Propuesto de Preparación Integral Maratón Normal 3

Propuesto de Preparación Integral Maratón Normal 3, Convergencia y Divergencia

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2008, 04:41 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Sea una función $TEX: $$f$$$ que decrece hasta $TEX: $$0$$$ en el intervalo $TEX: $$\left[ {1, + \infty } \right)$$$ . Sea $TEX: $$\left\{ {a_n } \right\}$$$ una secuencia no negativa y acotada, tal que $TEX: $$\sum {a_n } = + \infty$$$ . Probar que las series $TEX: $$\sum {f\left( n \right)}$$$ y $TEX: $$\sum {a_n f\left( {a_1 + ... + a_n } \right)}$$$ convergen ó divergen simultáneamente. -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2023, 02:02 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Denotamos por $s_n := \sum_{k=1}^n a_k$, asumimos que $s_0 = 0$, luego $s_n\to\infty$. Supongamos que $\sum f(n)<\infty$, como $f$ es decreciente,<br />\begin{align}<br /> \sum_{n=1}^\infty a_n f(a_1 + ...+ a_n) & \leq \int_0^\infty f(x)dx\\<br />&\leq \int_0^1 f(x)dx + \sum_{n=1}^\infty f(n) <\infty<br />\end{align}<br />de acá sigue que $\sum a_n f(a_1+...+a_n)<\infty$.\\<br /><br />Recíprocamente, suponemos que $\sum a_n f(a_1+...+a_n)<\infty$ y que $C := \sup_{n\in\mathbb{N}} a_n$. Además, <br />\begin{align}<br />\sum_{n=2}^\infty a_n(f(s_{n-1})-f(s_n))\leq C\sum_{n=2}^\infty f(s_{n-1})-f(s_n) = Cf(s_{1})<br />\end{align}<br />donde se ocupa que $\lim_{x\to\infty}f(x) = 0$. Lo anterior muestra que $$\sum_{n=1}^\infty a_{n+1}f(a_1+...+a_n)<\infty.$$ Como $f$ es decreciente, <br />\begin{align}<br />\sum f(n)\leq \int_0^\infty f(x)dx &= \sum_{n=1}^\infty \int_{s_{n-1}}^{s_n} f(x)dx\\<br />&\leq \sum_{n=1}^\infty f(s_{n-1})(s_n-s_{n-1})\\<br />& = a_1f(0) + \sum_{n=1}^\infty a_{n+1}f(a_1+...+a_n)<\infty.<br />\end{align}<br />$ Mensaje modificado por mamboraper el Jan 6 2023, 04:06 PM -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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