿Por qué?

mmm redacto pésimo, así que no me extraña xD
Lo que quise decir es que como el ángulo ABC=90 entonces MBND tendrá todos sus ángulos de 90
(por ello es cuadrado) pero si ABC fuese distinto de 90 entonces se formaría un rombo,
con 2 ángulos iguales a el ángulo ABC y los otros 2 complementarios.

[felper]

yo quiero responder yo quiero xd, dejenme redactar

[felper]

a ver, yo recien comienzo en estos lugares asi que no se si mi respuesta sea lo suficientemente rigurosa:

Tengamos ciertas consideraciones iniciales. Siendo M el circuncentro del triangulo ADB, MD y MB serán de inmediato circunradios, y por lo tanto, iguales entre si. Analogamente para el triangulo BCD, N circuncentro, DN y DB circunradios iguales entre si. Por lo mencionado anteriormente, tanto MDB como DNB serian triangulos isosceles. Ahora, si trazamos la circunferencia circunscrita a estos triangulos, sucedera lo siguiente:al trazar la circunferencia circunscrita al triangulo ADB, con centro en M, se nos presentara el angulo inscrito DAB, de valor 45, y, subtendiendo al mismo arco, estara DMB, pero en este caso, angulo del centro, cuyo valor sera el doble del angulo inscrito, es decir, 90. Inmediatamente se sigue que los angulos MDB y DBM tienen un valor de 45, pues el triangulo MDB es isosceles. Situacion similar ocurre en el triangulo BDC, al trazar la circunferencia circunscrita, de centro N. Sobre ella tendremos el angulo inscrito DCB, de valor 45, y el angulo del centro DNB, de valor 90. Posteriormente, se sigue que tanto NDB como DBN tienen un valor de 45. Finalmente, tendremos un cuadrilatero con los 4 angulos rectos, con diagonales perpendiculares (MN mmediatriz de DB) y dos pares de lados adyacentes iguales (MD=MB, ND=NB), por lo que tendriamos un caso extremo del deltoide, es decir, un cuadrado =)

[~Fatal_Collapse~]

a ver, yo recien comienzo en estos lugares asi que no se si mi respuesta sea lo suficientemente rigurosa:

Tengamos ciertas consideraciones iniciales. Siendo M el circuncentro del triangulo ADB, MD y MB serán de inmediato circunradios, y por lo tanto, iguales entre si. Analogamente para el triangulo BCD, N circuncentro, DN y DB circunradios iguales entre si. Por lo mencionado anteriormente, tanto MDB como DNB serian triangulos isosceles. Ahora, si trazamos la circunferencia circunscrita a estos triangulos, sucedera lo siguiente:al trazar la circunferencia circunscrita al triangulo ADB, con centro en M, se nos presentara el angulo inscrito DAB, de valor 45, y, subtendiendo al mismo arco, estara DMB, pero en este caso, angulo del centro, cuyo valor sera el doble del angulo inscrito, es decir, 90. Inmediatamente se sigue que los angulos MDB y DBM tienen un valor de 45, pues el triangulo MDB es isosceles. Situacion similar ocurre en el triangulo BDC, al trazar la circunferencia circunscrita, de centro N. Sobre ella tendremos el angulo inscrito DCB, de valor 45, y el angulo del centro DNB, de valor 90. Posteriormente, se sigue que tanto NDB como DBN tienen un valor de 45. Finalmente, tendremos un cuadrilatero con los 4 angulos rectos, con diagonales perpendiculares (MN mmediatriz de DB) y dos pares de lados adyacentes iguales (MD=MB, ND=NB), por lo que tendriamos un caso extremo del deltoide, es decir, un cuadrado =)

La solucion esta muuy larga (esta bien justificada pero no dejas casi nada a la imaginacion del lector)
Las ideas estan buenas (angulos inscritos y los triangulos rectangulos isosceles), y sus justificaciones estan buenas
Con respecto a lo ke esta en negrito me costo entender pero esta bien, es distinto a mi conclusion.
Ahora a esperar que algun moderador se manifieste

Saludos

PD:Bienvenido a este sector

Mensaje modificado por Vargüitas DSLU el Dec 6 2008, 06:41 PM