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Una funcion interesante., Resuelto por Sebastián Donoso. [medio]

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 8 2005, 11:55 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Sea $TEX: $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$$ ( $TEX: $\mathbb{Z}^+$$ : conjunto de los enteros positivos, es decir, mayores que 0), la cual satisface: (a) $TEX: $f(n+f(n))=1$$ para todo $TEX: $n\geq 1$$ (b) $TEX: $f(1998)=2$$ Encuentre el minimo valor posible de la suma $TEX: $f(1)+f(2)+f(3)+...+f(1998)$$ , y encuentre la formula de $TEX: $f$$ para la cual este minimo se produce. Extraido de la Final de la Olimpiada Nacional,Nivel Mayor, Año 1999 -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Martin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 11 2005, 11:23 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 5 Registrado: 11-July 05 Miembro Nº: 139	la verdad, tengo una idea, que quisuera compartir sobre este problema: Ya que f(n+f(n))=1 y f(1998)=2 =>f(2000)=f(1998+2)=f(1998+f(1998))=1 si bien no conozco mucho de la función... se me ocurre pensar que n+f(n) es una constante, ya que si para todo n se cumple que f(n+f(n))=1, a iguales imagenes; iguales pre imagenes... así definiría la función f(n)= 2000-n; Para todo n<2000. luego la suma de f(1)+f(2)+f(3)+...+f(1998) no será dificil de calcular.... Lo anterior me parece que tiene sentido... :triste: pero no creo que esta sea la minima suma....

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 11 2005, 11:36 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Cuando tienes una función que cumple ciertas propiedades, es muy buena idea jugar un poco con ellas, tal como tú has hecho ahora... Por ejemplo, ya vimos que f(2000)=1. Calcula f(2001), f(2002), empieza a desarrollar algo de curiosidad. Cuando tengas tus sospechas, intenta justificarlas... en FMAT hay mucha gente disponible para guiarte, en caso que te cueste... si tienes una idea y no sabes expresarla, pide ayuda y alguien te tenderá una mano para que así progreses. La idea es aprender aquí y no después de las competencias... salu -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Sebastián Donoso... Sebastián Donoso. Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 12 2005, 01:21 AM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 10-September 05 Miembro Nº: 299	Como $TEX: $f:(\mathbb{N}\cup\{0\})\rightarrow(\mathbb{N}\cup\{0\})$$ , y se nos pide la suma mínima de $TEX: $f(1)+...+f(1998)$$ , es lógico pensar que la suma mínima sería si cada $TEX: $f(n)$$ fuese igual a cero, pero vemos que si esto ocurre, entonces: $TEX: $f(n+f(n))=1$$ y $TEX: $f(n+f(n))=f(n)=0$$ , lo cual es una contradicción. Por lo tanto $TEX: $f(n)\neq 0$$ para todo $TEX: $n\neq 0$$ (en cero no es hipótesis la propiedad). Ahora vemos que el mínimo valor posible a tomar por $TEX: $f(n)$$ es 1. En particular, si $TEX: $f(1)=1$$ , se va cumpliendo que: $TEX: $f(1+f(1))=f(2)=1,\ f(2+f(2))=1\Rightarrow f(3)=1,...$$ y así para todo $TEX: $n$$ (induccion), y en particular se tendría $TEX: $f(1998)=1$$ , lo cual es una contradicción. Esto se puede generalizar para $TEX: $n<1998$$ . luego $TEX: $f(n)\neq 0,f(n)\neq 1$$ para todo $TEX: $n<1998$$ (no incluido el cero) Por el dominio y recorrido de la función, ahora vemos que el mínimo valor que puede tomar $TEX: $f(n)$$ es 2... $TEX: $f(1)=2\Rightarrow f(1+f(1))=1\Rightarrow f(3)=1$$ ... lo que es otra contradicción (ya vista antes) Así se puede apreciar claramente la condición sobre $TEX: $f(1)$$ , que es: $TEX: $f(1)\geq 1998$$ y luego el valor mínimo es $TEX: $f(1)=1998$$ . Y asi $TEX: $f(2)=1997$$ , ..., $TEX: $f(n)=1998-n+1$$ y luego la suma mínima es $TEX: $(1998+1997+...+2)+2=\dfrac{1998\cdot 1999}{2}+1$$ ( $TEX: $f(1997)=2,f(1998)=2$$ ) Y luego la formula de f está definida por tramos f(n) = 1999-n , si n<1998 2 si n=1998 1 si n>1998 Esto último pues f(1 +f(1))=f(1999)=1 y f(1998 + f(1998)) = 1 =f(2000) f(2000+f(2000))=1=f(2001) así inductivamente f(n)=1 si n>1998.

Cesarator	Sep 18 2005, 10:17 PM Publicado: #5
Invitado	Excelente resolución, y muy bien explicada.

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