Tercer Nivel Individual - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Competencias y Olimpiadas > Campeonato Interescolar > Campeonato Interescolar 2004 > Septima Fecha(Recuperativa)

Reply to this topic

Start new topic

Tercer Nivel Individual

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2005, 12:55 AM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problema 1. Encuentre todos los valores enteros positivos de $TEX: $n$$ tales que el numero $TEX: $\displaystyle{\frac{n+89}{3n+2}}$$ sea un numero entero Problema 2 Dado un triangulo $TEX: $ABC$$ rectangulo en $TEX: $C$$ . Suponga que la altura trazada desde el vertice $TEX: $C$$ divide sus lados opuestos en dos segmentos de medidas $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ .Si todos los arcos de la figura son semicircunferencias, calcule el area total de la zona achurada. screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img186.imageshack.us/img186/3680/dibujo7xu.jpg');}" /> -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

dex Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 26 2005, 11:50 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 725 Registrado: 17-July 05 Desde: Puente Alto-Santiago Miembro Nº: 148 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	y aqui va la solucion del problema 1 $TEX: \begin{eqnarray}<br />\frac{n+81}{2n-5} & = & \frac{n+81}{2\left(n-\frac{5}{2}\right)} \\<br /> & = & \frac{n+81}{n-\frac{5}{2}}\cdot\frac{1}{2} \\<br /> & = & \left(\frac{n-\frac{5}{2}}{n-\frac{5}{2}}+\frac{83+\frac{1}{2}}{n-\frac{5}{2}}\right)\cdot\frac{1}{2} \\<br /> & = & \left(1+\frac{\frac{167}{2}}{\frac{2n-5}{2}}\right)\cdot\frac{1}{2} \\<br /> & = & \left(1+\frac{167}{2n-5}\right)\cdot\frac{1}{2}<br />\end{eqnarray}$ Ahora nos fijamos de la división de $TEX: $\displaystyle{\frac{167}{2n-5}\in\mathbb{N}}$$ (naturales) Como 167 es primo, los unicos valores posibles de $TEX: $2n-5$$ son 167 y 1 asi queda: $TEX: $2n-5=1\Rightarrow 2n=6\Rightarrow \mathbf{n=3}$$ $TEX: $2n-5=167\Rightarrow 2n=172\Rightarrow \mathbf{n=86}$$ El conjunto solucion es $TEX: $S=\{3,86\}$$ Sebastian Avalos;) -------------------- "Resolver un problema es una meta específica de la inteligencia e inteligencia es el don específico de los seres humanos: Resolver un problema es la actividad humana por excelencia"

dex Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 27 2005, 12:43 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 725 Registrado: 17-July 05 Desde: Puente Alto-Santiago Miembro Nº: 148 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Aqui va la solucion del problema 2 screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img186.imageshack.us/img186/3680/dibujo7xu.jpg');}" /> Este ejercicio es desarrollado completamente con teorema de Euclides y areas. Primero determinemos los lados $TEX: $CB$$ y $TEX: $CA$$ en funcion de $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ $TEX: $CB^2=b(a+b)=b^2+ab\Rightarrow CB=\sqrt{b^2+ab}$$ $TEX: $CA^2=a(a+b)=a^2+ab\Rightarrow CA=\sqrt{a^2+ab}$$ Ahora que tenemos los lados en funcion de $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ , determinamos el area de las semicircunferencias que poseen diametro $TEX: $CA$$ y $TEX: $CB$$ Area de semi-cir. $TEX: $CA$$ : $TEX: $\displaystyle{\frac{\pi\cdot\left(\frac{\sqrt{a^2+ab}}{2}\right)^2}{2}=\mathbf{\frac{\pi\cdot(a^2+ab)}{8}}}$$ Area de semi-cir. $TEX: $CB$$ : $TEX: $\displaystyle{\frac{\pi\cdot\left(\frac{\sqrt{b^2+ab}}{2}\right)^2}{2}=\mathbf{\frac{\pi\cdot(b^2+ab)}{8}}}$$ Area del triangulo $TEX: $ABC$$ : $TEX: $\displaystyle{\mathbf{\frac{(a+b)\sqrt{ab}}{2}}}$$ Area de la semi-cir. $TEX: $AB$$ : $TEX: $\displaystyle{\frac{\pi\cdot\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}{2}=\mathbf{\frac{\pi\cdot(a^2+2ab+b^2)}{8}}}$$ Luego tenemos que restar el area del triangulo $TEX: $ABC$$ a la semi-cir. $TEX: $AB$$ : $TEX: $\displaystyle{\frac{\pi\cdot(a^2+2ab+b^2)}{8}-\frac{(a+b)\sqrt{ab}}{2}=\frac{(a+b)(\pi\cdot(a+b)-4\sqrt{ab})}{8}\qquad(\star)}$$ Ahora sumamos el área de las semi-cir $TEX: $CA$$ y $TEX: $CB$$ : $TEX: $\displaystyle{\frac{\pi\cdot(a^2+ab)}{8}+\frac{\pi\cdot(b^2+ab)}{8}=\frac{\pi\cdot((a^2+ab)+(b^2+ab))}{8}\qquad(\star\star)}$$ Ahora restamos: $TEX: $(\star\star)$$ menos $TEX: $(\star)$$ para obtener el área pedida: $TEX: $\displaystyle{\frac{\pi\cdot((a^2+ab)+(b^2+ab))}{8}-\frac{(a+b)(\pi\cdot(a+b)-4\sqrt{ab})}{8}}$$ $TEX: $\displaystyle{\frac{\pi\cdot((a^2+ab)+(b^2+ab))-(a+b)(\pi\cdot(a+b)-4\sqrt{ab})}{8}}$$ $TEX: $\displaystyle{\frac{\pi\cdot(a+b)^2-\pi\cdot(a+b)^2+4\sqrt{ab}(a+b)}{8}}$$ $TEX: $\displaystyle{\frac{4(a+b)\sqrt{ab}}{8}}$$ $TEX: $\displaystyle{\mathbf{\frac{(a+b)\sqrt{ab}}{2}}}$$ esprando q se aproveche Sebatian avalos -------------------- "Resolver un problema es una meta específica de la inteligencia e inteligencia es el don específico de los seres humanos: Resolver un problema es la actividad humana por excelencia"

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 27 2005, 10:01 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Ambas soluciones están casi buenas... vamos a explicar los detalles de cada una: En el primer problema, debemos tener cuidado con la siguiente parte de tu solución: CITA(dex @ Jul 27 2005, 01:50 AM) Ahora nos fijamos de la división de $TEX: $\displaystyle{\frac{167}{2n-5}\in\mathbb{N}}$$ (naturales) Como 167 es primo, los unicos valores posibles de $TEX: $2n-5$$ son 167 y 1 Para reducirse a un número pequeño de casos, establecemos la condición necesaria (aunque no suficiente) de que dicha fracción tenga valor entero, entonces debemos agregar las opciones -167 y -1 como divisores de 167. Una vez hecho esto, hacemos notar que $TEX: $\displaystyle{\frac{167}{2n-5}}$$ va a ser entero, pero a nosotros nos interesa que $TEX: $\displaystyle{\frac{n+81}{2n-5}}$$ lo sea (cosa de la cual no te aseguraste). Como antes obtuvimos cuatro valores posibles de $TEX: $2n-5$$ , descartamos $TEX: $2n-5=-167$$ porque daría $TEX: $n<0$$ . Pero los otros tres valores de $TEX: $n$$ (3 y 86, hallados por dex; el tercero es $TEX: $n=2$$ ) cumplen lo pedido, así que $TEX: $S=\{2,3,86\}$$ En el problema geométrico, mira el vínculo (aquí), cuando hablan del teorema de las semilunas... es lo mismo. El área achurada es igual al área del triángulo $TEX: $ABC$$ , que se expresa por la fórmula dada -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

sí-sí el residen... sí-sí el residente Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 30 2008, 03:16 PM Publicado: #5
Puntaje Nacional PSU Matemáticas Admisión 2010 Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 390 Registrado: 22-July 07 Desde: la granja Miembro Nº: 7.754 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(dex @ Jul 27 2005, 12:40 AM) y aqui va la solucion del problema 1 $TEX: \begin{eqnarray}<br />\frac{n+81}{2n-5} & = & \frac{n+81}{2\left(n-\frac{5}{2}\right)} \\<br /> & = & \frac{n+81}{n-\frac{5}{2}}\cdot\frac{1}{2} \\<br /> & = & \left(\frac{n-\frac{5}{2}}{n-\frac{5}{2}}+\frac{83+\frac{1}{2}}{n-\frac{5}{2}}\right)\cdot\frac{1}{2} \\<br /> & = & \left(1+\frac{\frac{167}{2}}{\frac{2n-5}{2}}\right)\cdot\frac{1}{2} \\<br /> & = & \left(1+\frac{167}{2n-5}\right)\cdot\frac{1}{2}<br />\end{eqnarray}$ Ahora nos fijamos de la división de $TEX: $\displaystyle{\frac{167}{2n-5}\in\mathbb{N}}$$ (naturales) Como 167 es primo, los unicos valores posibles de $TEX: $2n-5$$ son 167 y 1 asi queda: $TEX: $2n-5=1\Rightarrow 2n=6\Rightarrow \mathbf{n=3}$$ $TEX: $2n-5=167\Rightarrow 2n=172\Rightarrow \mathbf{n=86}$$ El conjunto solucion es $TEX: $S=\{3,86\}$$ Sebastian Avalos;) Pero en el problema 1 preguntan por los valores enteros de la expresión $TEX: $\displaystyle \frac{n+89}{3n+2}$$ y el trabajo la expresion $TEX: $\displaystyle \frac{n+81}{2n-5}$$ , que pasó entonces? -------------------- ...

rahmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 30 2008, 03:42 PM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 74 Registrado: 31-October 07 Desde: Temuco Miembro Nº: 12.067 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \frac{{n + 89}}<br />{{3n + 2}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{ si n es de la forma n = 2k }}\frac{{{\text{2k + 89}}}}<br />{{{\text{2}}\left( {{\text{3n + 1}}} \right)}},{\text{ pero impar dividipo par nunca es }} \hfill \\<br /> {\text{entero}} \hfill \\<br /> {\text{n = 2k + 1 entonces }}\frac{{{\text{2}}\left( {{\text{k + 45}}} \right)}}<br />{{6k + 5}}{\text{ entonces 6k + 5 divide a k + 45 y k + 45}} \geqslant {\text{6k + 5}} \hfill \\<br /> {\text{k}} \leqslant {\text{8 por tanteo k solo puede ser 8}}{\text{, entonces n = 17}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{ saludos}}{\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ -------------------- Nunca consideres el estudio como una obligacion sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber. Albert Einstein

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 26 2011, 01:46 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	rahmat te falto algo: $TEX: Estamos claros que $8\ge k$, entonces debemos analizar todos los casos k={8,7,6,5,4,3,2,1,0}$ Para el caso $TEX: k=8 se cumple esta claro, para n=17$ Para los casos $TEX: k=7,6,5,4,3,2,1$ no se cumple que sea entero Te falto analizar el caso $TEX: k=0, lo cual nos da n=1$ Queda: $TEX: $\displaystyle \frac{1+89}{5}$$ $TEX: $\displaystyle \frac{90}{5}$$ Lo que es igual a 18, numero entero Pd: soy nuevo asi q terrible atrasao xD -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

« Posterior · Septima Fecha(Recuperativa) · Anterior »

Reply to this topic

Start new topic

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 23rd November 2024 - 07:32 PM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.