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Probar que..., Resuelto por Shevchenja [Medio]

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Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 27 2006, 12:10 AM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema: $TEX: \noindent Probar que la ecuaci\'on $x^3+11^3=y^3$ no tiene soluci\'on para $x$ e $y$ enteros positivos.$ Fuente: Olimpiada Matemática Canadiense, 1972 Saludos y suerte -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Shevchenja Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 10 2006, 05:48 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 129 Registrado: 20-June 05 Desde: Santiago ^^ Miembro Nº: 115 Nacionalidad: Sexo:	Hola... bueno aquí va mi solución: Si : $TEX: $x^3 + 11^3 = y^3$$ $TEX: $y^3 - x^3 = 1331$$ $TEX: $(y-x)(y^2 + xy + x^2)$ = 1331$ Entonces ahora sacamos a mano los divisores de 1331, que son: 1, 11, 121 y 1331. Luego nos ponemos en los casos; Caso 1: donde $TEX: y - x = 1$ y $TEX: $y^2 + xy + x^2 = 1331$$ . Entonces tenemos que: $TEX: $y^2 + xy + x^2$ = 1331$ Y También tenemos que: $TEX: y - x = 1$ elevemos al cuadrado $TEX: $(y-x)^2$ = 1$ $TEX: $y^2 - 2yx + x^2 = 1$$ Entonces restamos ambas: $TEX: \begin{tabular}{rcl\|}<br />$y^2+xy+x^2$ & = & $1331$ \\<br />$y^2-2xy+x^2$ & = & $1$ \\ \hline<br />\end{tabular}$ $TEX: 3xy = 1330 /:3$ $TEX: xy = $\dfrac{1330}{3}$$ Y esto implica que bien "x" o "y" no es entero, porque 1330 no es divisible por 3 y el producto de dos enteros positivos jamás es decimal. Caso 2: con $TEX: y - x = 11$ y $TEX: $y^2 + xy + x^2$ = 121$ Entonces tenemos que: $TEX: $y^2 + xy + x^2$ = 121$ Y también tenemos que: $TEX: y - x = 11$ elevamos al cuadrado $TEX: $(y-x)^2 = 121$$ $TEX: $y^2 - 2xy + x^2 = 121$$ Luego restamos ambas ecuaciones: $TEX: \begin{tabular}{rcl\|}<br />$y^2+xy+x^2$ & = & $121$ \\<br />$y^2-2xy+x^2$ & = & $121$ \\ \hline<br />\end{tabular}$ $TEX: 3xy = 0$ dividimos 3 $TEX: xy = 0$ Entonces llegamos a que "x" o "y" es 0, pero el cero no tiene signo, por lo tanto no es positivo, y como no hay más casos, queda demostrado lo pedido. Salu2!!!!

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 10 2006, 10:35 PM Publicado: #3
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Shevchenja @ Aug 10 2006, 06:48 PM) Hola... bueno aquí va mi solución: Si : $TEX: $x^3 + 11^3 = y^3$$ $TEX: $y^3 - x^3 = 1331$$ $TEX: $(y-x)(y^2 + xy + x^2)$ = 1331$ Entonces ahora sacamos a mano los divisores de 1331, que son: 1, 11, 121 y 1331. Luego nos ponemos en los casos; Caso 1: donde $TEX: y - x = 1$ y $TEX: $y^2 + xy + x^2 = 1331$$ . Entonces tenemos que: $TEX: $y^2 + xy + x^2$ = 1331$ Y También tenemos que: $TEX: y - x = 1$ elevemos al cuadrado $TEX: $(y-x)^2$ = 1$ $TEX: $y^2 - 2yx + x^2 = 1$$ Entonces restamos ambas: $TEX: \begin{tabular}{rcl\|}<br />$y^2+xy+x^2$ & = & $1331$ \\<br />$y^2-2xy+x^2$ & = & $1$ \\ \hline<br />\end{tabular}$ $TEX: 3xy = 1330 /:3$ $TEX: xy = $\dfrac{1330}{3}$$ Y esto implica que bien "x" o "y" no es entero, porque 1330 no es divisible por 3 y el producto de dos enteros positivos jamás es decimal. Caso 2: con $TEX: y - x = 11$ y $TEX: $y^2 + xy + x^2$ = 121$ Entonces tenemos que: $TEX: $y^2 + xy + x^2$ = 121$ Y también tenemos que: $TEX: y - x = 11$ elevamos al cuadrado $TEX: $(y-x)^2 = 121$$ $TEX: $y^2 - 2xy + x^2 = 121$$ Luego restamos ambas ecuaciones: $TEX: \begin{tabular}{rcl\|}<br />$y^2+xy+x^2$ & = & $121$ \\<br />$y^2-2xy+x^2$ & = & $121$ \\ \hline<br />\end{tabular}$ $TEX: 3xy = 0$ dividimos 3 $TEX: xy = 0$ Entonces llegamos a que "x" o "y" es 0, pero el cero no tiene signo, por lo tanto no es positivo, y como no hay más casos, queda demostrado lo pedido. Salu2!!!! Solución correctísima . Felicitaciones, a resueltos (moderadores, hagan su trabajo ) Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

dsadasdasdas Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2012, 04:58 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 219 Registrado: 7-June 11 Desde: Concepcion Miembro Nº: 90.194 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Killua @ Aug 10 2006, 11:35 PM) Solución correctísima . Felicitaciones, a resueltos (moderadores, hagan su trabajo ) Saludos hubiera servido haciendo lo siguiente? $TEX: $11^3=11\cdot (11\cdot 11)=(x-y)(x^2+xy+y^2)$$ donde $TEX: $(x-y)=11 \vee (x^2+xy+y^2)=(11\cdot 11)$$ o $TEX: $(x-y)=11\cdot 11 \vee (x^2+xy+y^2)=11$$ y justificando en ambos casos o estaria incompleta al no considerar 1 y 1331? pd:nunca es tarde para preguntas --------------------

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2012, 05:59 PM Publicado: #5
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(dsadasdasdas @ Jan 28 2012, 05:58 PM) hubiera servido haciendo lo siguiente? $TEX: $11^3=11\cdot (11\cdot 11)=(x-y)(x^2+xy+y^2)$$ donde $TEX: $(x-y)=11 \vee (x^2+xy+y^2)=(11\cdot 11)$$ o $TEX: $(x-y)=11\cdot 11 \vee (x^2+xy+y^2)=11$$ y justificando en ambos casos o estaria incompleta al no considerar 1 y 1331? pd:nunca es tarde para preguntas Tienes que justificar todos los casos, incluido 1 y 1331. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

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