Uno con seno y cotangente

Uno con seno y cotangente, Resuelto por PaulRS

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 14 2008, 07:11 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Estudiando para mi prueba de trigonometría, me encontré con el siguiente problema. Si bien no es difícil, quería compartirlo con ustedes que aún no se decepcionan de las olimpiadas matemáticas. Al menos en FMAT tenemos la libertad de demostrar que nos gustan estos problemas inútiles y que sabemos un poco, y que queremos seguir aprendiendo y compitiendo de una manera sana. Pruebe que para todo número natural $TEX: $n$$ y cualquier real $TEX: $x$$ de modo que la expresión de abajo quede bien definida, se cumple que: $TEX: $\displaystyle\frac{1}{sen2x}+\frac{1}{sen4x}+\ldots+\frac{1}{sen2^n{x}}=\cot{x}-\cot{2^nx}$$ Saludos. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 15 2008, 11:36 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	voy a tratar de hacerlo, lastima cke no vas a la final killua , eres uno de los mejores!!!!! perdon si el post no fue aportivo o nada que ver con el problema, era solo para decirte eso -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

PaulRS Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 28 2008, 09:30 AM Publicado: #3
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 156 Registrado: 11-June 07 Miembro Nº: 6.615 Nacionalidad: Sexo:	Por la identidad $TEX: $$<br />\cot \left( {2x} \right) = \tfrac{{\cot ^2 \left( x \right) - 1}}<br />{{2\cot \left( x \right)}}<br />$$$ tenemos: $TEX: $$<br />\cot \left( x \right) - \cot \left( {2x} \right) = \cot \left( x \right) - \tfrac{{\cot ^2 \left( x \right) - 1}}<br />{{2\cot \left( x \right)}} = \tfrac{{\cot ^2 \left( x \right) + 1}}<br />{{2\cot \left( x \right)}}\underbrace = _{{\text{def}}{\text{. cot}}{\text{.}}}\tfrac{1}<br />{{2\sin \left( x \right)\cos \left( x \right)}} = \tfrac{1}<br />{{\sin \left( {2x} \right)}}<br />$$$ Susitituimos $TEX: $$<br />x \mapsto 2^k \cdot x<br />$$$ : $TEX: $$<br />\cot \left( {2^k \cdot x} \right) - \cot \left( {2^{k + 1} \cdot x} \right) = \tfrac{1}<br />{{\sin \left( {2^{k + 1} x} \right)}}<br />$$$ Y ahora simplemente sumamos: $TEX: $$<br />\cot \left( x \right) - \cot \left( {2^n \cdot x} \right) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\left[ {\cot \left( {2^k \cdot x} \right) - \cot \left( {2^{k + 1} \cdot x} \right)} \right]} = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\tfrac{1}<br />{{\sin \left( {2^{k + 1} x} \right)}}} <br />$$$ Saludos -------------------- $TEX: $\sqrt[3]{\displaystyle\sum_{i=1}^n{i^{3\cdot{\sqrt[]{3}}-1}}}\approx{\displaystyle\sum_{i=1}^n{i^{\sqrt[]{3}-1}}}$$

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