Centro de gravedad, Geometría analítica, se pide ayuda para corregir :) Opciones

[Zen]

Bueno, no soy un experto en esto de las matemáticas, pero tengo un tip que les podría ser útil, y que sirve, por ejemplo, para estar seguros de la respuesta en preguntas como la que se hizo en la PSU del año pasado (centro de gravedad de un cubo).


Partamos con una definición intuitiva del centro de gravedad en triángulos:
"Es el punto donde intersectan las transversales de gravedad, que son rectas que van de un vértice al punto medio del lado opuesto."

Así por ejemplo, en un triángulo tendremos el siguiente centro de gravedad:

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También el centro de gravedad tiene una importante propiedad: si tomáramos la figura, y nos paramos en algún lugar de la tierra donde no haya vientos, y con un alfiler sostuviéramos la figura sobre su centro de gravedad, ésta se equilibraría perfectamente. En figuras planas es fácil aceptar eso, en cambio con figuras espaciales ya es más complicado, por ejemplo en el cubo. Sin embargo podemos hacer un rápido acercamiento al respecto, supongamos que al centro de la figura existe un punto al que pudiéramos atar una cuerda inmaterial, tal que esta cuerda no afecte la estructura del cubo. Si sostenemos el cubo con esta cuerda, el cubo no se inclina para ningún lado.

Bien, ya con eso, podríamos decir que cualquier cosa tiene un centro de gravedad, pero eso escapa de nuestro objetivo. Lo que nos interesa es respecto a figuras planas y espaciales.


En geometría analítica definimos puntos mediante sus coordenadas (x,y,z,...,n). En el caso del triángulo tenemos 3 puntuos, A B C.

El centro de gravedad para ese triángulo (del tipo que sea) estará determinado por la siguiente expresión:




La demostración analítica de esto tendré que dejarla para cuando tenga más tiempo.
Sin embargo es fácil darse cuenta de qué significan estos números. Primero, cada punto tendrá una absisa (componente x), que si las pusiéramos todas sobre una recta, tendríamos una recta, y si luego obtenemos la media aritmética entre esas componentes, obtendremos el punto que está al medio de todas ellas. Lo mismo hacemos con la ordenada.

De esa forma, un triángulo de vértices (0,0),(0,1),(1,0) tendrá por centro de gravedad el punto



Y si representamos eso en un par de ejes cartesianos:

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Y cláramente vemos que se cumple, (el valor es 0,3 periódico)


Bieno, hasta ahí estamos bien con el triángulo. Notar que no es necesario que el triángulo sea rectángulo, funciona para cualquier rectángulo euclidiano (no tengo conocimientos en otras geometrías, así que no podría decir nada...)

Veamos ahora, si podemos llevar esta fórmula para un cuadrilátero, y dado que éstos tienen 4 puntos, tendríamos que reformular nuestra expresión a:



Ahora veamos si funciona, no quiero hacerlo con un cuadrado porque sé que funciona, me interesa probar con un cuadrilátero cualquiera (a la hora de escribir esto no sé si vaya a funcionar xDD)
Supongamos los vértices A(0,0), B(1,2), C(3,3), D(4,0)
Reemplazando los valores:



Veamos si gráficamente está correcto:

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No sé muy bien cómo se determinar el centro de gravedad de un cuadrilátero, pero he intuido que debe ser ese xD Al menos se ve coherente.


Bien, ahora llevemos la fórmula al espacio. Basándonos en que cada uno de nuestras componentes debe ser el promedio entre sus componentes respectivas, podríamos reformular la expresión para un triángulo en el espacio, como sigue:



¿Será eso cierto? Bueno, suponiendo que tomáramos nuestro triángulo de la figura anterior, y lo levantáramos del suelo una unidad, sería lógico pensar que el centro de gravedad sería el mismo, sólo que una unidad más arriba, si nos vamos a la fórmula:




No tengo forma de representarlo gráficamente, así que apelo a su imaginación xD!


Ahora, llevemos la fórmula para el cubo, lógicamente en el espacio
Recordemos que en el espacio un cubo tiene OCHO puntos, por lo que se hace más complicado, un poco:
Reformulando, sería:



Suponiendo un cubo simple, de lado 1, y ubicándolo en el origen tendríamos los siguientes 8 puntos:
A(0,0,0)
B(1,0,0)
C(0,1,0)
D(1,1,0)

E(0,0,1)
F(1,0,1)
G(0,1,1)
H(1,1,1)

Insertando estos datos en la fórmula:



No cuesta mucho convencerse de que ese punto está justo al centro del cubo


Finalmente, podríamos generalizar la fórmula para cualquier polígono en k-planos:



Pero demostrar eso realmente escapa de mis conocimientos y mi tiempo.
Espero que alguien me pueda orientar, yo creo saber cómo demostrar esta fórmula para figuras planas en un par de ejes, pero para figuras en más ejes, muero xD


También me gustaría que me pudieran ayudar con las definiciones de baricentro, centro de gravedad y centroide, porque estoy un tanto confuso respecto a cada término, además de que no debo ser el único con la misma duda.

Espero sea de utilidad a alguien, Saludos!!

[snw]

se demuestra vectorialmente jony, si queri te mando unos apuntes que tengo por ahi

[deixo]

oohh! wuena!, no tenia idea!, gracias!

[Ulrish]

xD
lo acabo de ver y kede pa la ****
xD
ta la ****!
xD
saluos **!!

[sabrinita]

gracias!..

[Musero]

mi cerebro no funciona ahora, mañana leeré esto, se agradece!

[Luna7]

Buena gracias

[Ghroth]

Muy buen post, no cacho mucho de geometría del espacio pero me quedo muy claro ;D

[Piaa]

Muchas Gracias!!!!! siempre había querido saber como se sacaban estas cosas o alguna formulita... con esto me quedo más que claro !!!! te pasasteeeeeeeeeeeee



saludosssssssss!!!

[andres91]

Excelente tip. No lo sabía. Gracias