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Propuesto 29, Demostración

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Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 19 2008, 01:08 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Probar que $TEX: $$\sum\limits_{j = 1}^\infty {\frac{{\left( {\zeta \left( {2j + 1} \right) - 1} \right)}}<br />{{2j + 1}}} x^{2j + 1} = \left( {1 - \gamma } \right)x - \ln \left( {\sqrt {\frac{{\sin \left( {\pi x} \right)}}<br />{{\pi x}}} } \right) - \ln \left( {\Gamma \left( {1 + x} \right)} \right) - \ln \left( {\sqrt {\frac{{1 + x}}<br />{{1 - x}}} } \right),\left\| x \right\| < 1$$$ . La Función Gamma les podría servir más de lo que piensan. Mensaje modificado por neo shykerex el Nov 19 2008, 10:44 AM -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Sephiroth99 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 14 2010, 12:55 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.313 Registrado: 28-June 07 Miembro Nº: 7.123 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Usando tu resultado se tiene que: $TEX: $$\left\{ 1 \right\}\ln \left( \Gamma \left( x+1 \right) \right)=-\gamma x+\sum\limits_{k=2}^{\infty }{\frac{\left( -x \right)^{k}\zeta \left( k \right)}{k}}\to \ln \left( \Gamma \left( 1-x \right) \right)=\gamma x+\sum\limits_{k=2}^{\infty }{\frac{\left( x \right)^{k}\zeta \left( k \right)}{k}}$$$ $TEX: $$\left\{ 2 \right\}\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\frac{x^{2j+1}}{2j+1}}=\sum\limits_{j=0}^{\infty }{\frac{x^{2j+1}}{2j+1}}-x=\sum\limits_{j=0}^{\infty }{\int_{0}^{x}{y^{2j}dy}}-x=\frac{1}{2}\int_{0}^{x}{\frac{1}{1-y^{2}}dy}-x=\ln \left( \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \right)-x$$$ $TEX: $$\sum\limits_{j=2}^{\infty }{\frac{\left[ 1-\left( -1 \right)^{n} \right]\zeta \left( j \right)x^{j}}{j}}=2\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\frac{\zeta \left( 2j+1 \right)x^{2j+1}}{2j+1}}$$$ $TEX: $$\left\{ 3 \right\}\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\frac{\zeta \left( 2j+1 \right)x^{2j+1}}{2j+1}}=\frac{1}{2}\ln \left( \Gamma \left( 1-x \right) \right)-\frac{1}{2}\ln \left( \Gamma \left( x+1 \right) \right)-\gamma x$$$ $TEX: $$=\frac{1}{2}\ln \left( x\Gamma \left( 1-x \right)\Gamma \left( x \right) \right)-\gamma x-\ln \left( \Gamma \left( x+1 \right) \right)=-\ln \left( \sqrt{\frac{\sin \left( x\pi \right)}{x\pi }} \right)-\gamma x-\ln \left( \Gamma \left( x+1 \right) \right)$$$ Juntando {2} y {3} $TEX: $$\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\frac{\left( \zeta \left( 2j+1 \right)-1 \right)}{2j+1}}x^{2j+1}=\left( 1-\gamma \right)x-\ln \left( \sqrt{\frac{\sin \left( \pi x \right)}{\pi x}} \right)-\ln \left( \Gamma \left( 1+x \right) \right)-\ln \left( \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \right)$$$ -------------------- Hay dos cosas infinitas: el Universo y la estupidez humana. Y del Universo no estoy seguro

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 16 2010, 10:34 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Correcto, pasar a resueltos. -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

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