Semana del 14 al 20 de Julio, Sin solución publicada: 2, 3, 4, 6 Opciones

[Gp20]

Con respecto al problema de las bolitas,deseo exponer una justificación

Se puede justificar de dos formas: de la manera 1.-bidimencional, o la 2.-tridimencional

De manera 1:

Si las circunferencias son tangentes, pueden ser reemplazadas por cuadrados de lado 20 con una arista en común, dejando de existir  esa área vacía dejada por las circunferencias.
La justificación sería esa: No pueden existir 41 circunferencias debido a que la cant. de cuadraditos(la máxima, por supuesto) es 40(esto es por la división del  área total del cuadrilátero más grande[16000] con el área de uno de los cuadraditos[400]) y no hay manera de poder modificarlo.

De manera dos:

Es lo mismo que lo anterior, reemplazando cuadrados por cubos y circunferencias por esferas.

Lo mismo que se le dijo a Corecrasher: el argumento es poco contundente, y de hecho hay más configuraciones posibles.

[molékula]

Ahora viene una tierna historia de familia (bueno ya... tal vez de tierna tiene poco, eso lo deciden ustedes), la dificultad es de olimpiada nacional, con suerte, sólo que en otro contexto. Este es el...
Problema 2: La madre de Antonia compró, para su hija, muchas canicas gigantes, cada una de ellas con 10 cm de radio (las compró de este tamaño para que Antonia, de 2 años, no se las tragara). Su hermano Sebastián quiso diseñar una caja de 20 cm de alto, 160 cm de largo y 1 m de ancho, para así guardar estas canicas, y su padre le compró los materiales y le prestó las herramientas. Mientras construía esta caja con sus otras hermanas, una de ellas preguntó a Sebastián: "¿Cuál es el mayor número de canicas que pueden ser puestas en esta caja?" Sebastián no quiso contestar esa pregunta... sabía que su hermana (de 14 años y sin mucha preparación matemática) iba a hallar de manera inconciente dicho valor.
¿Puede usted hallar ese valor máximo? Por favor justificar su respuesta, para que la hermana de Sebastián pueda entenderlo.

Buenas a todos, soy José Campos, un integrante nuevo del fmat.cl (recién hoy me registré).
Me asombra ver que aún no se haya resuelto el problema 2 ( ya cumple un mes de propuesto ).
Pues bien, más vale tarde que nunca, acá va mi respuesta :

Tomando en cuenta la opinión de mi conciudadano, el Sr. Flores, que podemos ordenar las canicas en otra "configuración", veremos que la más conveniente es cuando una canica puede quedar junta con la mayor cantidad de canicas posibles, en este caso, 6 canicas, ya que, como la caja tiene 20 cm de alto y las canicas tienen 20 cm de diámetro se hace imposible poner unas sobre otras, así que debo fijarme en un esquema bidimensional.
Las canicas, al agruparlas del modo en que las agrupó CoreCrasher? (disculpas si es que lo escribí mal), ocupan más volumen debido a que cada canica toca sólamente a 4 canicas en el mejor de los casos dejando un volúmen entre canicas bastante mayor y formando cuadrados imaginarios con los centros de cada canica, mi idea es formar un polígono de menos lados con los centros de cada canica, es decir, triángulos, y, como cada canica posee el mismo radio, se formarán triángulos equiláteros de lado = 20cm. Así cada canica toca a seis vecinas y se ahorra bastante el espacio entre canicas.

Se formarán varias filas de canicas, que distan (10·V3)cm entre sí [tomando en cuenta los centros de las filas] , ya que esa es la altura del triángulo equilátero de lado 20 cm. **(V3) es raíz de 3.

Si ordeno las canicas de manera que la primera fila se ubique tocando el lado de 160cm, tendré 8 canicas en la primera fila, 7 en la segunda, 8 en la tercera, 7 en la 4ta hasta finalizar con una quinta fila de 8 canicas. la suma da :
8 + 7 + 8 + 7 + 8 = 38 canicas.
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POR QUÉ no se pueden más filas?? Porque la distancia entre las filas es de (10·V3)cm [tomando en cuenta los centros de las filas] y el radio de la canica es 10cm. si tengo 5 filas, la distancia entre la primera y la quinta es 4 ·(10·V3)cm ya que entre las 5 filas tengo cuatro distancias de (10·V3)cm.
En total (40·V3)cm. eso es aproximadamente 69,3cm, a lo que debo sumar el radio de las canicas de la `primera y de la última fila que no tomamos en cuenta, en total, entre el borde de las canicas de la primera fila y el borde de las de la quinta tengo:
69,3cm + 20cm = 89,3 cm.
Si quiero agregar una sexta fila, no podré, porque a los 89,3cm tendré que agregar (10·V3)cm, resultando 106,6cm entre el borde de las canicas de la primera fila y el borde de las canicas de la sexta, y sólo tengo 100cm.

Pero si ordeno las canicas de tal manera que la primera fila quede tocando el borde de la caja que mide 1m ( es decir 100cm ), tendré 5 canicas en la primera fila, 4 en la segunda, 5 en la 3ra y así sucesivamente hasta tener 5 canicas en la novena fila, la suma de canicas es :
5 + 4 + 5 + 4 + 5 + 4 + 5 + 4 + 5 = 41 canicas!!!!!
 caja_de_bolitas.jpg ( 101.25k ) Número de descargas:  29

Compruebo esto ya que entre la primera fila y la novena fila hay [tomando en cuenta los centros de las filas] 8·(10V3)cm, es decir, 138,6cm aprox. y sumando además los 10cm de radio de las canicas de la primera y novena fila tendremos 158,6 cm en total y la caja mide 160cm, así que sí se puede.
Es evidente que ya no podré agregar más filas, pero COMPROBÉ QUE SE PUEDEN PONER 41 CANICAS EN LA CAJA DE SEBASTIÁN.

yap esop, tardé como 2 horas tratando de usar un lenguaje comprensible. Adios.

[S. E. Puelma Moy...]

Está bien que se pueden poner 41. Yo había pensado en un argumento para decir que era imposible, en realidad sin ponerlo muy en práctica... ahora que pienso ese argumento, me doy cuenta mejor que en realidad estaba malo, no por ser descabellado, sino por un pequeño cálculo que no revisé detalladamente... lo que queda, es ver si podemos poner 42... esta vez tendré que revisar con + cuidado lo que sucede... puede ser que al problema le quede poco tiempo sin solución

[Cesarator]

je je,

un placer ver que se pueden poner mas canicas. Si bien había visto la "otra" configuración, pensaba que se necesitaba más largo en la caja para que pasara a ser la óptima, es decir, para que los "ahorros" de espacio fueran significativos. Todo el mérito a moléculo (Lo escribí bien ? ) por descubrir la configuración.

Retiro lo dicho sobre la obviedad del problema. Uno de los atractivos de la matemática es que se pueden tener mil doctorados e incluso títulos de entrenador , pero nada es más fuerte que un buen argumento. En matemáticas la "autoridad" se gana con buenos argumentos en cada momento... y teniendo un poco más de cuidado! Hasta la idea mas genial, por un descuido se puede ir a

[molékula]

je je,

un placer ver que se pueden poner mas canicas. Si bien había visto la "otra" configuración, pensaba que se necesitaba más largo en la caja para que pasara a ser la óptima, es decir, para que los "ahorros" de espacio fueran significativos. Todo el mérito a moléculo (Lo escribí bien ?  ) por descubrir la configuración.

Retiro lo dicho sobre la obviedad del problema. Uno de los atractivos de la matemática es que se pueden tener mil doctorados e incluso títulos de entrenador  , pero nada es más fuerte que un buen argumento. En matemáticas la "autoridad" se gana con buenos argumentos en cada momento... y teniendo un poco más de cuidado! Hasta la idea mas genial, por un descuido se puede ir a 

[Asombrado] -> Pensé que te habías dado cuenta César!!!!

Pues bien, agradezco el mérito y lamento decir que lo escribiste mal es MOLÉKULA.

Nos estamos viendo entonces, Adios a todos.

[molékula]

Se me olvida decir que el PROBLEMA 2 AÚN NO ESTÁ SOLUCIONADO, HAY QUE DEMOSTRAR QUE NO SE PUEDEN COLOCAR 42 O MÁS CANICAS EN LA CAJA DE SEBASTIÁN.

Yo hice EL aporte al decir que se pueden colocar 41 canicas y no 40 como se había dicho durante UN MES COMPLETO!!!!!!!!!!!!!!.

Pues bien, mi filosofía es : "Todo problema tiene solución, menos la muerte" (Tampoco se puede ir en contra de Dios).

Ánimo, que hay que resolver esto a como de lugar!!.

Esop. Viva Conce!!!!

[NeME]

Aqui va mi solucion al problema 5:


screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://www.jotapeges.com/v5.1/out.php/i35162_solprop5.jpg');}" />


Eso.

NeME

[Rurouni Kenshin]

Aqui va mi solucion al problema 5:


screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://www.jotapeges.com/v5.1/out.php/i35162_solprop5.jpg');}" />


Eso. 

NeME

Tu solucion esta no solamente correcta...sino que esta muy bien redactada(y un muy buen dibujo,siempre necesario cuando es un problema de Geometria)....felicidades y sigue asi....
Y bienvenido al foro por supuesto...
PD:Solo recalco que el descarto una de las soluciones de la ecuacion de segundo grado por ser negativa

[NeME]

PD:Solo recalco que el descarto una de las soluciones de la ecuacion de segundo grado por ser negativa

oops!... tenia pensado en ponerlo, pero bueno, se entiende....
fue un lapsus...

[Fergusmor]

Ahora si que si, aca habia publicado una demo al problema 7 que esta pesima, y tenia un paso muuuuuy malo, ahora la corregi, abajo esta