Tercer Nivel Individual Opciones

[Gp20]

1. La pregunta del tablero, con un tablero de 5x5.

2. Sea ABC un triángulo, en el cual trazamos una recta BD, de modo que D pertenezca a AC. Si AD = 2a, DC = a, <DBC = 15° y <DCB = 45°, encontrar el valor del ángulo <BAC.

[Corecrasher]

1) La sol como todas las otras , con palomar , ver que hay 11 sumas posibles (-5,-4,...0,...,5) que las llamaremos nidos y 12 palomas que son las sumas en el tablero ... como hay menos nidos que cosas que agrupar , almenos en 1 nido habran 2 palomas...

[Corecrasher]

2)

Sea ABC el triangulo de enunciado y BD el segmento con AD=2a y DC=a. Desde el vértice A trazamos la altura del triangulo ABD que corta al segmento BD en E , luego unimos C con E. Sabemos que el ángulo BDC=120 y el ADB=60 por que los ángulos del triangulo suman 180 y ángulos suplementarios respectivamente , concluimos que el ángulo EAD=30 y por ser el triangulo EAD 30,60,90 ED=a ; concluimos que el triangulo EDC es isósceles en D , así que DEC=DCE=30 , lo que implica que ECB=15.
Notemos que BEC y AEC son isósceles en E y AE=a(raiz3) ,por lo cual AEB=ABE=45 , concluimos que x=30+45=75. Q.E.D.