Semana del 7 al 13 de Julio, Resuelta Opciones

[Corecrasher]

Propuesto 5

Determine 5 enteros consecutivos, menores que 200, tales que la suma de ellos y la suma de sus cuadrados, sean ambos números “capicúas”, es decir, que escritos en el sistema decimal, se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda (por ejemplo, es capicúa el número 123454321, pero no el número 990).

Chao (Yo tambien tratare de hacerlo, solo lo propuse por que me gusto)

[Francisco Muñoz]

aqui va el 6ª, se acerca el 7...

Propuesto 6
Tres amigos se sitúan en vértices distintos de un rectángulo, y pueden moverse de acuerdo a la regla siguiente: “en cada turno sólo se mueve uno de ellos en la dirección paralela a la recta determinada por los otros dos amigos”.
Probar que estos tres amigos no pueden llegar a situarse simultáneamente en tres puntos medios de los lados del rectángulo.

Fuente: Clasificación Olimpiada Nacional 1999, Nivel Mayor

espero soluciones e ideas.

Sin otro particular, se despide Francisco Muñoz Espinoza

[Rurouni Kenshin]

Desafio de la Semana(Propuesto 7)
Sea la bisectriz de un triangulo () tal que y .
Determine la medida de los angulos del triangulo

Fuente: Olimpiada Nacional 2000, Nivel Mayor

[Dex!]

aqui va el 6ª, se acerca el 7...

Propuesto 6
Tres amigos se sitúan en vértices distintos de un rectángulo, y pueden moverse de acuerdo a la regla siguiente: “en cada turno sólo se mueve uno de ellos en la dirección paralela a la recta determinada por los otros dos amigos”.
Probar que estos tres amigos no pueden llegar a situarse simultáneamente en tres puntos medios de los lados del rectángulo. 

Fuente: Clasificación Olimpiada Nacional 1999, Nivel Mayor

espero soluciones e ideas.

Sin otro particular, se despide Francisco Muñoz Espinoza

para partir con el problema tengo ua pregunta es sencilla ¿los amigos pueden salirse de los lados del rectangulo, cierto?.. ya que si no, solo hay 1 jugada y problema no tendria mucha gracia..
esop

[Natita]

ese problema lo hicimos en clases.......nu se vale..tienen que ser otros pos...
en fin..seba tu no fuiste a esa clase..sips.. se salen de los lados...
el triángulo formado por los amigos posee una constante, lo cual se perdería si el triángulo se formara en los puntos medios.
los triángulos poseen igual área, ya que tienen la mima altura y base.
cualquiera sea el movimiento de los tres amigos es la misma área, por lo tanto es inválido hacer un triángulo de distinta área.
comprobando que el triangulo formado por los amigos en donde estan ubicados en los puntos medios es de distinta área, el problema está resuelto.

[Caetano]

Aqui va la solucion al problema 2:

screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img47.imageshack.us/img47/3145/yeah4uy.jpg');}" />

Primero tenemos que el y (recordemos que ambas circunferencias tienen igual radio y por lo tanto podemos formar triangulos equilateros). Sea , entonces . El , entonces , y por lo tanto los triangulos y son semejantes, teniendo entonces que:

Eso seria y nos vemos (vamos por el 7 )

[S. E. Puelma Moy...]

Muy feliz de verte nuevamente en actividad, en el foro... esta vez solucionando los problemas de Francisco...

Me alegra que tu solución sea correcta y tan sencillamente explicada (esa es la gracia fundamental)... no importa si Francisco se los explicó en clase, o no... lo que me importa, es que está muy bien explicado

Tal vez hubieran unos problemillas de redacción... lo que importa es que al moverse uno de los tres amigos, hay algo que se conserva: el área del rectángulo (porque la base se mantiene fija, y la altura conserva su longitud...) esa es la gracia del movimiento paralelo

Felicitaciones y sigue así...

[S. E. Puelma Moy...]

Muy bien... tu solución es inobjetable. Espero que tu modo de escribir la solución sea entendible para todos

Me alegro que lo hayas hecho bien mientras estábamos en la sesión de entrenamiento... ya tenemos una solución para ese problema, estamos a la espera de una segunda solución, y yo publicaré pronto una tercera... tal vez no tan elegante como las otras, pero me gustaría que cada una de las tres soluciones dejara alguna enseñanza.

saludos para todos

[Martin]

sobre el problema 5...

la suma de cinco enteros consecutivos la puedo escribir como:
... por lo tanto el primero de los números capicua debe ser multiplo de cinco, como se da la condición que los enteros buscados son menores de 200, entonces sólo tenemos dos números capicuas multiplos de 5, 55 y 555. Luego los posibles enteros consecutivos son 9,10,11,12,13 y 109,110,111,112,113
Pero no cumplen la segunda condición, que la suma de los cuadrados sea tambien un número capicua....

Estoy equivocado o este problema no se puede completar???
sugerencias...!!!

[S. E. Puelma Moy...]

Martín... bienvenido al foro FMAT. Espero verte como un buen aporte.

Tu solución iba perfecto, hasta que dijiste algo... que los únicos capicúas son 55 y 555. En realidad hay más.

No te rindas con el problema, puede ser que falte poco para resolverlo. Tu sugerencia de escribir los números de la forma , es muy muy buena.

A seguir intentando el problema...