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VIII OMCS (1997), Paraguay

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 29 2006, 04:30 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	8ª OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS DEL CONO SUR Asunción, Paraguay, 1997 Primera Prueba Problema 1: A cada $TEX: $n\in\{1,\ldots, 99\}$$ le restamos la suma de los cuadrados de sus cifras. ¿Para qué valores de $TEX: $n$$ , esta diferencia es la mayor posible? Problema 2: Sea $TEX: $C=\bigodot(O, r)$$ , $TEX: $\overline{AB}$$ un diámetro de $TEX: $C$$ , $TEX: $R\in{C}-\{A, B\}$$ y $TEX: $P$$ la proyección ortogonal de $TEX: $O$$ sobre $TEX: $\overline{AR}$$ . Sea $TEX: $Q\in\overrightarrow{OP}$$ , tal que $TEX: $2\cdot{QP}=PO$$ , y el orden lineal es $TEX: $O-P-Q$$ . Sea $TEX: $T\in\overleftrightarrow{AR}$$ tal que $TEX: $\overline{QT}//\overline{AB}$$ . Sea $TEX: $H=\overleftrightarrow{AQ}\cap\overleftrightarrow{OT}$$ . Pruebe que $TEX: $H, R, B$$ son colineales. Problema 3: Pruebe que existen infinitas ternas $TEX: $(a, b, c)$$ de naturales, tales que: $TEX: $2a^2 + 3b^2-5c^2=1997$$ Segunda Prueba Problema 4: Considere un tablero de $TEX: $n$$ filas y $TEX: $4$$ columnas. En cada casilla de la primera fila se escribe un cero, y después, cada fila se obtiene a partir de la anterior por medio de la siguiente operación: una de las casillas, a elección, se deja como está, y las otras tres se cambian: si había $TEX: $0$$ se pone $TEX: $1$$ , si había $TEX: $1$$ se pone $TEX: $2$$ , y si había $TEX: $2$$ se pone $TEX: $0$$ . No pueden haber dos filas iguales en el tablero. $TEX: $(a)$$ Construya un tablero con la mayor cantidad posible de filas. $TEX: $(b)$$ Pruebe que no es posible construir un tablero con más filas. Problema 5: Sea $TEX: $n\in\mathbb{Z}^+, n>3$$ . Entre los múltiplos de $TEX: $9$$ menores que $TEX: $10^n$$ , pruebe que la cantidad de números cuyos dígitos suman $TEX: $9(n-2)$$ es mayor que la cantidad de números cuyos dígitos suman $TEX: $9(n-1)$$ . Problema 6: Dados un $TEX: $\triangle{ABC}$$ y un punto $TEX: $X$$ en el plano del triángulo, sean $TEX: $M, N, P$$ las proyecciones ortogonales de $TEX: $X$$ sobre las rectas que contienen a las alturas del $TEX: $\triangle{ABC}$$ . Determine para qué posiciones de $TEX: $X$$ se tiene que $TEX: $\triangle{ABC}\cong\triangle{MNP}$$ Resumen de soluciones Problema 1: Aquí, resuelto por Killua; Aquí, resuelto por xsebastian. Problema 2: Aquí, resuelto por pelao_malo. Problema 3: Aquí, resuelto por xsebastian. Problema 4: Pendiente de solución. Problema 5: Pendiente de solución. Problema 6: Pendiente de solución. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 11 2006, 11:48 PM Publicado: #2
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed{\mathcal{S}_{P1}}$$ $TEX: \noindent Podemos notar que, para los n\'umeros entre $1$ y $9$ inclusive, al restarle sus cuadrados, obtendremos, excepto en el $1$, un n\'umero negativo, que es siempre menor que un positivo. Podemos entonces descartar estos n\'umeros.$ $TEX: \noindent Para los n\'umeros con dos cifras , o sea de la forma $10a+b$ (donde $a$ y $b$ son d\'igitos) , tendremos que, si comparamos un n\'umero con su sucesor:<br /><br />$$10a+b-(a^2+b^2)\neq10a+b+1-(a^2+(b+1)^2)$$<br />$$10a+b-a^2-b^2\neq10a+b+1-a^2-b^2-1-2b$$<br />$$10a+b-a^2-b^2\ge{10a}+b-a^2-b^2-2b$$<br /><br />\noindent Con igualdad si $b=0$, o sea, la diferencia pedida en el enunciado es igual en un n\'umero de la forma $10a$ que en $10a+1$. Podemos concluir que la diferencia, como nos pide el enunciado, es mayor cuando $n$ es de la forma $10a$. As\'i, viendo los casos:<br /><br />$$10-1=9$$<br />$$20-4=16$$<br />$$30-9=21$$<br />$$40-16=24$$<br />$$50-25=25$$<br />$$60-36=24$$<br />$$70-49=21$$<br />$$80-64=16$$<br />$$90-81=9$$<br /><br />\noindent O sea, la diferencia es mayor en los casos $n=50$, $n=51$\\<br /><br />\noindent $\underline{Nota}$: mi duda est\'a en si, por ejemplo, tomo la diferencia $9-9^2=-72$, ?`esta es la mayor?, la diferencia es de $72$ unidades, pero como me dicen n\'umero-suma de los cuadrados de sus cifras, es claro que $-72<25$ (caso tomando la conclusi\'on), pero la diferencia es m\'as amplia.$ Gracias Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 12 2006, 04:55 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Es primero el número, y a continuación restas la suma de los cuadrados de los dígitos. O sea tendremos la fórmula: $TEX: $f(10a+b)=10a+b-a^2+b^2$$ Para cualesquiera dígitos $TEX: $a,b$$ (incluso sirve si $TEX: $a=0$$ , es decir, cuando el número tiene un solo dígito) -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 12 2006, 04:59 PM Publicado: #4
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xsebastian @ Aug 12 2006, 05:55 PM) Es primero el número, y a continuación restas la suma de los cuadrados de los dígitos. O sea tendremos la fórmula: $TEX: $f(10a+b)=10a+b-a^2+b^2$$ Para cualesquiera dígitos $TEX: $a,b$$ (incluso sirve si $TEX: $a=0$$ , es decir, cuando el número tiene un solo dígito) Pero la solución es correcta? A lo que voy, es si tengo la diferencia -78 y la diferencia 1, es más grande 1? (en la solución, sin contar la Nota, apliqué ese criterio). Ahora, si -78 es mayor, estamos hablando de otra cosa. Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 12 2006, 09:55 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Supongo que tu pregunta es: ¿ $TEX: $-78<1$$ ? La respuesta es afirmativa, pues todo número negativo, es menor que todo número positivo. Si quieres, comparto mi respuesta, verás que prácticamente es lo mismo... Queremos maximizar $TEX: $(10a+b)-(a^2+b^2)=a(10-a)+b(1-b)$$ , entonces, como expresamos en el lado derecho de la igualdad, podemos maximizar las expresiones para $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ de manera independiente. La primera se maximiza cuando $TEX: $a=5$$ , lo que es obvio si haces el cambio de variables $TEX: $a=5+c$$ . El segundo se maximiza cuando $TEX: $b\in\{0,1\}$$ , porque ellos anulan la expresión, mientras los otros valores la hacen negativa. En resumen, los valores mínimos son 50 y 51 -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 11 2006, 03:16 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Solución al problema 3 (la comparto con ustedes porque hace mucho lo he intentado y recién por la mañana salió humo blanco ) Por tanteo, sabemos que $TEX: $(31,5,0)$$ es una solución de números enteros. Para buscar infinitas soluciones, pondremos $TEX: $a=31$$ y manipularemos un poco la ecuación: $TEX: \begin{eqnarray}<br />2\cdot31^2+3b^2-5c^2 & = & 1997 \\<br />3b^2-5c^2 & = & 1997-2\cdot31^2 \\<br />3b^2-5c^2 & = & 75<br />\end{eqnarray}$ Deducimos que 5 divide a $TEX: $b$$ y que 3 divide a $TEX: $c$$ , es decir, existen $TEX: $d,e\in\mathbb Z$$ tales que $TEX: $b=5d,e=3e$$ . Reemplazamos en la última igualdad: $TEX: \begin{eqnarray}<br />3\cdot(5d)^2-5\cdot(3e)^2 & = & 75 \\<br />75d^2-45e^2 & = & 75 \\<br />5d^2-3e^2 & = & 5<br />\end{eqnarray}$ Deducimos que 5 divide a $TEX: $e$$ , es decir, existe $TEX: $f\in\mathbb Z$$ tal que $TEX: $e=5f$$ . Reemplazamos en la última igualdad: $TEX: \begin{eqnarray}<br />5d^2-3\cdot(5f)^2 & = & 5 \\<br />5d^2-75f^2 & = & 5 \\<br />d^2-15f^2 & = & 1<br />\end{eqnarray}$ Basta con probar que esta última ecuación tiene infinitas soluciones $TEX: $(d,f)$$ , con $TEX: $d,f\in\mathbb Z^+$$ , pues cada solución de este tipo genera una solución $TEX: $(31,5d,15f)$$ de enteros positivos, para la ecuación original, y además: pares $TEX: $(d,f)$$ distintos generan ternas $TEX: $(a,b,c)$$ distintas. Entonces, definimos las sucesiones $TEX: $(d_k)_{k\ge1},(f_k)_{k\ge1}$$ por las siguientes relaciones de recurrencia: $TEX: $d_1=4,f_1=1$$ $TEX: $d_{j+1}=4d_j+15f_j$$ $TEX: $\forall j\in\mathbb Z^+:f_{j+1}=d_j+4f_j$$ Claramente esta sucesión es de enteros positivos, pues $TEX: $d_1,f_1\in\mathbb Z^+$$ y los demás también por la definición recursiva (la adición y multiplicación son cerradas en $TEX: $\mathbb Z^+$$ ). También de la definición, tanto $TEX: $(d_k)_{k\ge0}$$ como $TEX: $(f_k)_{k\ge0}$$ son estrictamente crecientes. Por lo tanto tenemos una cantidad infinita de pares $TEX: $(d,f)$$ distintos. Basta con probar que $TEX: ${d_k}^2-15{f_k}^2=1$$ , para todo $TEX: $k\in\mathbb Z^+$$ . Esto es evidente para $TEX: $k=1$$ . Supongamos cierto para cierto $TEX: $k$$ y probaremos para $TEX: $k+1$$ $TEX: \begin{eqnarray}<br />{d_{k+1}}^2-15{f_{k+1}}^2 & = & (4d_k+15f_k)^2-15(d_k+4f_k)^2 \\<br />{d_{k+1}}^2-15{f_{k+1}}^2 & = & 16{d_k}^2+120d_kf_k+225{f_k}^2-(15{d_k}^2+120d_kf_k+240{f_k}^2) \\<br />{d_{k+1}}^2-15{f_{k+1}}^2 & = & {d_k}^2-15{f_k}^2 \\<br />{d_{k+1}}^2-15{f_{k+1}}^2 & = & 1<br />\end{eqnarray}$ Esto termina la demostración: hemos encontrado infinitas soluciones $TEX: $(d,f)$$ de enteros positivos a la ecuación $TEX: $d^2-15f^2=1$$ , y de ahí podemos deducir infinitas soluciones $TEX: $(a,b,c)$$ de enteros positivos para la ecuación inicial. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 25 2008, 09:37 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	wena quiero compartir mi solucion al p2 $TEX: \noindent Por Menelao en el $\triangle AHT$ wrt $\overline{QPO}$ tenemos $\frac{AP}{PT}\cdot \frac{TO}{OH}\cdot \frac{HQ}{QA}=1\ \ \ \ \ (i)$ Ahora notemos que como $QT\ \|\|\ AO$ tenemos $\triangle QPT\sim \triangle OPA$ por lo tanto $\frac{AP}{PT}=\frac{OP}{PQ}=2\ \ \ (ii)$. Notar igual que por el mismo paralelismo tenemos $\frac{HQ}{QA}=\frac{HT}{TO}\ \ \ (iii)$. Reemplazando $(ii)$ y $(iii)$ en $(i)$ obtenemos que $QT$ es la paralela media del $\triangle AHO$ wrt $AO$ Por paralelas medias en los tri\'angulos $\triangle ABR$ y $\triangle HRA$ tenemos que $PO\ \|\|\ RB$ y $QP\ \|\|\ HR$ por lo tanto $HB$ pasa por $R$ $\blacksquare$.$ -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 26 2008, 01:09 AM Publicado: #8
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(pelao_malo @ Jun 25 2008, 10:27 PM) wena quiero compartir mi solucion al p2 $TEX: \noindent Por Menelao en el $\triangle AHT$ wrt $\overline{QPO}$ tenemos $\frac{AP}{PT}\cdot \frac{TO}{OH}\cdot \frac{HQ}{QA}=1\ \ \ \ \ (i)$ Ahora notemos que como $QT\ \|\|\ AO$ tenemos $\triangle QPT\sim \triangle OPA$ por lo tanto $\frac{AP}{PT}=\frac{OP}{PQ}=2\ \ \ (ii)$. Notar igual que por el mismo paralelismo tenemos $\frac{HQ}{QA}=\frac{HT}{TO}\ \ \ (iii)$. Reemplazando $(ii)$ y $(iii)$ en $(i)$ obtenemos que $QT$ es la paralela media del $\triangle AHO$ wrt $AO$ Por paralelas medias en los tri\'angulos $\triangle ABR$ y $\triangle HRA$ tenemos que $PO\ \|\|\ RB$ y $QP\ \|\|\ HR$ por lo tanto $HB$ pasa por $R$ $\blacksquare$.$ Excelente solución pelao, muy bien Actualizando resumen de soluciones Saludos. PD: wrt= with respect to? xD -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 26 2008, 09:21 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Killua @ Jun 26 2008, 01:59 AM) PD: wrt= with respect to? xD si =D Mensaje modificado por pelao_malo el Jun 26 2008, 09:21 AM -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 26 2008, 08:45 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Tengo dos objeciones a la solución del calvo maligno: 1.- Creo que usar Menelao en este problema es una exageración... 2.- Mencionaste una semejanza de triángulos, pero los vértices no estaban en el orden adecuado Un saludo -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

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