Semana del 14 al 20 de Julio, Sin solución publicada: 2, 3, 4, 6 Opciones

[tt14123]

entonces sería solo para (me refiero al problema 7) o no, ya que para no sirve o sería igual al vacio??

[S. E. Puelma Moy...]

Los casos n=1 y n=2 no son demasiado interesantes, pero de todos modos pueden estudiarlos. Yo los plantearía del siguiente modo:

Después de todo, son ecuaciones y todas ellas tienen la forma , aceptando el convenio que cuando pasamos de , volvemos a 1 (o sea entendemos como , y también como )

[tt14123]

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[S. E. Puelma Moy...]

Solamente quedan dos cosas por decir de esta solución: está correcta, y más breve y entendible de la que yo había hecho alguna vez (donde intervenían los elementos de la sucesión de Fibonacci, estoy seguro que en algún momento lo había comentado)

Salu y a seguir entrenando y resolviendo los problemas

[Luffy]

Problema 4:

Sean tres puntos A, B y C perteneciente a una circunferencia de centro O tales que <AOB es menor que <BOC. Sea D el punto medio del arco AC que contiene a B. Sea K el pie de la perpendicular a BC por D.
Pruebe que AB + BK = KC.

Saludos a todos

Como es mayor que , podemos determinar un punto , de modo que , luego los triángulos y son congruentes por (los radios y ).
Entonces , luego, si hacemos una simetría del punto respecto , obtenemos .
Luego como es el punto medio del arco , , y como , el triángulo es isósceles con base , luego , por lo tanto el triángulo es isósceles con base . Luego tenemos:


screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img221.imageshack.us/img221/7163/mklis4.png');}" />


Y como el cuadrilátero es cíclico:







Pero:





Luego el triángulo es isósceles con base , por lo tanto , pero como :





Y como :





Saludos

[Caetano]

Solucion correcta, y te invito a que sigas trabajando como lo has hecho resolviendo los problemas de esta semana y otras.

Saludos

Mensaje modificado por Caetano el Oct 17 2006, 09:22 PM

[Pasten]

Solucion correcta, pero aun faltan problemas por resolver en esta semana y otras ( de hace harto tiempo xD)

[palo] En cierta maraton hay un problema que esta esperando una solucion definitiva y que nadie ha querido responder desde hace tiempo por temor a ser tratado de ladron de soluciones... confiamos en que algun dia la persona que posteo "algo asi" como una solucion, nos deleite con un post definitivo para poder continuar. [/palo]

[Luffy]

Ahora viene una tierna historia de familia (bueno ya... tal vez de tierna tiene poco, eso lo deciden ustedes), la dificultad es de olimpiada nacional, con suerte, sólo que en otro contexto. Este es el...
Problema 2: La madre de Antonia compró, para su hija, muchas canicas gigantes, cada una de ellas con 10 cm de radio (las compró de este tamaño para que Antonia, de 2 años, no se las tragara). Su hermano Sebastián quiso diseñar una caja de 20 cm de alto, 160 cm de largo y 1 m de ancho, para así guardar estas canicas, y su padre le compró los materiales y le prestó las herramientas. Mientras construía esta caja con sus otras hermanas, una de ellas preguntó a Sebastián: "¿Cuál es el mayor número de canicas que pueden ser puestas en esta caja?" Sebastián no quiso contestar esa pregunta... sabía que su hermana (de 14 años y sin mucha preparación matemática) iba a hallar de manera inconciente dicho valor.
¿Puede usted hallar ese valor máximo? Por favor justificar su respuesta, para que la hermana de Sebastián pueda entenderlo.

Bueno tratare de dar término a este problema:

Como dijo Corecracher, no se pueden montar las bolitas, luego hay que ponerlas tangentes, y si se ponen tangentes 2 a 2 cada canica, entonces caben 40 canicas, pero como se muestra en la figura:


screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://www.fmat.cl/uploads/post-234-1124087909.jpg');}" />


Caben 41 canicas, cuando y solo cuando, las canicas son tangentes 3 a 3, luego dire que no se pueden poner mas canicas, ya que es imposible hacer que 4 circunferencias sean tangentes 4 a 4 (es decir, que cada una de las 4 canicas sea tangente a las otras 3). Por lo tanto, no se pueden juntar mas, y eso significa que no se puede disminuir el espacio entre las canicas, por lo que no pueden caber mas de 41 canicas en la caja.

[Claudio Espinoza]

Y mi Propuesto 6
En un triángulo ABC, sean I el centro de la circunferencia inscrita y D, E y F sus puntos de tangencia con los lados BC, AC y AB, respectivamente. Sea P el otro punto de intersección de la recta AD con la circunferencia inscrita.
Si M es el punto medio de EF, demostrar que los cuatro puntos P, I, M y D pertenecen a una misma circunferencia.

Solución