Tercer Nivel Individual

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Tercer Nivel Individual, Sin resolver :1

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Gp20 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 18 2005, 02:42 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 558 Registrado: 14-May 05 Desde: Maipú, Stgo, Chile Miembro Nº: 27 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	1. Una hoja de papel rectángular (blanca por un lado y azul por el otro), fue doblada 3 veces como se muestra en la figura: screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img324.imageshack.us/img324/881/dibujo3ds2mv.png');}" /> El rectángulo 1 tiene 20 cm. más de perímetro que el rectángulo 2 y éste a su vez tiene 16 centímetros más de perímetro que el rectángulo 3. Determine el área del rectángulo original. 2. ¿Existen números impares $TEX: $x,y,z$$ tales que: $TEX: $(x+y)^2 + (x+z)^2 = (y+z)^2$$ ? problema 2 editado -------------------- El peor defecto del ignorante es que ignora su propia ignorancia................ Educación2020 - Registra tu apoyo individual!!!!

Corecrasher	Mar 5 2006, 03:33 PM Publicado: #2
Invitado	$TEX: $\boxed{S_{p2}}$$ http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=164...8608&#entry8608

Francisco Muñoz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 5 2006, 09:20 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 414 Registrado: 19-May 05 Desde: puente alto, santiago Miembro Nº: 45 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	La solucion al problema no es correcta, ya que se pide que los numeros sean impares. Francisco Muñoz Espinoza -------------------- "No tenemos la solucion a todos los problemas del mundo en nuestras manos... Pero frente a los problemas del mundo tenemos nuestras manos..." Teresa de Calcuta

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 15 2006, 12:01 AM Publicado: #4
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Solucion: $TEX: \noindent Notemos que:\\<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />(x+y)^2+(x+z)^2 &=(y+z)^2\\<br />x^2+2xy+y^2+x^2+2xz+z^2 &=y^2+2yz+z^2\ \ /-y^2-z^2\\<br />2x^2+2xy+2xz &= 2yz\ \ /:2\\<br />x^2+xy+xz &= yz\ \ /+yz\\<br />x^2+xy+xz+yz &= 2yz\\<br />x(x+y)+z(x+y) &= 2yz\\<br />(x+z)(x+y) &= 2yz<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Observamos que el lado izquierdo de esta ultima igualdad es el producto de dos numeros pares \mbox{(``$x+z$" y ``$x+y$", ambos sumas de dos numeros impares ),} por ende es divisible por 4. Sin embargo el lado derecho es el producto de un numero par, y dos impares \mbox{($2$, $y$ y $z$)}, por ende es divisible por 2, pero no por 4. Contradiccion.\\<br />\\<br />Luego no existe una terna $x$, $y$, $z$ de numeros impares tal que sea solucion a nuestro problema.$ PD: Traspasando soluciones al sector oficial del CMAT -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

sí-sí el residen... sí-sí el residente Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2008, 09:33 PM Publicado: #5
Puntaje Nacional PSU Matemáticas Admisión 2010 Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 390 Registrado: 22-July 07 Desde: la granja Miembro Nº: 7.754 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Dibujo.PNG ( 56.82k ) Número de descargas: 3 En la foto vemos lo que corresponde cada letra, vemos que el area del rectangulo mayor es $TEX: $A\cdot B$$ y sabemos por la imagen que $TEX: $A+C=B$$ , $TEX: $D+C=A$$ , $TEX: $E+D=C$$ y por los datos entregado tenemos que: 1. $TEX: $2A+2C=y$$ 2. $TEX: $2C+2D=y-20$$ 3. $TEX: $2E+2D=y-36$$ Tenemos que $TEX: $D+C=A$$ entonces en 2 tenemos $TEX: $2A=y-20$$ entonces reemplazamos en 1 y nos queda $TEX: $y-20+2C=y$$ entonces $TEX: $2C=20$$ por lo tanto $TEX: $C=10$$ Tambien tenemos que $TEX: $E+D=C$$ entonces en 3 tenemos $TEX: $2C=y-36$$ reemplazamos en 2, $TEX: $y-36+2D=y-20$$ entonces $TEX: $2D=16$$ por lo tanto $TEX: $D=8$$ Reemplazamos en 2, nos queda $TEX: $20+16=y-20$$ entonces $TEX: $56=y$$ Sabemos que $TEX: $A+C=B$$ entonces $TEX: $B=28$$ , ahora obtengamos el valor de A, sabiendo que $TEX: $D+C=A$$ , $TEX: $18=A$$ Como tenemos el valor de A Y B, podemos calcular el area del rectangulo mayor $TEX: $18\cdot 28=504$$ $TEX: Por lo tanto el area delrectangulo mayor mide $504cm^{2}$$ saludos -------------------- ...

GoChuck Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 24 2009, 09:35 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 400 Registrado: 27-October 09 Desde: ¡Qué te importa! Miembro Nº: 61.057 Universidad: Sexo:	Tengo la respuesta al 2!! Y es no.. No existe ningún impar que pueda ser así.. Me explico. $TEX: $(x+y)^2+(x+z)^2=(y+z)^2$<br /><br />$x^2+2xy+y^2+x^2+2xy+z^2=y^2+2yz+z^2$$ Cancelando los términos iguales $TEX: <br />$2x^2+2xy+2xz=2yz$<br /><br /><br />(1) $x^2+xy+xz=yz$$ Es bien sabido que un cuadrado de número impar es siempre impar, porque $TEX: $impar = (2n-1)$<br /><br />Entonces<br />$(2n-1)^2 = 4n^2-4n+1$<br /><br />y $4n^2$ es par, porque $n^2$ por $4$ es multiplo de $4$, por tanto, par.<br />Lo mismo con el $4n$. Luego, si le sumamos $1$, es claro que sería impar.$ Entonces, sabemos que en esta nueva ecuación (1), hay un impar. Ahora, a modo experimental podemos reemplazar $TEX: $x, y, z$$ por impares de la forma 2n+x (x siendo impar). A modo de ejemplo. $TEX: $x=2n-1$<br />$y=2n+1$<br />$z=2n+3$$ Luego, re-resolviendo el sistema (1), tendríamos: Impar + $TEX: $4n^2-1 + 4n^2+4n-3=4n^2+8n+3$$ Cancelando un poco $TEX: $12n^2-5+4n=4n^2+8n+3$$ Volviendo a cancelar $TEX: $4n^2-7=4n$$ Y está demostrado.. Porque ningún par menos un impar da par... O sea, se puede dar, pero entonces el número que le estamos restando al par no sería impar, sino que sería una fracción (en este caso el valor de n sería $TEX: $\frac{\sqrt{8} +2}{4}$$ , lo que claramente no es un número Natural (conjunto al cual pertenecen los impares). PD: Está bien la demostración? (aún no sé de esto de demostraciones, sique pongo lo que creo xD) Edit: Oops!! Se me había olvidado poner el x^2 en la ecuación 1 al final xD Pfff.. Creo que está mal lo que hice XD Aunque me da un n que no pertenece a los Naturales, sique creo que no estoy mal.. Pero no sé si sirve sólo para el caso aislado.. Edit2: Lo haré de nuevo.. Creo que ya llegué a un resultado menos chacra, pero ahora tengo que dormir xD Mensaje modificado por GoChuck el Nov 24 2009, 10:13 PM

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