Primer Nivel Individual Opciones

[Gp20]

1. La pregunta del tablero, pero 3x3 (me da flojera postear para los 4 niveles la misma lesera)

2. Se tienen 2 rectas: L y L´, con L || L´. En L marcamos 2 puntos A,B de manera que si miramos los puntos de izquierda a derecha aparezcan en el orden A-B; y en L´ hacemos lo mismo, pero con los puntos C, D . Si AD ∩ BC = O, encuentre la relación entre las áreas AOC y BOD.

[Corecrasher]

SOLU:

Primero que nada devemos fijarnos que sumas posibles existen dentro del problema , las cuales son -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 y 3(esto pues la menor suma posible se obtiene colocando en una fila,columna o diagonal una seguidilla de tres -1,y el mayor valor posible para las sumas es analogamente poner una seguidilla de tres +1). Luego fijarnos que hay 8 sumatorias ( S(f1),S(f2),S(f3),S(c1),S(c2),S(c3),S(d1),S(d2) ) , ahora solo queda decir que por el principio del palomar podemos concluir que siempre se va a repetir una suma , ya que hay 7 sumas posibles y 8 "nidos" , como se indica en la figura.

[Corecrasher]

Sea A1 , A2 y A3 areas de 3 de los triangulos formados por la figura ABCD , sea a la altura de los dos triangulos
Dado que al trazar la altura , cae perpendicular a L y en el otro triangulo tambien , entonces por los angulos de 90,podemos afirmar que se forma un rectangulo , por lo tanto las dos alturas son iguales(lados opuestos de un rectangulo). Ahora bien , fijemonos en el segmento CD , que es la base de los 2 triangulos , uno de area A1+A3 y el otro de A2+A3 , por el criterio de igual base e igual altura , podemos concluir que esos dos triangulos tienen areas iguales , entonces:

A1+A3 = A2+A3
A1=A2

Por tanto estan en la razon 1/1