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Cuarto Nivel Individual, Sede Santiago, Talagante y Rancagua

sebagarage Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 24 2006, 09:26 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 817 Registrado: 28-May 06 Desde: maipú, santiago. Miembro Nº: 1.210 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P1)Se tienen 1000 tarjetas numeradas de la siguiente forma: 000,001,...,999; y además existen 19 cajas etiquetadas desde el 0 al 18. A cada tarjeta se le borra uno de sus tres dígitos, se suman los dos dígitos restantes y luego se deposita dicha tarjeta en la caja enumerada con el número que es igual al resultado obtenido de la suma. Demuestre que este proceso no puede terminarse usando sólo 9 cajas (dejando las 10 cajas restantes vacías), pero que sí podemos lograrlo ocupando exactamente 10 de ellas (es decir, dejando 9 cajas vacías). (Por si quieren algún hint:) Notar que sucede con el número 999. Notar que en un número de tres dígitos siempre hay dos de estos que tienen igual paridad. (Alguien podría decirme como hago para que diga hint, y no mostrar/ocultar ) -------------------- Estudiante de 5º año de Ingeniería Civil Industrial en la U. de Chile

fs_tol Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 24 2006, 09:34 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 670 Registrado: 30-January 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 524 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Para los numeros 000, 111, 222,...,888,999 solo pueden salir los numeros 0, 2, 4,..,16,18, que son los 10 pares del 0 al 18. Por lo tanto, no pueden usarse solo 9 cajas. Además, el resto de los números está formado por 2 pares y 1 impar o 2 impares y 1 par. Eliminando el impar o el par solo, los otros dos digitos suman un par que cae dentro de alguno de los 10 pares del 0 al 18, y así hemos usado las mismas 10 cajas. -------------------- $TEX: $CARITA$$

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 25 2006, 10:48 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Yo no vi esta prueba, quién podría postear amablemente el problema 2? --------------------

†Alucard† Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2006, 09:33 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 519 Registrado: 22-April 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 925 Nacionalidad: Sexo:	Me sumo a caf_tito, alguien podría postear el problema 2, incluso me ha extrañado no ver la prueba completa después de tantos días Gracias ---editado--- (1º de julio) Ya poh....... si queremos verlo!!! -------------------- There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why is it here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened. - Adams, The Restaurant at the End of the Universe ----------------------------------- Existe una teoría que postula que si alguien alguna vez llega a descubrir exactamente para qué es el Universo y por qué está aquí, éste desaparecerá instantáneamente y será reemplazado por algo aún más extraño e inexplicable. Existe otra teoría que dice que esto ya ha ocurrido. - Adams, el Restorán al Final del Universo

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 4 2006, 11:44 PM Publicado: #5
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Bueno, y la mas que ansiada prueba de Cuartos Medios, aqui se las dejo para su deleite. Por cierto he andado muy corto de tiempo haciendo clases particulares y clases de Olimpiada, por lo cual pido paciencia que ya me pondre al dia con fmat...y veran una renovacion total en el sitio screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img240.imageshack.us/img240/387/fmat1111nm.png');}" /> Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2006, 07:52 AM Publicado: #6
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\boxed{Sp_2 }<br />\]$ En los $TEX: \[<br />\Delta ABM<br />\]$ y $TEX: \[<br />\Delta QBP<br />\]$ , se tiene: $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \angle {\text{ }}A &= \angle {\text{ }}Q{\text{ \{ inscritos en el mismo arco }}BC\} \\ <br /> \angle {\text{ }}ABQ &= \angle {\text{ }}PBQ{\text{ \{ por ser }}\overleftrightarrow {BQ}{\text{ bisectriz\} }} \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ $TEX: \[<br />\therefore {\text{ }}\Delta ABM \sim \Delta QBP<br />\]$ (por tener dos ángulos respectivamente iguales) Luego: $TEX: \[<br />\frac{{\overline {AB} }}<br />{{\overline {BQ} }} = \frac{{\overline {AM} }}<br />{{\overline {PQ} }}<br />\]$ Por otra parte: $TEX: \[<br />\Delta ABN \sim \Delta QBC<br />\]$ $TEX: \[<br />\frac{{\overline {AB} }}<br />{{\overline {BQ} }} = \frac{{\overline {AN} }}<br />{{\overline {CQ} }}<br />\]$ Comparando estas últimas igualdades, tendremos: $TEX: \[<br />\frac{{\overline {AM} }}<br />{{\overline {PQ} }} = \frac{{\overline {AN} }}<br />{{\overline {CQ} }}<br />\]$ Entonces: $TEX: \[<br />\frac{{\overline {AM} }}<br />{{\overline {AN} }} = \frac{{\overline {PQ} }}<br />{{\overline {CQ} }}<br />\]$ Pero $TEX: \[<br />\overline {PQ} = \overline {CQ} - \overline {CP} <br />\]$ Finalmente tendremos: $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \frac{{\overline {AM} }}<br />{{\overline {AN} }} &= \frac{{\overline {CQ} - \overline {CP} }}<br />{{\overline {CQ} }} \hfill \\<br /> \frac{{\overline {AM} }}<br />{{\overline {AN} }} &= \frac{{\overline {CQ} }}<br />{{\overline {CQ} }} - \frac{{\overline {CP} }}<br />{{\overline {CQ} }} \hfill \\<br /> \frac{{\overline {AM} }}<br />{{\overline {AN} }} + \frac{{\overline {CP} }}<br />{{\overline {CQ} }} &= 1 \hfill \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}$

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2006, 08:33 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Ya está completa esta prueba, ambos problemas bien resueltos. Incluso a mi se me había ocurrido la solución al ejercicio 2, pero era más truculenta. Usé solamente la segunda semejanza de Krizalid concluí que $TEX: $\dfrac{NB}{BA}=\dfrac{CB}{BQ}$$ . Por teorema de la bisectriz, podemos modificar cada una de las fracciones ( $TEX: $\dfrac{NB}{BA}=\dfrac{MN}{AM}$$ y $TEX: $\dfrac{CB}{BQ}=\dfrac{CP}{PQ}$$ ) para obtener lo siguiente: $TEX: \begin{eqnarray}<br />\dfrac{MN}{AM} & = & \dfrac{CP}{PQ}\qquad\Big/+1 \\<br />\dfrac{MN}{AM}+1 & = & \dfrac{CP}{PQ}+1 \\<br />\dfrac{MN+AM}{AM} & = & \dfrac{CP+PQ}{PQ} \\<br />\dfrac{AN}{AM} & = & \dfrac{CQ}{PQ}\qquad\Big/(\cdot)^{-1} \\<br />\dfrac{AM}{AN} & = & \dfrac{PQ}{CQ} \\<br />\Rightarrow\qquad\dfrac{AM}{AN}+\dfrac{CP}{CQ} & = & \dfrac{PQ}{CQ}+\dfrac{CP}{CQ} \\<br />\dfrac{AM}{AN}+\dfrac{CP}{CQ} & = & \dfrac{CQ}{CQ}\ = \ 1<br />\end{eqnarray}$ Claro está, para que a uno se le ocurran los trucos, debe ir en busca de ellos (o en busca del teléfono del que se los sabe, pero por esta vía no se aprende mucho que digamos). Estamos a la espera de nuevas soluciones Salu -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2006, 09:27 AM Publicado: #8
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	De la semejanza $TEX: $\Delta ABN\sim \Delta QBC$$ (pues $TEX: $\angle BAN=\angle BQC$$ y $TEX: $\angle ABN=\angle QBC=2\theta$$ ) y dado que $TEX: $BM$$ y $TEX: $BP$$ son bisectrices en ambos triangulos (y del mismo angulo), se concluye que: $TEX: $\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{QP}{QC}$$ Finalmente: $TEX: $\dfrac{AM}{AN}+\dfrac{CP}{CQ}=\dfrac{QP}{QC}+\dfrac{CP}{CQ}=\dfrac{QP+CP}{QC}=1$$ PD: Para escribir $TEX: $\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{QP}{QC}$$ , formalmente debi hacer una doble semejanza..pero creo que no es necesario porque con esto es mas que suficiente para entender -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

fs_tol Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 8 2006, 06:54 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 670 Registrado: 30-January 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 524 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Yo lo hice con el Teorema del Seno, aunque el desarrollo es bastante largo xP -------------------- $TEX: $CARITA$$

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