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Semana del 7 al 13 de Julio, Resuelta

Cesarator	Jul 20 2005, 05:17 PM Publicado: #31
Invitado	CITA(vverdugo @ Jul 19 2005, 01:04 AM) Hola. Ya habia hecho lo que me dice pero muchas gracias de todas formas por que ahora puedo seguir ese camino con mas seguridad Saludos a todos Vamos un poco más adelante con el hint: 1. Poner un punto $TEX: $P\in\overline{AC}$$ tal que $TEX: $AP=AB$$ . Trazar $TEX: $BP$$ . ¿Qué pasa con los ángulos? Comparar $TEX: $BD$$ con $TEX: $PD$$ y con $TEX: $PC$$ . Trazando $TEX: $\overline{BP}$$ y $TEX: $\overline{PD}$$ se forman por lo menos tres triángulos isósceles. 2.- La incógnita son los ángulos, conviene etiquetarlos. Por ejemplo, $TEX: $x,y,z$$ son los ángulos en $TEX: $A,B,C$$ , respectivamente. Ya sabes que suman $TEX: $180^\mathrm{o}$$ . El paso 1 da otra relación. Para concluir necesitas una tercera relación... ¡Hay que trazar otra cosa y sale! (isósceles)

Caetano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 23 2005, 07:30 PM Publicado: #32
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 293 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 3 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Aqui va la solucion para el problema 4 de esta semana Por enunciado tenemos lo siguiente: $TEX: $N=10^4\cdot x+10^2\cdot y+z$$ , donde $TEX: $x+z=y$$ $TEX: \begin{eqnarray}<br />\Rightarrow N & = & 10^4\cdot x+10^2\cdot(x+z)+z \\<br />\Rightarrow N & = & 10^4\cdot x+10^2\cdot x+10^2\cdot z+z \\<br />\Rightarrow N & = & 10^2\cdot x\cdot(10^2+1)+z\cdot(10^2+1) \\<br />\Rightarrow N & = & 101(100x+z)<br />\end{eqnarray}$ Pero como $TEX: $N$$ es cuadrado perfecto y 101 es primo, entonces $TEX: $N$$ es múltiplo de $TEX: $101^2=10201$$ , y por lo tanto nos queda en $TEX: $N=10201k^2$$ , donde $TEX: $N$$ tiene seis cifras. Sólo inspeccionando nos damos cuenta que el mínimo valor que debe asumir $TEX: $k^2$$ para que $TEX: $N$$ tenga seis cifras es 16, con $TEX: $k=4$$ , puesto que con $TEX: $k=3$$ se tiene que $TEX: $k^2=9$$ y en consecuencia $TEX: $N$$ tiene cinco cifras. Puesto que no son muchos, evaluaremos $TEX: $k$$ para obtener todos los $TEX: $N$$ que cumplen con las condiciones: $TEX: \begin{eqnarray}<br />k^2=16 & \Rightarrow & N=163216 \\<br />k^2=25 & \Rightarrow & N=255025 \\<br />k^2=36 & \Rightarrow & N=367236 \\<br />k^2=49 & \Rightarrow & N=499849<br />\end{eqnarray}$ Y hasta aquí no mas llegamos porque para $TEX: $k^2=64$$ el $TEX: $N$$ tiene siete cifras eso seria saludos --------------------

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 23 2005, 07:35 PM Publicado: #33
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	La solución está buena, ya tenemos resueltos los problemas de Francisco... ahora bien, con $TEX: $k=7$$ y con $TEX: $k=8$$ los números obtenidos son de 6 cifras, pero no cumplen la condición que pedimos al comienzo ( $TEX: $y=x+z$$ )... Felicitaciones -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Cesarator	Sep 2 2005, 10:25 PM Publicado: #34
Invitado	CITA(xsebastian @ Jul 7 2005, 12:29 PM) Problema 3: Calcule todos los $TEX: $x\in\mathbb{Z}$$ que cumplen con el siguiente sistema de congruencias: $TEX: $\begin{array}{rcll}<br />x & \equiv & 2 & \bmod 11 \\<br />x & \equiv & 43 & \bmod 91 \\<br />x & \equiv & -1 & \bmod 6 \\<br />\end{array}$$ Un sistema de congruencias módulo. ... como nadie postea una solución... La clave es notar que los módulos son primos relativos y observar el producto $TEX: $11\cdot 91\cdot 6$$ Primero, buscamos un $TEX: $a$$ tal que $TEX: $6\cdot 91\cdot a\equiv 1(\bmod 11)$$ . Tenemos $TEX: $-3\cdot 6\cdot 91\equiv 1(\bmod 11)$$ Similarmente, $TEX: $11\cdot 6\cdot 40\equiv 1(\bmod 91)$$ y $TEX: $-11\cdot 91\equiv 1(\bmod 6)$$ Luego, multiplicamos cada una de las 3 congruencias, llegando al sistema equivalente (Es importante el hecho que los factores por los que se multiplica son primos relativos con los respectivos módulos) $TEX: $\begin{array}{rcll}<br />x & \equiv & -2\cdot 3\cdot 6\cdot 91 & (\bmod 11) \\<br />x & \equiv & 6\cdot 11\cdot 40\cdot 43 & (\bmod 91) \\<br />x & \equiv & 11\cdot 91 & (\bmod 6) \\<br />\end{array}$$ Ahora, si ponemos (Para acortar) $TEX: $A=-2\cdot 3\cdot 6\cdot 91+6\cdot 11\cdot 40\cdot 43+11\cdot 91$$ el sistema es equivalente a $TEX: $\begin{array}{rcll}<br />x & \equiv & A & (\bmod 11) \\<br />x & \equiv & A & (\bmod 91) \\<br />x & \equiv & A & (\bmod 6) \\<br />\end{array}$$ esto significa que $TEX: $x-A$$ es divisible por 11, 91 y 6, es decir, $TEX: $x-A$$ es múltiplo de $TEX: $11\cdot 91\cdot 6$$ . En conclusión, las soluciones son $TEX: $x=A+k\cdot 11\cdot 91\cdot 6$$ es decir, $TEX: $\mathbf{x=-2\cdot 3\cdot 6\cdot 91+6\cdot 11\cdot 40\cdot 43+11\cdot 91+k(11\cdot 91\cdot 6)}$$ con $TEX: $k\in\mathbb{Z}$$ .

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2005, 10:51 PM Publicado: #35
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	La idea de la solución era precisamente esa... todo resulta bien cuando los módulos son coprimos dos a dos. tenemos que buscar soluciones $TEX: $x_1, x_2, x_3$$ para los sistemas $TEX: $\begin{array}{rcll}<br />x_1 & \equiv & 1 & \bmod 11 \\<br />x_1 & \equiv & 0 & \bmod 91 \\<br />x_1 & \equiv & 0 & \bmod 6<br />\end{array}$$ $TEX: $\begin{array}{rcll}<br />x_2 & \equiv & 0 & \bmod 11 \\<br />x_2 & \equiv & 1 & \bmod 91 \\<br />x_2 & \equiv & 0 & \bmod 6<br />\end{array}$$ $TEX: $\begin{array}{rcll}<br />x_3 & \equiv & 0 & \bmod 11 \\<br />x_3 & \equiv & 0 & \bmod 91 \\<br />x_3 & \equiv & 1 & \bmod 6<br />\end{array}$$ los coeficientes del sistema, sólo nos interesan para combinar adecuadamente los $TEX: $x_i$$ , o sea la congruencia respeta condiciones de linealidad, o sea sumas, restas y multiplicaciones. De ahí que $TEX: $2\cdot x_1+43\cdot x_2+(-1)\cdot x_3$$ soluciona el sistema Esto se establece en forma general para un sistema de $TEX: $m$$ congruencias, donde los módulos son coprimos dos a dos (al tomar cualquier pareja de módilos, no tienen divisores comunes, aparte del obvio número 1), siempre colocando $TEX: $x$$ a la izquierda, y a la derecha ponga los números que quiera. Además que la solución es única, salvo multiplicación por el producto de los módulos. Esto se llama "teorema chino de los restos", aunque debemos especificar unas cosas adicionales -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Cesarator	Sep 3 2005, 12:10 AM Publicado: #36
Invitado	CITA(Kenshin @ Jul 9 2005, 12:22 AM) Desafio de la Semana(Propuesto 7) Sea AD la bisectriz de un triangulo ABC(D pertenece a BC) tal que AB+AD=CD y AC+AD=BC. Determine la medida de los angulos del triangulo ABC ... y como estoy en la casa, cuidando la guagua Viernes en la noche.. y nadie a posteado la solución... screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img383.imageshack.us/img383/135/untitled7gw.png');}" /> Ponemos x, y, z para los ángulos en los vértices A, B y C del triángulo ABC. Tenemos x+ y +z = 180. Trazamos un punto P sobre el lado BC tal que AB = AP. Se trazan BP y PD (Ver figura). Como AD es bisectriz del ángulo BAP, es perpendicular y dimidia a BP. Luego, por LAL, BD = PD Además, usando las igualdades dadas, se tiene AC + AD = BC = BD + CD = BD + AB + AD, de donde AC = BD + AB = BD + AP. Luego, PC = BD = PD Esto implica que < APD = y , < PDC = z de donde, como el <APD es un ángulo esterno del triángulo PDC, se tiene y = 2z screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img395.imageshack.us/img395/4541/untitled4yb.png');}" /> Ya, ahora extendemos el lado CA hasta un punto Q como en la figura, con AQ = AD. Esto implica que CQ = CB Analizando igualdades de ángulos, esto lleva a que BQ = BD=PD Luego, los tríangulos AQB y ADP son congruentes, de donde x = 6z En conclusión, z=20, y=40, x=120 o, traduciendo <A = 120, <B=40, <C=20

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