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Tercer Nivel Individual, Santiago, etc.

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 18 2008, 06:44 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sexta Fecha - 18 de Octubre de 2008 (Primera Recuperativa) 1. Rosita tiene veinte monedas. Unas son de $10, otras son de $20 y otras de $50, por un valor total de $500. Si tiene más monedas de $50 que de $10. ¿Cuántas monedas tiene de cada tipo? Aclaración: Rosita tiene al menos una moneda de cada tipo. 2. En un triángulo $TEX: $ABC$$ se verifica que $TEX: $\angle{ABC}-\angle{BCA}=90^o$$ . Muestre que la altura desde $TEX: $A$$ es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo $TEX: $ABC$$ . Saludos. Mensaje modificado por Rurouni Kenshin el Oct 18 2008, 09:11 PM Razón de edición: Un leve agregado :) Archivo(s) Adjunto(s) Tercer_Nivel.pdf ( 66.39k ) Número de descargas: 52 -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 19 2008, 01:41 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	P2 ldfkj.PNG ( 8.86k ) Número de descargas: 2 Sean $TEX: $\alpha=\angle BCA$$ y $TEX: $AP$$ la altura trazada desde A. Por enunciado tenemos $TEX: $\angle ABC- \alpha=90 \implies \angle ABC=90+\alpha$$ . Trazamos $TEX: $BE$$ tal que $TEX: $\angle BEC=90 \implies \angle CBE= \alpha$$ . Prolongamos $TEX: $BE$$ hasta que se intersecte con la circunferencia en un punto D, y trazamos $TEX: $AD$$ . Notar que $TEX: $AD$$ es diametro, ya que $TEX: $\angle DBA=90$$ , por lo que el problema se reduce a demostrar que $TEX: $AD \perp AP$$ . Por angulos inscritos tenemos $TEX: $\angle CAD= \angle CBD = \alpha$$ . Ademas $TEX: $\angle CAP=180-(90+\alpha)=90-\alpha$$ . Luego $TEX: $\angle DAP = \angle CAD + \angle CAP= \alpha + 90 - \alpha=90 \implies AD \perp AP $$ Probando lo pedido salu2 -------------------- asdf

Prince Loryn Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2008, 02:02 PM Publicado: #3
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 26 Registrado: 1-November 08 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 37.535 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Killua @ Oct 18 2008, 08:44 PM) 1. Rosita tiene veinte monedas. Unas son de $10, otras son de $20 y otras de $50, por un valor total de $500. Si tiene más monedas de $50 que de $10. ¿Cuántas monedas tiene de cada tipo? Aclaración: Rosita tiene al menos una moneda de cada tipo. Sean $TEX: $a,b,c$$ las cantidades de monedas de $TEX: $10,20,50$$ respectivamente. Tal que tenemos las siguiente condiciones $TEX: $(1)$$ $TEX: $a,b,c \ne 0$$ $TEX: $(2)$$ $TEX: $a+b+c=20$$ $TEX: $(3)$$ $TEX: $10a+20b+50c=500$$ $TEX: $(4)$$ $TEX: $c>a$$ Dividiendo por $TEX: $10$$ en la igualdad en $TEX: $(3)$$ $TEX: $a+2b+5c=50$$ $TEX: $(4)$$ Amplificando por $TEX: $2$$ en $TEX: $(2)$$ se tiene $TEX: $2a+2b+2c=40$$ $TEX: $(5)$$ Luego $TEX: $(4)-(5)$$ $TEX: $3c-a=10$$ $TEX: $3c=a+10$$ Sabemos que $TEX: $1 \le a \le 18$$ Por ende los valores que puede tomar $TEX: $a$$ son $TEX: $1,2,3,...,17,18$$ De estos valores se descartan inmediatamente $TEX: $1,3,4,6,7,9,10,12,13,15,16,18$$ ya que $TEX: $a+10$$ no sería divisible por $TEX: $3$$ Tenemos los siguiente casos: $TEX: $a=17$$ implica que $TEX: $c=9$$ $TEX: $a=14$$ implica que $TEX: $c=8$$ $TEX: $a=11$$ implica que $TEX: $c=7$$ $TEX: $a=8$$ implica que $TEX: $c=6$$ $TEX: $a=5$$ implica que $TEX: $c=5$$ Todos estos casos se descartan pues contradicen que $TEX: $c>a$$ Por ende el único caso válido es $TEX: $a=2$$ , esto implica que $TEX: $c=4$$ , luego concluimos que por condición $TEX: $(2)$$ que $TEX: $b=14$$ . Vemos que los valores de $TEX: $a,b,c$$ cumplen todas las condiciones pedidas. Finalmente hay $TEX: $2$$ monedas de $TEX: $10$$ $TEX: $14$$ monedas de $TEX: $20$$ $TEX: $4$$ monedas de $TEX: $50$$ -------------------- Aquiles Esquivel Medrazo Estudiante Cursando 7º Básico

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