 Pruebas I y II ::Algebra lineal::, Universidad Mayor 2007 |
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 Oct 25 2008, 12:50 AM
Publicado:
#1
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 Staff FMAT  Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Prueba N1 }}{\text{, Algebra II ; 06/09/2007}} \hfill \\<br /> {\text{Profesora : Monica Pizarro}} \hfill \\<br /> {\text{Universidad Mayor}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{I}}{\text{. Sean }}p,q,r{\text{ vectores de }}\mathbb{R}^{\text{3}} {\text{ tales que :}} \hfill \\<br /> i)p + q + r = 0{\text{ y }}ii)\left\| p \right\| = 7,\left\| q \right\| = 5,\left\| r \right\| = 6{\text{ }}{\text{, entonces }}{\text{, Calcule :}} \hfill \\<br /> a){\text{ }}q \cdot r \hfill \\<br /> b)\left\| {q{\text{ }}x{\text{ }}r} \right\| \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{II}}{\text{. Encuentre la matriz inversa de A }}{\text{, usando el metodo de Gauss :}} \hfill \\<br /> A = \left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> 1 & 1 & 1 & 1 \\<br /> 1 & 2 & { - 1} & 2 \\<br /> 1 & { - 1} & 2 & 1 \\<br /> 1 & 3 & 3 & 2 \\<br /><br /> \end{array} } \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{III}}{\text{. Sean : }}A = \left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> 0 & { - 1} & 1 \\<br /> {\sqrt {2i} } & 3 & { - 2} \\<br /><br /> \end{array} } \right);B = \left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> {1 - i} & 4 & 5 \\<br /> {10} & 0 & i \\<br /><br /> \end{array} } \right) \hfill \\<br /> {\text{Determinar una matriz C}} \in M_{2x3} \left( \mathbb{C} \right){\text{ tal que : }}6i \cdot C - \frac{1}<br />{2} \cdot A = 5B \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{IV}}{\text{. Encuentre el punto de interseccion del plano de ecuacion : }} \hfill \\<br /> \prod {\text{:}} {\text{ }}3x - 4y + z = 2{\text{ }}{\text{, con la recta que pasa por el punto P}}\left( {1,2, - 1} \right) \hfill \\<br /> {\text{y es perpendicular al plano }}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{V}}{\text{. Encontrar un vector unitario que forme un angulo de 45}}^ \circ {\text{ con el}} \hfill \\<br /> {\text{vector }}A = \left( {3, - 3,1} \right){\text{ y un angulo de }}60^ \circ {\text{ con el vector }}B = \left( {0, - 2,2} \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/158d3cf1264a6efa441a49ceed2a6186.png)
-------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile
Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH |
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Oct 25 2008, 12:57 AM
Publicado:
#2
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Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Prueba N2 }}{\text{, Algebra II ; 18/10/2007}} \hfill \\<br /> {\text{Profesora : Monica Pizarro}} \hfill \\<br /> {\text{Universidad Mayor}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{I}}{\text{. Use propiedades de determinantes para demostrar que :}} \hfill \\<br /> \left| {\begin{array}{*{20}c}<br /> 1 & 1 & 1 \\<br /> a & b & c \\<br /> {a^3 } & {b^3 } & {c^3 } \\<br /><br /> \end{array} } \right| = \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\left( {a + b + c} \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{II}}{\text{. Si P es una matriz idempotente }}{\text{, demuestre que }}Q = P + AP - PAP \hfill \\<br /> {\text{Tambien lo es }}{\text{. (A es una matriz cuadrada de la misma dimension de P)}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{III}}{\text{. Determine el rango de la matriz : }}\left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> 1 & 0 & 3 & { - 3} \\<br /> 2 & 2 & { - 1} & { - 4} \\<br /> 3 & 1 & 2 & { - 8} \\<br /> { - 1} & 4 & 1 & 7 \\<br /><br /> \end{array} } \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/1d9d728bb5a4cb1400d755e768ff351d.png) ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{IV}}{\text{. Determine los valores de }}k \in \mathbb{R}{\text{ }}{\text{, de modo que el sistema :}} \hfill \\<br /> \left. {\underline {\, <br /> \begin{gathered}<br /> x + y - z = 1 \hfill \\<br /> 2x + 3y + kz = 3 \hfill \\<br /> x + ky + 3z = 2 \hfill \\ <br />\end{gathered} \,}}\! \right| \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> a){\text{ No tenga solucion}} \hfill \\<br /> b){\text{ Tenga solucion unica}} \hfill \\<br /> c){\text{ Tenga infinitas soluciones}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{V}}{\text{. Determine si la siguiente matriz admite factorizacion LU }}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{En caso contrario }}{\text{, encuentre una factorizacion ella }}{\text{.}} \hfill \\<br /> \left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> 1 & 2 & { - 1} & 4 \\<br /> 0 & { - 1} & 5 & 8 \\<br /> 2 & 3 & 1 & 4 \\<br /> 1 & { - 1} & 6 & 4 \\<br /><br /> \end{array} } \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/9408a8cb4cea9b91c2253d032a9719cb.png)
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Oct 26 2008, 12:43 PM
Publicado:
#3
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![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Solucion prueba 2 }}{\text{, ejercicio 1:}} \hfill \\<br /> \boxed{{\text{Demostracion :}}} \hfill \\<br /> {\text{Haciendo : }} \hfill \\<br /> \left. {\underline {\, <br /> \begin{gathered}<br /> C_2 \to C_2 - C_1 \hfill \\<br /> C_3 \to C_3 - C_1 \hfill \\ <br />\end{gathered} \,}}\! \right| \hfill \\<br /> \det = \left| {\begin{array}{*{20}c}<br /> 1 & 0 & 0 \\<br /> a & {b - a} & {c - a} \\<br /> {a^3 } & {b^3 - a^3 } & {c^3 - a^3 } \\<br /><br /> \end{array} } \right| = \left( { - 1} \right)^2 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}c}<br /> {b - a} & {c - a} \\<br /> {b^3 - a^3 } & {c^3 - a^3 } \\<br /><br /> \end{array} } \right| \hfill \\<br /> \det = \left( {b - a} \right)\left( {c^3 - a^3 } \right) - \left( {b^3 - a^3 } \right)\left( {c - a} \right) \hfill \\<br /> \det = \left( {b - a} \right)\left( {c - a} \right)\left( {c^2 + ac + a^2 } \right) - \left( {b - a} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b^2 + ab + a^2 } \right) \hfill \\<br /> \det = \left( {b - a} \right)\left( {c - a} \right)\left( {c^2 + ac + a^2 - \left( {b^2 + ab + a^2 } \right)} \right) \hfill \\<br /> \det = \left( {b - a} \right)\left( {c - a} \right)\left( {c^2 - b^2 + ac - ab} \right) \hfill \\<br /> \det = \left( {b - a} \right)\left( {c - a} \right)\left( {\left( {c - b} \right)\left( {c + b} \right) + a\left( {c - b} \right)} \right) \hfill \\<br /> \det = \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\left( {a + b + c} \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Q}}{\text{.e}}{\text{.d}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/340201cb78cd69bb9586115a02885875.png)
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Oct 26 2008, 12:48 PM
Publicado:
#4
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![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Solucion prueba 2 }}{\text{, ejercicio 2:}} \hfill \\<br /> \boxed{{\text{Demostracion :}}} \hfill \\<br /> {\text{Como P es idempotente }}{\text{, entonces cumple con : }}P^2 = P \hfill \\<br /> {\text{Debemos demostrar que se cumple : }}Q^2 = Q \hfill \\<br /> {\text{En efecto :}} \hfill \\<br /> Q^2 = \left( {P + AP - PAP} \right)\left( {P + AP - PAP} \right) \hfill \\<br /> Q^2 = P^2 + PAP - P^2 AP + AP^2 + \left( {AP} \right)\left( {AP} \right) - AP^2 AP - PAP^2 + \left( {PAP} \right)AP - \left( {PAP} \right)\left( {PAP} \right) \hfill \\<br /> Q^2 = P + PAP - PAP + AP + \left( {AP} \right)\left( {AP} \right) - \left( {APAP} \right) - PAP + \left( {PAP} \right)AP - PAP^2 AP \hfill \\<br /> Q^2 = P + AP - PAP \hfill \\<br /> Q^2 = Q \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \therefore Q{\text{ es Idempotente }}\left( {Q^2 = Q} \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Q}}{\text{.e}}{\text{.d}} \hfill \\<br /> \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/458c2ecba7bd9a3e282ef12e33120f21.png) -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile
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Oct 26 2008, 08:34 PM
Publicado:
#5
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![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Solucion prueba N2}}{\text{, pregunta 4:}} \hfill \\<br /> \boxed{{\text{Solucion :}}} \hfill \\<br /> {\text{El sistema se podria escribir como :}} \hfill \\<br /> \left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> 1 & 1 & { - 1} \\<br /> 2 & 3 & k \\<br /> 1 & k & 3 \\<br /><br /> \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> x \\<br /> y \\<br /> z \\<br /><br /> \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> 1 \\<br /> 3 \\<br /> 2 \\<br /><br /> \end{array} } \right) \hfill \\<br /> {\text{Luego veremos el rango de }}\left( {A|B} \right): \hfill \\<br /> \left( {A|B} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> 1 & 1 & { - 1} & 1 \\<br /> 2 & 3 & k & 3 \\<br /> 1 & k & 3 & 2 \\<br /><br /> \end{array} } \right) \hfill \\<br /> {\text{Haciendo : }}\left. {\underline {\, <br /> \begin{gathered}<br /> f_2 \to f_2 - 2f_1 \hfill \\<br /> f_3 \to f_3 - f_1 \hfill \\ <br />\end{gathered} \,}}\! \right| \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/11bb3dfbee1756301fd8c92e410692c0.png) ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> = \left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> 1 & 1 & { - 1} & 1 \\<br /> 0 & 1 & {k + 2} & 1 \\<br /> 0 & {k - 1} & 4 & 1 \\<br /><br /> \end{array} } \right) \hfill \\<br /> {\text{Luego : }}\left. {\underline {\, <br /> {f_3 \to f_3 - \left( {k - 1} \right)f_2 } \,}}\! \right| \hfill \\<br /> = \left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> 1 & 1 & { - 1} & 1 \\<br /> 0 & 1 & {k + 2} & 1 \\<br /> 0 & 0 & {4 - \left( {k - 1} \right)\left( {k + 2} \right)} & { - \left( {k - 2} \right)} \\<br /><br /> \end{array} } \right) \hfill \\<br /> = \left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> 1 & 1 & { - 1} & 1 \\<br /> 0 & 1 & {k + 2} & 1 \\<br /> 0 & 0 & { - k^2 - k + 6} & { - \left( {k - 2} \right)} \\<br /><br /> \end{array} } \right) \hfill \\<br /> = \left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> 1 & 1 & { - 1} & 1 \\<br /> 0 & 1 & {k + 2} & 1 \\<br /> 0 & 0 & { - \left( {k + 3} \right)\left( {k - 2} \right)} & { - \left( {k - 2} \right)} \\<br /><br /> \end{array} } \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Entonces tenemos lo siguiente :}} \hfill \\<br /> \bullet {\text{Si tiene solucion }}{\text{, entonces }}r\left( A \right) = r\left( B \right) = {\text{N de incognitas}} \hfill \\<br /> {\text{Por lo tanto }}k \in \mathbb{R} - \left\{ { - 3,2} \right\} \hfill \\<br /> \bullet {\text{Si tiene infinitas soluciones }}{\text{, entonces : }}r\left( A \right) = r\left( B \right) < {\text{N de incognitas}} \hfill \\<br /> {\text{Asi : }}k = - 3 \wedge k = 2 \hfill \\<br /> \bullet {\text{Si no tiene solucion }}{\text{, entonces : }}r\left( A \right) \ne r\left( B \right) \hfill \\<br /> {\text{Por lo tanto : }}k = - 3 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/ee6698c803f8f6033569dc275011cc76.png) -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile
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