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OMCS - Prueba por Equipos 1998, Recomendada para alumnos desde 7°

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2005, 06:26 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Usualmente en las olimpiadas de matemáticas (Cono Sur e Iberoamericana, por lo menos, todas las veces que he participado) se hace alguna actividad adicional, para promover una mayor integración de los participantes. El año 1998 se realizó una prueba, y los competidores de la olimpiada formaron grupos de hasta cuatro personas (todos de países distintos), agregando a ellos un par de estudiantes de Salvador (ciudad sede de la olimpiada). Los equipos fueron conformados aleatoriamente. Esta prueba por equipos es recomendable para alumnos desde 7° básico en adelante, su dificultad no es como una prueba de olimpiadas. No deja de ser interesante como guía de ejercicios con varios temas tratados La prueba por equipos tenía un reglamento especial. A continuación lo adaptaré levemente para este foro, para mejor comprensión. Como competencia, ya no sigue vigente, tomando en cuenta el tiempo transcurrido desde su publicación, y aún nadie lo expone. OBJETIVO: Determinar una sucesión de números, que comience con el cartel 1, que indique un camino para llegar al cartel 0, siguiendo las instrucciones a continuación INSTRUCCIONES Cada participante comienza en el cartel 1. Los carteles están numerados de 0 a 12, y las preguntas en cada cartel están en nivel de dificultad creciente (es decir, la pregunta a suele ser más fácil que la pregunta b, y ésta, más fácil que la pregunta c) Cada cartel contiene por lo menos dos preguntas, donde la solución de cada problema debe ser usado para decidir el próximo cartel a ser visitado. Por ejemplo, si la respuesta a una pregunta es x=77, y se pide avanzar al cartel $TEX: $\displaystyle{\frac{x+4}{9}}$,$ entonces el siguiente cartel es el número 9 ATENCIÓN: Cuidado al optar siempre por las más fáciles Hay varias sucesiones que llevan al cartel 0. No serán aceptadas sucesiones incoherentes a los caminos establecidos por los problemas de cada cartel Se ruega NO publicar las soluciones de los problemas, hasta nuevo aviso. Cartel 1 1a) ¿Cuál es el 1998º dígito posterior a la coma en la expansión decimal de $TEX: $\displaystyle{\frac{1}{13}}$$ ? El número del próximo cartel es el antecesor del cuádruplo de la respuesta 1b) Determine naturales $TEX: $m$$ y $TEX: $n$$ , tales que $TEX: $2^n-2^m=2016$$ . Diríjase al cartel $TEX: $n-m+3$$ 1c) En la figua de abajo, el área del $TEX: $\triangle A'B'C'$$ es 10. Determine el área $TEX: $S$$ del $TEX: $\triangle ABC$$ , sabiendo que $TEX: $B'A'=A'B,A'C'=C'A,CB'=B'C'$$ . El número del próximo cartel es $TEX: $\displaystyle{\frac{S}{10}-1}$$ Cartel 2 2a) Tenemos un cuadrado mágico de 5×5, completado con los números de 1 a 25. Cada número es usado exactamente una vez, de modo que todas las columnas, filas y diagonales tengan la misma suma, la suma mágica. Determine la suma mágica de este cuadrado. Para el próximo cartel, sume los dígitos de la respuesta y reste 3. 2b) Diríjase al cartel $TEX: $\displaystyle{(2^0-1)^{1998}+3(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})}$$ Cartel 3 3a) Determine naturales $TEX: $x$$ e $TEX: $y$$ , con $TEX: $x<y$$ tal que $TEX: $x^2+y^2=1997$$ . Vaya al cartel $TEX: $\displaystyle{x-\frac{y}{2}}$$ 3b) Sea $TEX: $S$$ el área de un trapecio isósceles con bases $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ . Las diagonales forman un ángulo de $TEX: $30^\mathrm{o}$$ con las bases. Si $TEX: $a+b=10$$ , determine $TEX: $S\sqrt{3}$$ . Para encontrar el próximo cartel, reste 1 de la respuesta y divida por 6 Cartel 4 4a) Determine la menor solución entera positiva de $TEX: $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1998}$$ . El próximo cartel es $TEX: $\displaystyle{\frac{y}{x}+6}$$ 4b) El $TEX: $\triangle ABC$$ abajo tiene área 10, $TEX: $AD=2,BD=3$$ . Determine el área del $TEX: $\triangle ABE$$ sabiendo que su área es igual a la del cuadrilátero $TEX: $DBEF$$ . El área más 1 es el número del próximo cartel. Cartel 5 5a) ¿Cuántos polígonos convexos tienen un número primo de diagonales? Sume 1 a la respuesta de este problema y descubra el próximo cartel 5b) Suponga que deseamos saber desde cuál ventana de un edificio de 36 pisos es seguro para lanzar huevos hacia abajo, de modo que los huevos no se quiebren al llegar al suelo. Para entonces asuma que: Un huevo que sobrevive a una caída puede ser usado nuevamente Un huevo quebrado debe ser descartado El efecto de una caída es el mismo para todos los huevos (ACLARACIÓN: no importa cuántas veces fue usado antes) Si un huevo se quiebra cuando es lanzado desde una cierta ventana, entonces el huevo se quebrará si es lanzado desde una altura superior Si un huevo sobrevive a una caída, entonces sobrevivirá a una caída menor No se sabe si desde la ventana del primer piso los huevos se quiebran, y tampoco se sabe si desde la ventana del último piso los huevos se quiebran Si tenemos apenas un huevo y quieremos tener certeza de obtener un resultado correcto, el experimento debe ser guiado apenas por un único camino: lance el huevo por la ventana del primer piso; si no se quiebra, lance el huevo por la ventana del segundo piso. Continúe haste que el huevo se quiebre. En la peor de las hipótesis, este método necesitará 36 lanzamientos para ser concluido. Suponga que 2 huevos están disponibles. ¿Cuál es el menor número de lanzamientos de huevos necesarios para garantizar todos los casos? El próximo cartel es la mitad de la respuesta Cartel 6 6a) El $TEX: $\triangle ABC$$ es rectángulo, y la suma de sus catetos es 10. Determine la suma del inradio y del circunradio. El próximo cartel es el antecesor del doble de la respuesta 6b) ¿Cuál es la menor cantidad de dígitos 1 para que el número 111...1 sea divisible por 257? divida la respuesta por 64 y luego sume 1 para llegar al próximo cartel Cartel 7 7a) Determine P=(-1998)(-1997)(-1996)...(1996)(1997)(1998). Diríjase al cartel 2P 7b) Encuentre la menor raíz entera no negativa de la ecuación $TEX: $\displaystyle{x^2-x+\frac{1}{x+1}-1=0}$$ . El próximo cartel es la cuarta potencia de esta raíz. Cartel 8 8a) Tengo 24 Km. de alambrado y quiero, con él, hacer un cercado rectangular con la mayor área posible. ¿Qué dimensiones (en Km.) deben tener los lados de ese rectángulo? Sume 3 al lado menor del rectángulo para obtener el próximo cartel 8b) ¿Cuál es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 20 y 99? Sume 1 a la respuesta y divida por 34 para obtener el próximo cartel. Cartel 9 9a) Tres primos positivos $TEX: $p,q,r$$ verifican $TEX: $p+q=r$$ , con $TEX: $1<p<q$$ . Determine $TEX: $p$$ . El próximo cartel es $TEX: $5p-1$$ 9b) Encuentre una solución natural de $TEX: $x^2+\sqrt{x}=1302$$ . El próximo cartel es $TEX: $\displaystyle{\frac{x-1}{7}}$$ Cartel 10 10a) En medio de un terreno cercado hay un loro. Al principio parece circular, pero observando mejor, se trata de un polígono convexo de 17 lados. "Lindo poli", dice el loro, "Poli gono, polígono", mientras volaba. "Lo que yo quiero saber es cuantas diagonales tiene este polígono". Para llegar al próximo cartel, sume 1 a la respuesta correcta (para la inquietud del loro) y divida por 12 10b) ¿Cuántos divisores positivos tiene 1998? La octava parte de la respuesta indica el próximo cartel 10c) Determine el menor valor de $TEX: $a$$ , para que $TEX: $\displaystyle{\frac{1}{1998}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a}}$$ , donde $TEX: $a,b\in\mathbb{Z}^+$$ . Diríjase al cartel $TEX: $\displaystyle{\frac{a+3}{286}}$$ Cartel 11 11a) Imagine el tablero de ajedrez, pero con todas su casillas blancas. ¿Cuántos cuadrados tiene? Para el próximo cartel, divida el resultado por 34 11b) Usando exactamente una vez los dígitos de 1 a 6, descubra los dos números de tres dígitos cuyo producto es el mayor posible. El proximo cartel es el triple del dígito de las decenas del número impar obtenido. Cartel 12 12a) Estaba ordenando las monedas que me quedaban, cuando me di cuenta que las había dejado de esta forma: * * ** * ** *** **** ***** ****** ******* ******** ********* ********** *********** Pero olvidé contarlas para ver cuántas tenía. Divida el número total de monedas por 15, para obtener el próximo cartel. 12b) Determine $TEX: $\displaystyle{E=20\cdot\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdot...\cdot\left(1-\frac{1}{10^2}\right)}$$ . El próximo cartel es $TEX: $\displaystyle{\frac{E+1}{3}}$$ Cartel 0: FIN DE LA PRUEBA** -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

DoomH~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 2 2008, 03:53 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.429 Registrado: 6-October 07 Miembro Nº: 10.987	Me entretube un buen rato con esta pruebita, gracias. Saludos. PD:Perdon por revivir el tema.xD -------------------- CHAO.

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