 Cuarto Nivel Individual |
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Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Competencias y Olimpiadas > Campeonato Interescolar > Campeonato Interescolar 2006 > Cuarta Fecha  |
 Jul 8 2006, 07:09 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 670 Registrado: 30-January 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 524 Nacionalidad:  Universidad:  Sexo:   |
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Jul 8 2006, 08:14 PM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 519 Registrado: 22-April 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 925 Nacionalidad: Sexo: |
 ![TEX: Sea $2\alpha$ la medida del \'angulo en B. Se construye un plano cartesiano sobre el tri\'angulo, de tal manera que el origen quede en B y la bisectriz $\overline{BP}$ quede exactamente a lo largo del eje $y$ (negativo). Entonces las coordenadas de A y C, por trigonometr\'ia, son:\[ A(-6\cos\alpha,-6\sin\alpha) \] \[ C(10\cos\alpha,-10\sin\alpha) \]<br /><br />P se construye al trazar una perpendicular de A a la bisectriz (eje y), luego tiene abscisa 0 y la misma ordenada de A:\[ P(0,-6\sin\alpha) \]<br /><br />Y M es el punto medio entre A y C: \[ M(2\cos\alpha,-8\sin\alpha) \]<br /><br />Ahora se calcula $\overline{PM}$:<br />\begin{equation*}<br />\begin{aligned}<br />\overline{PM}&=\sqrt{(2\cos\alpha)^2+(-8\sin\alpha-(-6\sin\alpha))^2}\\<br />&=\sqrt{(2\cos\alpha)^2+(-2\sin\alpha)^2}\\<br />&=\sqrt{4\cos^2\alpha+4\sin^2\alpha}\\<br />&=\sqrt{4(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)}\\<br />&=\sqrt{4}\\<br />&=2<br />\end{aligned}<br />\end{equation*}<br />](./tex/87167.gif) Saludos 
-------------------- There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why is it here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable.
There is another theory which states that this has already happened. - Adams, The Restaurant at the End of the Universe ----------------------------------- Existe una teoría que postula que si alguien alguna vez llega a descubrir exactamente para qué es el Universo y por qué está aquí, éste desaparecerá instantáneamente y será reemplazado por algo aún más extraño e inexplicable. Existe otra teoría que dice que esto ya ha ocurrido. - Adams, el Restorán al Final del Universo |
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Jul 8 2006, 08:52 PM
Publicado:
#3
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Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 365 Registrado: 27-May 05 Desde: Puente Asalto, Santiago Miembro Nº: 68 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Sexo:  |
  screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img80.imageshack.us/img80/7592/14ww.th.png');}" />  
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Jul 8 2006, 08:54 PM
Publicado:
#4
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 Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 23 Registrado: 11-May 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 1.080 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
Si bien la solución de Javier esta CORRECTA, la solución que nos da Pily, es bastante más simple y por lo tanto más aceptada.
Aún así es interesante conocer muchos modos posibles de resolver el problema, si encuentran otros modos, no duden en plantearlos. Tambien está disponible el enunciado del problema 1 para que entreguen sus respuestas. Me gustaría saber quién pudo hacer el último sodoku, para comparar mis resultados. =) josepatCampos-UdeC de CONCE!!!!!!!!!!! -------------------- J. Patricio Campos O.
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Jul 8 2006, 09:12 PM
Publicado:
#5
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 Webmaster  Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo: |
CITA Hint: Pero si era igual!!!!, no estabas nada de triste supongo  , premio al entrenamiento...  Igual creo que esta ha sido el problema de Geometria mas facil propuesto en el Cmat 
-------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!)
Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)   |
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Jul 8 2006, 09:14 PM
Publicado:
#6
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 Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 22-April 06 Desde: Valparaiso, Chile Miembro Nº: 931 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
Solucion problema 1:
Como el nº buscado tiene q tener 5 divisores entonces es un numero primo del tipo  siendo a un numero primo, ya q de esta manera el numero tendra exactamente 5 divisores ahora tengo  me puedo dar cuenta q los numeros primos son todos impares excepto el 2, pero 2 elevado a 4 es 16, y 16 – 77 es un numero negativo, por lo tanto no satisface el enunciado todo numero impar por un numero impar da como resultado otro numero impar, por esto  es impar. Con esto puedo determinar que q elevado a 4 menos 77 es un numero par y q el unico numero primo q su cuadrado es par es el 2entonces solo me queda probar q con el 2 el enunciado queda satisfecho      y el problema queda resuelto el unico numero primo q satisface el enunciado es el 
-------------------- Is there is evil in this world, it lurks in the hearts of men
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Jul 8 2006, 09:18 PM
Publicado:
#7
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Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 365 Registrado: 27-May 05 Desde: Puente Asalto, Santiago Miembro Nº: 68 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo: |
Problema 1.
Antes que nada, recordemos que un número N tiene una cantidad par de divisores, puesto que si "a" divide a N, entonces existe automáticamente un "b" que también lo divide, tal que a·b=N. Sin embargo, cuando tenemos una cantidad impar de divisores, estamos hablando de un cuadrado perfecto, ya que dos de sus divisores son iguales y eso hace que sean una cantidad impar Como en el enunciado nos dicen que p²+77 tiene exactamente 5 divisores (cuando p es primo), quiere decir que, para todo a natural: p²+77 = a² 77 = a²-p² 77 = (a+p)(a-p) Como estamos hablando de números naturales, existen exactamente 4 divisores de 77: 1, 7, 11 y 77. Tenemos que: (a+p) = 1 (a-p) = 77 -> Sumando ambas ecuaciones 2a = 78 a = 39 p = -38 (a+p) = 77 (a-p) = 1 -> Sumando ambas ecuaciones 2a = 78 a = 39 p = 38 (a+p) = 11 (a-p) = 7 -> Sumando ambas ecuaciones 2a = 18 a = 9 p = 2 (a+p) = 7 (a-p) = 11 -> Sumando ambas ecuaciones 2a = 18 a = 9 p = -2 Pero ni -38 ni 38 son primos así que quedan descartados...quedándonos sólo las otras dos soluciones para p. Ahora bien, io no alcancé a terminar el problema en la prueba (por lo que no puse casi na' de lo que hice aki ¬¬) ... y por lo mismo me queda una duda... Las dos soluciones que quedan (y que sí son primos) son 2 y -2, pero nosé si las dos son respuestas o sólamente 2, ya que la nota del enunciado dice "un número natural p..." . Si fuese así, entonces la respuesta sería sólo p=2 
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Jul 8 2006, 09:21 PM
Publicado:
#8
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 Máquina que convierte café en teoremas  Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
CITA(Kenshin @ Jul 8 2006, 10:12 PM) Pero si era igual!!!!, no estabas nada de triste supongo , premio al entrenamiento... Igual creo que esta ha sido el problema de Geometria mas facil propuesto en el cmat  sorry por este OFF TOPIC pero has visto el de 3º nivel... ese si que era facil =P --------------------    Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat    "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados. |
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Jul 8 2006, 09:28 PM
Publicado:
#9
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 670 Registrado: 30-January 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 524 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
CITA(Pily @ Jul 8 2006, 10:18 PM) Ahora bien, io no alcancé a terminar el problema en la prueba (por lo que no puse casi na' de lo que hice aki ¬¬) ... y por lo mismo me queda una duda... Las dos soluciones que quedan (y que sí son primos) son 2 y -2, pero nosé si las dos son respuestas o sólamente 2, ya que la nota del enunciado dice "un número natural p..." . Si fuese así, entonces la respuesta sería sólo p=2 -2 tiene como divisores {-1,-2,1,2}, por lo que no es primo, luego el único número que cumple la condición es 2 -------------------- |
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Jul 8 2006, 09:32 PM
Publicado:
#10
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 Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 8 Registrado: 15-April 06 Miembro Nº: 858 |
 lo q yo mas menos saque por deduccion es esto... si  ; y  tiene cinco divisores entoces empece a calcular los primeros primos...  y a calcular -  al descomponer en nº primos me dio entonces los divisores de  son {78,39,18,13,6,4,2,1} -  al descomponer en nº primos me dio entonces los divisores de  son {81,27,9,3,1} entonces aqui esta el primero ... por el cual deducimos lo siguiente:  o  ya q en el ejercicio anterior donde  sacamos la ec.  entonces el resultado de la ecuacion  , DEBE ser un cuadrado perfecto....Ojala este bien y se entienda... SE DESPIDE 
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