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Análisis, Integrales Gaussianas

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Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 27 2008, 08:38 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Probar que $TEX: $$\int_{{\Bbb R}^n } {\exp \left[ { - \left( {x,\Gamma x} \right) + 2\left( {V,x} \right)} \right]dx = \frac{{\pi ^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle n$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} }}{{\sqrt {\det \Gamma } }}} \exp \left[ {\left( {V,\Gamma ^{ - 1} V} \right)} \right]$$$ $TEX: $$V \in {\Bbb C}^n$$$ $TEX: $$V$$$ es un vector, $TEX: $$\Gamma$$$ es una matriz hermitiana definida-positiva de $TEX: $$n \times n$$$ y $TEX: $$\det$$$ es el determinante. -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2011, 08:20 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Un par de observaciones: Haré un cambio en la notación: $TEX: $V\mapsto m$$ . Lo haré sólo para el caso real de $TEX: $\Gamma$$ y $TEX: $m$$ porque si son complejos, entonces es totalmente ~~pajero~~ análogo y todas las $TEX: $T$$ se cambian por $TEX: $\dagger$$ , donde la daga denota a la hermítica conjugada. $TEX: \noindent Como $\Gamma$ es hermítica y definida positiva, existen $V$ ortogonal y $D$ diagonal positiva tal que<br />$$\Gamma=V^T DV=V^T\sqrt D\sqrt DV=(\sqrt DV)^T\sqrt DV.$$<br />Además, Notemos que<br />$$\det \Gamma=\det V^T\det D\det V=\left(\det\sqrt D\right)^2>0.$$<br />En vista de esto, se tiene que<br />$$\langle x,\Gamma x\rangle=\langle\sqrt DV x,\sqrt DVx\rangle.$$<br />Consideremos el cambio de variable definido por $x\mapsto \sqrt DVx=y$ (claramente, bajo todas las hipótesis sobre $\Gamma$, $\sqrt DV$ es un $C^1$-difeomorfismo que satisface las hipótesis del Teorema del Cambio de Variable). Notemos que<br />$$\langle m,x\rangle=\langle m,(\sqrt DP)^{-1}y\rangle=m^TV^{-1}\sqrt D^{-1}y=(\sqrt D^{-1}Vm)^T y=\langle\sqrt D^{-1}Vm,y\rangle.$$<br />Así,<br />$$-\langle x,\Gamma x\rangle+2\langle m,x\rangle=-\left(y^2-2\langle\sqrt D^{-1}Vm,y\rangle\right)=-\left(y-\sqrt{D}^{-1}Vm\right)^2+\left(\sqrt D^{-1}Vm\right)^2.$$<br />Por ende,<br />$$\int_{\mathbb R^n}\exp\left\{-\langle x,\Gamma x\rangle+2\langle m,x\rangle\right\}dx=\frac{\exp\left\{\left(D^{-1}Vm\right)^2\right\}}{\det(\sqrt DV)}\int_{\mathbb R^n}\exp\left\{-\left(y-\sqrt{D}^{-1}Vm\right)^2\right\}dy.$$<br />Ahora, como $\lambda$ es invariante bajo traslaciones,<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\int_{\mathbb R^n}\exp\left\{-\left(y-\sqrt{D}^{-1}Vm\right)^2\right\}dy<br />&=\int_{\mathbb R^n}e^{-u^2}du\\<br />&=\int_{\mathbb R^n}\prod_{k=1}^n e^{-u_k^2}du\\<br />&=\left(\int_{\mathbb R} e^{-s^2}ds\right)^n\\<br />&=\pi^{\frac n2}.<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: \noindent Finalmente, como<br />$$\left(D^{-1}Vm\right)^2=m^TV^T\sqrt D^{-T}\sqrt D^{-1}Vm=m^TV^TD^{-1}Vm=\langle m,\Gamma^{-1} m\rangle,$$<br />tenemos que<br />$$\int_{\mathbb R^n}\exp\left\{-\langle x,\Gamma x\rangle+2\langle m,x\rangle\right\}dx=\frac{\pi^{\frac n2}}{\sqrt{\det\Gamma}}\exp\left\{\langle m,\Gamma^{-1} m\rangle\right\}.$$<br />$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 1 2011, 01:58 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Abu-Khalil @ Sep 28 2011, 09:20 PM) Un par de observaciones: Haré un cambio en la notación: $TEX: $V\mapsto m$$ . Lo haré sólo para el caso real de $TEX: $\Gamma$$ y $TEX: $m$$ porque si son complejos, entonces es totalmente ~~pajero~~ análogo y todas las $TEX: $T$$ se cambian por $TEX: $\dagger$$ , donde la daga denota a la hermítica conjugada. $TEX: \noindent Como $\Gamma$ es hermítica y definida positiva, existen $V$ ortogonal y $D$ diagonal positiva tal que<br />$$\Gamma=V^T DV=V^T\sqrt D\sqrt DV=(\sqrt DV)^T\sqrt DV.$$<br />Además, Notemos que<br />$$\det \Gamma=\det V^T\det D\det V=\left(\det\sqrt D\right)^2>0.$$<br />En vista de esto, se tiene que<br />$$\langle x,\Gamma x\rangle=\langle\sqrt DV x,\sqrt DVx\rangle.$$<br />Consideremos el cambio de variable definido por $x\mapsto \sqrt DVx=y$ (claramente, bajo todas las hipótesis sobre $\Gamma$, $\sqrt DV$ es un $C^1$-difeomorfismo que satisface las hipótesis del Teorema del Cambio de Variable). Notemos que<br />$$\langle m,x\rangle=\langle m,(\sqrt DP)^{-1}y\rangle=m^TV^{-1}\sqrt D^{-1}y=(\sqrt D^{-1}Vm)^T y=\langle\sqrt D^{-1}Vm,y\rangle.$$<br />Así,<br />$$-\langle x,\Gamma x\rangle+2\langle m,x\rangle=-\left(y^2-2\langle\sqrt D^{-1}Vm,y\rangle\right)=-\left(y-\sqrt{D}^{-1}Vm\right)^2+\left(\sqrt D^{-1}Vm\right)^2.$$<br />Por ende,<br />$$\int_{\mathbb R^n}\exp\left\{-\langle x,\Gamma x\rangle+2\langle m,x\rangle\right\}dx=\frac{\exp\left\{\left(D^{-1}Vm\right)^2\right\}}{\det(\sqrt DV)}\int_{\mathbb R^n}\exp\left\{-\left(y-\sqrt{D}^{-1}Vm\right)^2\right\}dy.$$<br />Ahora, como $\lambda$ es invariante bajo traslaciones,<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\int_{\mathbb R^n}\exp\left\{-\left(y-\sqrt{D}^{-1}Vm\right)^2\right\}dy<br />&=\int_{\mathbb R^n}e^{-u^2}du\\<br />&=\int_{\mathbb R^n}\prod_{k=1}^n e^{-u_k^2}du\\<br />&=\left(\int_{\mathbb R} e^{-s^2}ds\right)^n\\<br />&=\pi^{\frac n2}.<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: \noindent Finalmente, como<br />$$\left(D^{-1}Vm\right)^2=m^TV^T\sqrt D^{-T}\sqrt D^{-1}Vm=m^TV^TD^{-1}Vm=\langle m,\Gamma^{-1} m\rangle,$$<br />tenemos que<br />$$\int_{\mathbb R^n}\exp\left\{-\langle x,\Gamma x\rangle+2\langle m,x\rangle\right\}dx=\frac{\pi^{\frac n2}}{\sqrt{\det\Gamma}}\exp\left\{\langle m,\Gamma^{-1} m\rangle\right\}.$$<br />$ Correcto Abu, Saludos -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

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