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Volumen en el Espacio

El objetivo de esta prueba por equipos es aprender a calcular volúmenes de algunas formas básicas en el espacio. Para aprenderlo, primero debemos entender lo que significa el volumen de una figura. Al igual que cuando hablamos de área, lo que se intenta es expresar el tamaño espacial de una figura, cómo "cuántas veces cabe un cubo de arista de largo 1 dentro de mi figura". Volviendo a la definición de área, un rectángulo de área 3,5 significa que se necesitan exactamente tres cuadraditos y medio de lado 1 para cubrir el rectángulo, suponiendo que los puedo recortar y ubicar como yo quiera.

Avanzando un poco esta idea de área de un rectángulo, en el espacio existe una figua llamada PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR RECTO que tiene seis caras y cada una de ellas es un rectágulo. un ladrillo es un ejemplo perfecto de esta figura, así que de aquí en adelante le llamaremos ladrillo por simplicidad.


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En esta prueba partiremos de la suposición que el volumen de esta figura es a·b·c, donde a,b,c son las medidas de las aristas de la figura. Esto es un análogo de la fórmula para el área de un rectángulo.

Problema 1. ¿Por qué un cuadrado tiene volumen cero?

Además tendremos en cuenta la siguiente propiedad de aditividad de volúmenes si tenemos dos figuras y las pegamos de cualquier manera, entonces el nuevo volumen es igual a la suma de los volúmenes de cada una de las figuras originales. Por ejemplo si tenemos las dos figuras siguientes, ambas con la misma profundidad:


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Entonces podemos formar cualquiera de las siguientes dos nuevas figuras (y muchas más) que tienen el mismo volumen:


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Problema 2. Calcular el volumen de la siguiente figura: una torre de altura h , que tiene como base un triángulo rectángulo de lados a y b. Esta figura es la figura que llamamos prisma recto.


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Avancemos un poco más, complicando algo más las torres a las que queremos calcular su volumen . Nos gustaría conocer el volumen de una torre como la anterior, pero con una base "más complicada" que un triángulo rectángulo. Para eso, primero:

Problema 3.Encontrar una manera de construir cualquier triángulo dado, juntando triángulos rectángulos y de ducir una fórmula para el volumen de la torre formada con base un triángulo cualquiera en la que se exprese dicho volumen en función del área de la base y la altitud de la torre.

Sabiendo esto podemos calcular el volumen de cualquier torre que tenga como base un polígono. ¿Por qué? Porque cualquier polígono en el plano podemos dibujarlo como la unión de cierta cantidad de triángulos. Entonces, el área del polígono es la suma de las áreas de esos triángulos y lo mismo pasa con los volúmenes de las torres que los tienen como bases.

De esta manera, la fórmula del Problema 3 es válida también para la torre cuya base es un polígono.

Problema 4. ¿Qué le dice su intuición acerca de una fórmula para el volumen de un cilindro, es decir, una torre de base circular? No necesita probar nada, sólo dar una respuesta coherente.

Pese a los buenos cálculos que hasta ahora hemos hecho, muchas veces las figuras geométricas no son torres perfectamente formadas Es común ver figuras chuecas que mantiene la forma de su base. Por ejemplo es muy conocida la Torre de Pisa, que podemos ver gruesamente como un cilindro algo chueco.


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Orientados a explorar estas figuras geométricas comenzamos por estudiar algo más simple como un ladrillo chueco.

Problema 5. Calcule el volumen de un ladrillo cuya base es un cuadrado de lado a

Principio de Cavalieri

Supongamos ahora que tenemos una torre de muchos pisos, pero de manera que todos los pisos son iguales. Imaginemos que cada piso se ha movido levemente respecto al de abajo. En este caso el volumen total de la figura no cambia respecto al de la figuraque tiene cada piso exactamente sobre el de abajo, pues sólo sa han desplazado pedazos y no han sido deformados. De esta manera nos damos cuenta que si todos los pisos tienen la misma forma, aunque no estén exactamete arriba del anterior, la fórmula sigue siendo válida. Lo que también podemos observar es que los pisos pueden distinta altura cada uno, porque sólo nos importa la forma de su base y la altura total de la torre. Insistimos en releer esto último hasta convencerse de que es verdad.

El principio de Cavalieri establece que dos figuras que tienen la misma base y que se forman cada una uniendo el borde de la base con un punto tienen el mismo volumen si y sólo si dichos puntos están a la misma altura.


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Volumen de una Pirámide

Para no confundirnos, en adelante entenderemos por piráminde a una figura de cuatro caras, cada una un trángulo. Queremos conocer el volumen de esta figura, para lo cual usaremos loa cálculos hechos hasta ahora.

Problema 6. Conociendo la fórmula para el volumen de una torre no inclinada de base triangular y el Principio de Cavalieri, elija una torre adecuada y divídala en pirámides con igual base y misma altura para encontrar el volumen de una pirámide de altura h y base un triángulo rectángulo de catetos a y b. ¿Cómo usaría lo anterior para establecer una fórmula para el volúmen de una pirámide de base triangular cualquiera?

Problema 7. Explicar por qué podemos entonces calcular el volumen de cualquier figura que tenga como base un polígono y que se forme uniendo el borde del polígono con un punto más arriba (como la figura del ejemplo):


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[Marskela]

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[caf_tito]

[Imperious]

[cvelasquez]

Pusimos casi lo mismo: "Un cuadrado no tiene dimensión de fondo y por ende no ocupa espacio, y como su dimensión c es igual a 0 y se tiene que cualquier número por 0 es 0 (en este caso ab*0=0) entonces el cuadrado tiene volumen 0".

En la segunda no sé si pusimos "Se puede obtener su volumen calculando el volumen de un "ladrillo" completo y dividiéndolo en la mitad, pues el objeto está dividido por la diagonal", o "Sabemos que el área de la cara basal se extiende en la dimensión de altura y, por tanto, llegamos a..." que en el final son la misma ecuación pero expresada de una distinta forma. Creo que está mejor expresado la segunda porque da una noción más clara de lo que es un volumen.


Ah, y en la imagen de los "ladrillos" con un ladrillo más pequeño pegado al lado el otro, si mal no recuerdo, era un ladrillo regular (sin agujeros)

[Wiccans]

En el problema 4 de "que le dice su intuicion...". fue una de la que mas nos demoramos pero no por que nola pudieramos responder... si noque puro leseando XD...
pero lo que se debia poner era " que basicamente y minimamente, para calcular el area de un cilindro, debe tener el area del circulo que tiene de base y multiplicarlo por la altura".
Nada mas, puesto que no pedia formulas o interpretaciones mas lejanas...

[Wiccans]

El problema numero 5 era: "calcule el volumen de un ladrillo de base de lado <a>. Siendo que este ladrillo esta inclinado 45 grados."
y la respuesta era:

a(al cuadrado)* h

puesto que la inclinacion no altera el volumen como se puede leer posteriormente en el discurso escrito... por lo tanto era "a al cuadrado multiplicado por su altura"... se explica que <a> al cuadrado por que es de base cuadrada, si su lado mide <a> el area sera <a> al cuadrado...

[Wiccans]

Para el problema 6 dimos una muleadas de tamaño colosales... pero algo tendra que estar bien...
en el problema 7 era por que la figura de base poligonal se devia dividir en triangulos (por lo tanto quedaria combertida en piramides), para luego obtener el volumen de cada piramide y luego sumarlas... de la misma forma como se hace para calcular el area de una figura plana de mas de 4 aristas...

[Pamex !]

Nosotros pusimos varias fórmulas...ojalá nos halla ido bien poruqe las contestamos todas, ahora que estén buenas xD