Semana del 7 al 13 de Julio, Resuelta Opciones

[Martin]

olvide un monton de números capicuas....
505-515-525-535-545-565-575-585-595.... Luego reuno las dos condiciones, que es un número capicua y que es tb un número capicua... por ensayo y error logro encontrar los números 99, 100, 101, 102, 103.
al buscar los número me surgio la siguiente duda
Se puede generalizar este procedimiento??

Gracias xsebastian

[Corecrasher]

olvide un monton de números capicuas....
505-515-525-535-545-565-575-585-595.... Luego reuno las dos condiciones, que  es un número capicua y que  es tb un número capicua... por ensayo y error logro encontrar los números 99, 100, 101, 102, 103.
al buscar los número me surgio la siguiente duda
Se puede generalizar este procedimiento??

Gracias xsebastian

Martin tu solucion (la respuesta) esta correcta , y me parece bien que te motives a usar tantas veces ensayo y error , pero la solucion no va por ese lado , lei lo anterior y me gusto saber que dices que el numero si o si es de la forma donde es un digito ya que por ensayo y error se descarta el caso 55. Pero luego veo turbio el paso de eso a la solucion ... siento que estas tanteando , justifica mas , SIN EMBARGO TU RESPUESTA ES CORRECTA Y ME ALEGRA QUE ALGUIEN NUEVO APORTE YA 3 SOLUCIONES , con el tiempo en este foro aprenderas un poco mas de justificaciones , debo decirte que desde que estoy en este foro... justifico (todavia con fallas) pero justifico... antes era puro "chamullo"

Sigue asi y postea harto...

[Dex!]

Si tubiese mas tiempo en innet (ya que no tengo en mi casa) me gustaria ver si mi solucion del problema 6 esta bueno.

como hay que probar, hay que ponerse en todos los casos, y poniendo las 3 parejas de amigos posibles sin importar cual de los dos esta en el lado largo o en el ancho del rectangulo, comprobamos que el 3er amigo no es punto medio de ningun lado, sin importar las medidas de ellos.

[S. E. Puelma Moy...]

Tengo que notificar que la solución de Dex! no está usando buenos argumentos, o sea sería incorrecta (de hecho no veo un razonamiento)

Mira la solución que puso Natita, y compleméntala con el comentario que añadí al respecto

[S. E. Puelma Moy...]

Visiten el siguiente link

Solución al problema 5

El problema propuesto por Corecrasher, resuelto por él mismo... no vayan a pensar que eso no tiene gracia... él propuso el problema sin conocer la solución, y algo pudo rescatar de los aportes de Martin y un poco de mi ayuda, para pulir pequeños detalles...

tenemos un problema menos por resolver

[Caetano]

Hola, les pido un hint para el " p7", por favor!!
eso es

[S. E. Puelma Moy...]

Aquí les entrego una segunda solución para el problema 2, propuesto por Kenshin. Esta solución es la que él expuso en su clase el día Sábado, en los entrenamientos del Instituto Nacional:

screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img300.imageshack.us/img300/5315/circunferencias4th.jpg');}" />

No es difícil comprobar que los triángulos y son equiláteros, porque todos los lados son radios de circunferencia, y ambas tienen el mismo radio. También, como es diámetro, entonces . Y como es centro y , entonces . (El punto se define como la intersección de la prolongación, por izquierda, de con la circunferencia de la izquierda)

Definimos el punto como el segundo punto de intersección de con la circunferencia de la izquierda. Veamos que el es equilátero. De hecho, el ángulo en mide (porque el ángulo central mide ), y el ángulo en también mide (porque el mide , al subtender un arco de )

De esta forma tenemos . Por teorema de potencia del punto (por ejemplo) podemos concluir que

[S. E. Puelma Moy...]

Cumpliendo con mi promesa, aquí va la tercera solución. Veremos algunos resultados que nos servirán para el desarrollo del problema:

Resultado 1: Si en un triángulo los lados miden , y el ángulo opuesto al lado de medida mide , entonces: .

Esto es fácil de entender con el teorema del coseno. Quien no lo conozca, cambie por , entonces quedaría:

pero vamos a demostrar lo que queremos. La idea es usar el teorema de Pitágoras en la siguiente figura (en el triángulo grande):

screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img211.imageshack.us/img211/3128/tringulo2sw.jpg');}" />

¿Por qué un triángulo con ángulos de y e hipotenusa de medida , debe tener catetos con las medidas indicadas? Para quien no sepa, basta con dibujar un triángulo equilátero y una de sus alturas.

Corolario: Si un triángulo equilátero tiene lado de longitud y el radio de su circunferencia circunscrita mide , entonces

Para entenderlo, una el circuncentro con dos vértices, y fíjese en el triángulo isósceles con ángulo de que se forma (use el "resultado 1")

Resultado 2: Si el es equilátero, y tomo un punto en el circuncírculo, en el arco que no contiene a , entonces

El resultado puede derivarse rápidamente del teorema de Ptolomeo (si un cuadrilátero es cíclico y sus lados miden , en ese orden, y sus diagonales miden , entonces ). También podemos usar la siguiente figura:

screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img209.imageshack.us/img209/8730/ptolomeo4ux.jpg');}" />

Tomamos un punto , tal que . Claramente el será equilátero. Por otra parte, , por el criterio LAL (). De ahí tengo que , por lo tanto .

Vamos al problema: Llamando al radio común de las circunferencias, por el "resultado 1", sabemos que . Del corolario tenemos que , porque el es equilátero. Del "resultado 2", sabemos que . Usamos lo que probamos en la solución anterior:

Si aplicamos potencia externa de un punto, en este caso del punto con respecto a la circunferencia de la izquierda (vea la figura que puse abajo), tenemos:

, o sea: , de donde concluimos fácilmente que

screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img221.imageshack.us/img221/7062/circunferencias0qo.jpg');}" />

[Cesarator]

Desafio de la Semana(Propuesto 7)
Sea la bisectriz de un triangulo () tal que y .
Determine la medida de los angulos del triangulo

Fuente: Olimpiada Nacional 2000, Nivel Mayor

Hola, les pido un hint para el " p7", por favor!!
eso es

Me permito un hint: Tratar de hacer muchos triángulos isósceles. Por ejemplo, poner un punto tal que . Trazar . ¿Qué pasa con los ángulos?
¿Cuánto mide ?... y hay oto triángulo isósceles por trazar que es muy útil...

[Caetano]

Hola. Ya habia hecho lo que me dice pero muchas gracias de todas formas por que ahora puedo seguir ese camino con mas seguridad

Saludos a todos