Segunda Fecha 2008 - Nivel Mayor

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Segunda Fecha 2008 - Nivel Mayor, El Numero de Oro.

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DoomH~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 11 2008, 06:24 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.429 Registrado: 6-October 07 Miembro Nº: 10.987	Segunda Fecha 2008 - Nivel Mayor El Número de Oro $TEX: \[<br />\boxed{P_1 }<br />\]$ Demostrar que las diagonales de un cuadrilátero convexo son perpendiculares entre sí, si y solo sí la suma de los cuadrados de un par de lados opuestos es igual a la del otro par. $TEX: \[<br />\boxed{P_2 }<br />\]$ Se tiene el polinomio a coeficientes reales $TEX: \[<br />p\left( x \right) = a_{2008} x^{2008} + a_{2007} x^{2007} + \cdots + a_1 x + a_0 <br />\]$ en donde se sabe que sus coeficientes satisfacen que $TEX: \[<br />a_i + a_{i + 1} = a_{i + 2} ,{\text{ }}i \in \left\{ {0,1,2, \ldots ,2006} \right\}<br />\]$ . Si $TEX: \[<br />p\left( 1 \right) = 2008 \wedge p\left( { - 1} \right) = 0<br />\]$ , calcule $TEX: \[<br />a_{2008} - a_0 <br />\]$ $TEX: \[<br />\boxed{P_3 }<br />\]$ Si un cuadrado es dibujado externamente sobre cada lado de un paralelógramo. Pruebe que: a) El cuadrilátero determinado por los centros de esos cuadrados es un cuadrado. b) Las diagonales del nuevo cuadrado formado son concurrentes con las diagonales del paralelógramo original. Salu2 -------------------- CHAO.

master_c	Feb 11 2013, 01:32 AM Publicado: #2
Invitado	CITA(69___ @ Oct 11 2008, 06:24 PM) Segunda Fecha 2008 - Nivel Mayor El Número de Oro $TEX: \[<br />\boxed{P_2 }<br />\]$ Se tiene el polinomio a coeficientes reales $TEX: \[<br />p\left( x \right) = a_{2008} x^{2008} + a_{2007} x^{2007} + \cdots + a_1 x + a_0 <br />\]$ en donde se sabe que sus coeficientes satisfacen que $TEX: \[<br />a_i + a_{i + 1} = a_{i + 2} ,{\text{ }}i \in \left\{ {0,1,2, \ldots ,2006} \right\}<br />\]$ . Si $TEX: \[<br />p\left( 1 \right) = 2008 \wedge p\left( { - 1} \right) = 0<br />\]$ , calcule $TEX: \[<br />a_{2008} - a_0 <br />\]$ Salu2 tenemos el polinomio $TEX: $$p\left( x \right) = a_{2008} x^{2008} + a_{2007} x^{2007} + a_{2006} x^{2006} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 $$$ notese que $TEX: $$<br />p\left( 1 \right) - a_{2008} - a_{2007} = 2008 - a_{2008} - a_{2007} = \sum\limits_{i = 0}^{2006} {a_i } = \sum\limits_{i = 0}^{2006} {\left( {a_{i + 2} - a_{i + 1} } \right)} = a_{2008} - a_1 <br />$$$ por otro lado $TEX: $$<br />0 = p\left( { - 1} \right) = a_0 - a_1 + \sum\limits_{i = 0}^{2006} {a_{i + 2} \left( { - 1} \right)^{i + 2} } = a_0 - a_1 + \sum\limits_{i = 0}^{2006} {\left( {a_i \left( { - 1} \right)^i + a_{i + 1} \left( { - 1} \right)^i } \right)} <br />$$$ $TEX: $$<br /> = a_0 - a_1 + \sum\limits_{i = 0}^{2006} {\left( {a_i \left( { - 1} \right)^i - a_{i + 1} \left( { - 1} \right)^{i + 1} } \right)} = a_0 - a_1 + a_0 \left( { - 1} \right)^0 - a_{2007} \left( { - 1} \right)^{2007} = 2a_0 - a_1 + a_{2007} <br />$$$ entonces $TEX: $$<br />2a_{2008} + a_{2007} - a_1 = 2008 \wedge 2a_0 - a_1 + a_{2007} = 0<br />$$$ restando ambas ecuaciones $TEX: $$<br />2a_{2008} + a_{2007} - a_1 - \left( {2a_0 - a_1 + a_{2007} } \right) = 2a_{2008} - 2a_0 = 2008 \Rightarrow a_{2008} - a_0 = 1004<br />$$$

Tobal.alb Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 8 2015, 01:59 AM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 133 Registrado: 9-June 15 Desde: Valporro - Puerto Ron Miembro Nº: 138.365 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P1.- Sean $TEX: $P$$ y $TEX: $P'$$ , los pies de altura que van desde $TEX: $C$$ y $TEX: $A$$ hacia la diagonal $TEX: $BD$$ . Llamemos $TEX: $DP=x$$ , $TEX: $PP'=z$$ , $TEX: $P'B=y$$ , $TEX: $AP'=s$$ y $TEX: $CP=t$$ , haciendo uso de la condición y por pitágoras tendremos: $TEX: $x^{2}+s^{2}+t^{2}+y^{2}=(x+z)^{2}+t^{2}+(y+z)^{2}+s^{2}$\\<br />$\Longrightarrow z^{2}+z(x+y)=0$\\<br />$\Longrightarrow z=0 \vee z=-(x+y)$$ , por tanto $TEX: $z=0$$ , ya que $TEX: $z=-(x+y)$$ no es solución geométrica. Por lo anterior $TEX: $P=P'$$ , y dado que $TEX: $\angle CPB+ \angle BPA=180º$$ , los puntos $TEX: $C$$ , $TEX: $P$$ y $TEX: $A$$ son colineales $TEX: $\Longrightarrow AC \perp DB$$ . Archivo(s) Adjunto(s) Sin_t_tulo.png ( 10.84k ) Número de descargas: 2

Tobal.alb Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 8 2015, 02:23 AM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 133 Registrado: 9-June 15 Desde: Valporro - Puerto Ron Miembro Nº: 138.365 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P3.- a) Es un hecho que $TEX: $PA=PB=RD=RC$$ y $TEX: $QB=QC=SA=SD$$ por ser diagonales de cuadrados congruentes. Notemos que $TEX: $\angle ABC= \angle ADC=\angle Q'CR'= \angle S'AP' \Rightarrow \angle PBQ= \angle SDR= \angle RCQ= \angle SAQ$$ , luego por LAL obtenemos que $TEX: $\triangle PBQ \simeq \triangle RCQ \simeq \triangle RDS \simeq \triangle PAS \Rightarrow PQ=QR=SR=SP$$ . Como $TEX: $\angle APB=90º= \angle APQ+ \angle PQB= \angle APQ+ \angle SPA= \angle SPQ$$ , análogo para los demás ángulos concluimos que $TEX: $PQRS$$ es un cuadrado. Archivo(s) Adjunto(s) cuadrados.png ( 30.17k ) Número de descargas: 0

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