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> Propuesto 29, Demostración
Jean Renard Gran...
mensaje Nov 19 2008, 01:08 AM
Publicado: #1


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Probar que TEX: $$\sum\limits_{j = 1}^\infty {\frac{{\left( {\zeta \left( {2j + 1} \right) - 1} \right)}}<br />{{2j + 1}}} x^{2j + 1} = \left( {1 - \gamma } \right)x - \ln \left( {\sqrt {\frac{{\sin \left( {\pi x} \right)}}<br />{{\pi x}}} } \right) - \ln \left( {\Gamma \left( {1 + x} \right)} \right) - \ln \left( {\sqrt {\frac{{1 + x}}<br />{{1 - x}}} } \right),\left| x \right| < 1$$.



Mensaje modificado por neo shykerex el Nov 19 2008, 10:44 AM


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Sephiroth99
mensaje Mar 14 2010, 12:55 PM
Publicado: #2


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Usando tu resultado se tiene que:

TEX: $$\left\{ 1 \right\}\ln \left( \Gamma \left( x+1 \right) \right)=-\gamma x+\sum\limits_{k=2}^{\infty }{\frac{\left( -x \right)^{k}\zeta \left( k \right)}{k}}\to \ln \left( \Gamma \left( 1-x \right) \right)=\gamma x+\sum\limits_{k=2}^{\infty }{\frac{\left( x \right)^{k}\zeta \left( k \right)}{k}}$$

TEX: $$\left\{ 2 \right\}\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\frac{x^{2j+1}}{2j+1}}=\sum\limits_{j=0}^{\infty }{\frac{x^{2j+1}}{2j+1}}-x=\sum\limits_{j=0}^{\infty }{\int_{0}^{x}{y^{2j}dy}}-x=\frac{1}{2}\int_{0}^{x}{\frac{1}{1-y^{2}}dy}-x=\ln \left( \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \right)-x$$

TEX: $$\sum\limits_{j=2}^{\infty }{\frac{\left[ 1-\left( -1 \right)^{n} \right]\zeta \left( j \right)x^{j}}{j}}=2\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\frac{\zeta \left( 2j+1 \right)x^{2j+1}}{2j+1}}$$

TEX: $$\left\{ 3 \right\}\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\frac{\zeta \left( 2j+1 \right)x^{2j+1}}{2j+1}}=\frac{1}{2}\ln \left( \Gamma \left( 1-x \right) \right)-\frac{1}{2}\ln \left( \Gamma \left( x+1 \right) \right)-\gamma x$$

TEX: $$=\frac{1}{2}\ln \left( x\Gamma \left( 1-x \right)\Gamma \left( x \right) \right)-\gamma x-\ln \left( \Gamma \left( x+1 \right) \right)=-\ln \left( \sqrt{\frac{\sin \left( x\pi \right)}{x\pi }} \right)-\gamma x-\ln \left( \Gamma \left( x+1 \right) \right)$$

Juntando {2} y {3}

TEX: $$\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\frac{\left( \zeta \left( 2j+1 \right)-1 \right)}{2j+1}}x^{2j+1}=\left( 1-\gamma \right)x-\ln \left( \sqrt{\frac{\sin \left( \pi x \right)}{\pi x}} \right)-\ln \left( \Gamma \left( 1+x \right) \right)-\ln \left( \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \right)$$


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Hay dos cosas infinitas: el Universo y la estupidez humana. Y del Universo no estoy seguro
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Jean Renard Gran...
mensaje Mar 16 2010, 10:34 AM
Publicado: #3


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Correcto, pasar a resueltos.



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