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I3 Cálculo II, 2S 2008

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 5 2008, 07:16 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \\<br />\begin{center}MAT1512 - Cálculo II\\<br />Interrogación III - Miércoles 05 de Noviembre de 2008 \end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item \begin{enumerate}<br />\item $\displaystyle \sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^n\log n}{\sqrt{n}}$<br />\item $\displaystyle \sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^n n!}{n^n}$<br />\end{enumerate}<br />\item \begin{enumerate}<br />\item Determine los valores de $p\in\mathbb{R}$ para los cuales la integral<br />\[\int_1^\infty\frac{xdx}{x^p+x^{2/p}}\]<br />converge.<br />\item Determine si la integral <br />\[\int_1^\infty\frac{dx}{\sqrt{\cosh x-1}}\]<br />diverge o converge.<br />\end{enumerate}<br />\item Dependiendo de $a\in\mathbb{R}$, determine el intervalo de convergencia de <br />\[\sum_{n=1}^\infty a^{n^2}x^n.\]<br />\item Siendo $s=\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{k^3}$,<br />\begin{enumerate}<br />\item determine, en términos de $s$, el valor de $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k-1)^3}$,<br />\item demuestre que $\displaystyle\frac{1}{2}<s<\frac{3}{2}$.<br />\end{enumerate}<br />\end{enumerate}<br />$ PD: No sé sumar D: ! -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

mathgirl Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 5 2008, 07:34 PM Publicado: #2
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 66 Registrado: 2-August 07 Miembro Nº: 8.094 Nacionalidad: Sexo:	me gustó este ejercicio, era bonito y fácil, asi que: 1 b- Analizamos convergencia absoluta, con el criterio del límite: $TEX: <br />\[<br />\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{(n + 1)!}}{{(n + 1)^{n + 1} }} \cdot \frac{{n^n }}{{n!}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)^n = \frac{1}{e} < 1<br />\]<br />$ Por lo tanto converge absolutamente

DressedToKill Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 5 2008, 09:11 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.818 Registrado: 21-December 06 Miembro Nº: 3.434	Seguro que la 4 parte de k = 1? EDIT: Bah, ta bien, habia leido que pedian demostrar que s < 1/2. Mensaje modificado por DressedToKill el Nov 5 2008, 09:47 PM -------------------- http://www.youtube.com/watch?v=sp_WV91jx8E...feature=related

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 5 2008, 09:19 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(DressedToKill @ Nov 5 2008, 11:11 PM) Seguro que la 4 parte de k = 1? Sip. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 9 2008, 10:51 AM Publicado: #5
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Es idea mia o la prueba estuvo peluda? No se me ocurre como hacer la 4.a)... me complica el -1 -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 9 2008, 11:17 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(naxoobkn @ Nov 9 2008, 12:51 PM) Es idea mia o la prueba estuvo peluda? No se me ocurre como hacer la 4.a)... me complica el -1 Recuerda que la suma de los términos pares y de los impares debe dar el resultado total. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 9 2008, 04:13 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Abu-Khalil @ Nov 9 2008, 01:17 PM) Recuerda que la suma de los términos pares y de los impares debe dar el resultado total. X2, un ejemplo de ese hecho lo puedes observar en este tema, en el publicado número $TEX: $$13$$$ . -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 11 2008, 03:36 PM Publicado: #8
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> 1.a){\text{ Sea }}f:\left[ {1,\infty } \right) \to \mathbb{R}{\text{ definida por }}f(x) = \frac{{\log x}}<br />{{\sqrt x }} \Rightarrow f'(x) = \frac{{ - \left( {\frac{{\log x}}<br />{{2\sqrt x }} + \frac{1}<br />{{\sqrt x }}} \right)}}<br />{x} \hfill \\<br /> {\text{esto ultimo}}{\text{, dado el dominio}}{\text{, siempre tiene valores menores que cero}}{\text{, por lo tanto}} \hfill \\<br /> f{\text{ es decreciente}}{\text{, ahora:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\log x}}<br />{{\sqrt x }}\overbrace = ^{LH}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - 2}}<br />{{\sqrt x }} = 0 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Como }}f{\text{ es decreciente y su limite es cero}}{\text{, ocupando la serie alternante de Leibnitz}} \hfill \\<br /> \Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n \log n}}<br />{{\sqrt n }}{\text{ converge}}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> 2.a){\text{Para que la integral converga se debe cumplir que:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \int_1^\infty {\frac{x}<br />{{x^p + \frac{{x^2 }}<br />{p}}}dx} = \int_1^\infty {\frac{1}<br />{{x^{p - 1} + \frac{x}<br />{p}}}dx} > \int_1^\infty {\frac{1}<br />{{x^k }}dx} {\text{ }}\forall k > 1 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \Rightarrow \frac{1}<br />{{x^{p - 1} + \frac{x}<br />{p}}} > \frac{1}<br />{{x^k }} \Leftrightarrow x^{p - 2} + \frac{1}<br />{p} < x^{k - 1} \Rightarrow x^{p - 2} < x^{k - 1} \Leftrightarrow p - 2 < k - 1 \Leftrightarrow \boxed{p < k + 1} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ De esta ultima no estoy muy seguro, si alguien me lo pudiese corregir, lo agradeceria P.D: Por fin tengo tiempo para dedicarle mi ocio a las mates (que ñoño xD) -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 11 2008, 04:25 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(naxoobkn @ Dec 11 2008, 05:36 PM) $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> 1.a){\text{ Sea }}f:\left[ {1,\infty } \right) \to \mathbb{R}{\text{ definida por }}f(x) = \frac{{\log x}}<br />{{\sqrt x }} \Rightarrow f'(x) = \frac{{ - \left( {\frac{{\log x}}<br />{{2\sqrt x }} + \frac{1}<br />{{\sqrt x }}} \right)}}<br />{x} \hfill \\<br /> {\text{esto ultimo}}{\text{, dado el dominio}}{\text{, siempre tiene valores menores que cero}}{\text{, por lo tanto}} \hfill \\<br /> f{\text{ es decreciente}}{\text{, ahora:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\log x}}<br />{{\sqrt x }}\overbrace = ^{LH}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - 2}}<br />{{\sqrt x }} = 0 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Como }}f{\text{ es decreciente y su limite es cero}}{\text{, ocupando la serie alternante de Leibnitz}} \hfill \\<br /> \Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n \log n}}<br />{{\sqrt n }}{\text{ converge}}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> 2.a){\text{Para que la integral converga se debe cumplir que:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \int_1^\infty {\frac{x}<br />{{x^p + \frac{{x^2 }}<br />{p}}}dx} = \int_1^\infty {\frac{1}<br />{{x^{p - 1} + \frac{x}<br />{p}}}dx} > \int_1^\infty {\frac{1}<br />{{x^k }}dx} {\text{ }}\forall k > 1 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \Rightarrow \frac{1}<br />{{x^{p - 1} + \frac{x}<br />{p}}} > \frac{1}<br />{{x^k }} \Leftrightarrow x^{p - 2} + \frac{1}<br />{p} < x^{k - 1} \Rightarrow x^{p - 2} < x^{k - 1} \Leftrightarrow p - 2 < k - 1 \Leftrightarrow \boxed{p < k + 1} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ De esta ultima no estoy muy seguro, si alguien me lo pudiese corregir, lo agradeceria P.D: Por fin tengo tiempo para dedicarle mi ocio a las mates (que ñoño xD) Había un error de tipeo en la 2, sry -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 11 2008, 04:53 PM Publicado: #10
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Abu-Khalil @ Dec 11 2008, 05:25 PM) Había un error de tipeo en la 2, sry xD Bueno, ocupando la misma idea $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \int_1^\infty {\frac{1}<br />{{x^{p - 1} + x^{\frac{2}<br />{p} - 1} }}dx > } \int_1^\infty {\frac{1}<br />{{x^k }}dx} {\text{ }}\forall k > 1 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \Rightarrow \frac{1}<br />{{x^{p - 1} \left( {1 + x^{\frac{2}<br />{p} - p} } \right)}} > \frac{1}<br />{{x^k }} \Leftrightarrow \frac{{x^k }}<br />{{x^{p - 1} }} > 1 + x^{\frac{2}<br />{p} - p} > x^{\frac{2}<br />{p} - p} \Rightarrow x^{k - p + 1} > x^{\frac{2}<br />{p} - p} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \Rightarrow k - p + 1 > \frac{2}<br />{p} - p \Leftrightarrow \boxed{p > \frac{2}<br />{{k + 1}}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

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