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XXIII OIM: 2008, Sin resolver: 3, 6

EderC Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 29 2014, 12:45 AM Publicado: #21
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 18 Registrado: 2-July 14 Miembro Nº: 130.629 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(vocin @ Sep 17 2014, 07:34 AM) CUIDADO! Si abre este spoiler se encontrará con una solución del P2 que utiliza geometría analítica, abstenerse los sensibles o alérgicos a los sistemas de coordenadas P2: Coloquemos nuestro triángulo en un sistema de coordenadas, con el vértice B en el centro y la bisectriz exterior en el eje y (con ecuación $TEX: \( x=0 \)$ ). Ya que la bisectriz exterior es perpendicular a la interior, dicha línea va a quedar en el eje x (ecuación $TEX: \( y=0 \)$ ). Ya que los lados del triángulovan a formar los mismos ángulos con los ejes, pero en distinto sentido, van a tener la misma pendiente, pero de distinto signo. Llamemos entonces: $TEX: \( \displaystyle \overleftrightarrow { BA } :\quad y=mx \)$ $TEX: \( \displaystyle \overleftrightarrow { BC } :\quad y=-mx \)$ Para obtener los vértices A y C, vamos a ubicar los puntos P y Q, que se encuentran sobre el eje y. Para hacerlo, vamos a introducir los parámetros p y q, que cumplen: - $TEX: \( \displaystyle p,\quad q\quad \in \quad { { R } }^{ + } \)$ - $TEX: \( \displaystyle p\neq q \)$ Y nombraremos a los puntos P y Q como sigue: $TEX: \( \displaystyle P(0,p) \)$ $TEX: \( \displaystyle Q(0,-q) \)$ Con esto es fácil determinar los puntos B y C. Las ecuaciones de las rectas AP y CQ, al ser paralelas al eje x, son: $TEX: \( \displaystyle \overleftrightarrow { AP } :\quad y=p \)$ $TEX: \( \displaystyle \overleftrightarrow { CQ } :\quad y=-q \)$ Las coordenadas de A las obtenemos como intersección de AB y AP: $TEX: \( A:\overleftrightarrow { AB } \cap \overleftrightarrow { AP } \)$ $TEX: \( \displaystyle y=mx \)$ $TEX: \( \displaystyle y=p \)$ $TEX: \( \displaystyle mx=p \)$ $TEX: \( \displaystyle x=\frac { p }{ m } \)$ $TEX: \( \displaystyle A\left( \frac { p }{ m } ,p \right) \)$ Y las de C las sacamos como intersección de CB y CQ: $TEX: \( \displaystyle C:\overleftrightarrow { CB } \cap \overleftrightarrow { CQ } \)$ $TEX: \( \displaystyle y=-mx \)$ $TEX: \( \displaystyle y=-q \)$ $TEX: \( \displaystyle mx=q \)$ $TEX: \( \displaystyle x=\frac { q }{ m } \)$ $TEX: \( \displaystyle C\left( \frac { q }{ m } ,-q \right) \)$ Una vez obtenidas, saquemos la ecuación de la recta AC: $TEX: \( \displaystyle \frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ x-{ x }_{ 1 } } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { p+q }{ \frac { p }{ m } -\frac { q }{ m } } =\frac { y-p }{ x-\frac { p }{ m } } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { m(p+q) }{ p-q } =\frac { m(y-p) }{ mx-p } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { p+q }{ p-q } =\frac { y-p }{ mx-p } \)$ $TEX: \( \displaystyle (mx-p)(p+q)=(y-p)(p-q) \)$ $TEX: \( \displaystyle mxp-{ p }^{ 2 }+mxq-pq=yp-{ p }^{ 2 }-yq+pq \)$ $TEX: \( \displaystyle x(mp+mq)-pq=y(p-q)+pq \)$ $TEX: \( \displaystyle y=\frac { mp+mq }{ p-q } x-\frac { 2pq }{ p-q } \)$ Antes de sacar M y N, escribamos las ecuaciones de AQ y CP: AQ: $TEX: \( \displaystyle \frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ x-{ x }_{ 1 } } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { p+q }{ \frac { p }{ m } } =\frac { y+q }{ x } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { m(p+q) }{ p } =\frac { y+q }{ x } \)$ $TEX: \( \displaystyle x(mp+mq)=yp+pq \)$ $TEX: \( \displaystyle y=\frac { mp+mq }{ p } x-q \)$ CP: $TEX: \( \displaystyle \frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ x-{ x }_{ 1 } } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { -q-p }{ \frac { q }{ m } } =\frac { y-p }{ x } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { -m(q+p) }{ q } =\frac { y-p }{ x } \)$ $TEX: \( \displaystyle -x(mq+mp)=yq-pq \)$ $TEX: \( \displaystyle y=\frac { -(mp+mq) }{ q } x+p \)$ Ahora podemos obtener sin problemas las coordenadas de M y N. Comencemos con M: $TEX: \( M:\overleftrightarrow { CP } \cap \overleftrightarrow { AB } \)$ $TEX: \( \displaystyle y=\frac { -(mp+mq) }{ q } x+p \)$ $TEX: \( \displaystyle y=mx \)$ $TEX: \( \displaystyle mx=\frac { -(mp+mq) }{ q } x+p \)$ $TEX: \( \displaystyle mx+\frac { mp+mq }{ q } x=p \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { mp+2mq }{ q } x=p \)$ $TEX: \( \displaystyle x=\frac { pq }{ mp+2mq } \)$ $TEX: \( \displaystyle y=m\frac { pq }{ mp+2mq } \)$ $TEX: \( \displaystyle y=\frac { pq }{ p+2q } \)$ $TEX: \( \displaystyle M\left( \frac { pq }{ mp+2mq } ,\frac { pq }{ p+2q } \right) \)$ Y las del punto N: $TEX: \( N:\overleftrightarrow { AQ } \cap \overleftrightarrow { BC } \)$ $TEX: \( \displaystyle y=\frac { mp+mq }{ p } x-q \)$ $TEX: \( \displaystyle y=-mx \)$ $TEX: \( \displaystyle -mx=\frac { mp+mq }{ p } x-q \)$ $TEX: \( \displaystyle mx+\frac { mp+mq }{ p } x=q \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { 2mp+mq }{ p } x=q \)$ $TEX: \( \displaystyle x=\frac { pq }{ 2mp+mq } \)$ $TEX: \( \displaystyle y=-m\frac { pq }{ 2mp+mq } \)$ $TEX: \( \displaystyle y=-\frac { pq }{ 2p+q } \)$ $TEX: \( \displaystyle N\left( \frac { pq }{ 2mp+mq } ,-\frac { pq }{ 2p+q } \right) \)$ Para finalizar, obtengamos la ecuación de la recta MN: $TEX: \( \displaystyle { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ x-{ x }_{ 1 } } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { \frac { pq }{ p+2q } +\frac { pq }{ 2p+q } }{ \frac { pq }{ mp+2mq } -\frac { pq }{ 2mp+mq } } =\frac { y-\frac { pq }{ p+2q } }{ x-\frac { pq }{ mp+2mq } } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { \frac { 1 }{ p+2q } +\frac { 1 }{ 2p+q } }{ \frac { 1 }{ mp+2mq } -\frac { 1 }{ 2mp+mq } } =\frac { \frac { 1 }{ p+2q } \left( y(p+2q)-pq \right) }{ \frac { 1 }{ m(p+2q) } \left( mx(p+2q)-pq \right) } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { \frac { 3p+3q }{ (p+2q)(2p+q) } }{ \frac { 2mp+mq-mp-2mpq }{ (mp+2mq)(2mp+mq) } } =\frac { m\left( y(p+2q)-pq \right) }{ mx(p+2q)-pq } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { \frac { 1 }{ (p+2q)(2p+q) } (3p+3q) }{ \frac { 1 }{ m(p+2q)(2p+q) } (p-q) } =\frac { m\left( y(p+2q)-pq \right) }{ mx(p+2q)-pq } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { m(3p+3q) }{ p-q } =\frac { m\left( y(p+2q)-pq \right) }{ mx(p+2q)-pq } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { 3p+3q }{ p-q } =\frac { y(p+2q)-pq }{ mx(p+2q)-pq } \)$ $TEX: \( \displaystyle (3p+3q)(mx(p+2q)-pq)=(y(p+2q)-pq)(p-q) \)$ $TEX: \( \displaystyle mx(3p+3q)(p+2q)-pq(3p+3q)=y(p+2q)(p-q)-pq(p-q) \)$ $TEX: \( \displaystyle mx(3p+3q)(p+2q)-pq(3p+3q)+pq(p-q)=y(p+2q)(p-q) \)$ $TEX: \( \displaystyle mx(3p+3q)(p+2q)-pq(2p+4q)=y(p+2q)(p-q) \)$ $TEX: \( \displaystyle y=\frac { m(3p+3q)(p+2q) }{ (p+2q)(p-q) } x-\frac { 2pq(p+2q) }{ (p+2q)(p-q) } \)$ $TEX: \( \displaystyle y=\frac { m(3p+3q) }{ (p-q) } x-\frac { 2pq }{ p-q } \)$ Y vemos que tiene el mismo intercepto-y que la de AC, por lo que se MN y AC se interceptan en el eje y, que es donde está la bisectriz exterior; con eso estamos listos. Hola, fuera de ser alérgico a lo que mencionas, creo que toda solución merece una redacción mejor a la que estás presentando. Saludos. -------------------- "Si hay un problema filosófico verdaderamente serio, es sólo uno, y es el suicidio. Determinar si la vida vale o no la pena de ser vivida es dar respuesta a la pregunta fundamental de la filosofía. El resto, si el mundo posee tres dimensiones, si el espíritu posee nueve o doce categorías, vienen para después: son sólo juegos" "Este largo cansancio se hará mayor un día, y el alma dirá al cuerpo que no quiere seguir" "por un instante inmenso y vislumbramos nuestra unidad perdida, el desamparo que es ser hombres, la gloria que es ser hombres y compartir el pan, el sol, la muerte, el olvidado asombro de estar vivos;" "no me preocupa (si alguno tengo) mi lugar en la historia. (Tarde o temprano a todos nos espera el naufragio.)" "miedo a la muerte miedo a vivir demasiado miedo a la muerte. ya dije eso." fungeometry (videos geometry)

MarcosMJP25 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 2 2014, 09:21 PM Publicado: #22
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 6 Registrado: 2-October 14 Desde: Ciudad de Río Tercero - Cba -Argentina Miembro Nº: 132.670 Nacionalidad: Sexo:	CITA(EderC @ Sep 29 2014, 12:45 AM) Hola, fuera de ser alérgico a lo que mencionas, creo que toda solución merece una redacción mejor a la que estás presentando. Saludos. Hola EderC, como científico autodidacta he realizado en relatividad la: Teoría de la curvatura de la luz sobre la percepción física según MJP. Además, Sobre la Teoría Unificada por MJP (teoría física, con la cual refuto a la teoría de la relatividad). Planteo la Resolución de la conjetura de Goldbach, según MJP y la Resolución de la Conjetura de Collatz, por MJP, etc. Repito, AUTODIDACTA, y en calidad de tal te voy a pedir por favor que no hagas comentarios sobre los métodos analíticos de investigación de los demás filósofos, científicos y pensadores. Ni para bien, ni para mal, ya que de esa forma opacas la evolución del conocimiento, afectando indirectamente sobre el interés de aquellos especialistas en los temas de referencia que deseen estudiar. A los demás, los invito a leer mi Blog. Saludos !!!! · “NO EXISTE NI UNA SOLA CIENCIA, SINO EXISTE ANTES, UN AUTODIDACTA QUE LAS CREE”. · “EL INDIVIDUO QUE LOGRASE POSEER UN TÍTULO UNIVERSITARIO, LOGRARÁ UN MERITO SUBJETIVO, SI ES QUE EN SU ESTUDIO NO DESARROLLASE NINGÚN DESCUBRIMIENTO CIENTÍFICO QUE AMPLÍE EL PROCESO EVOLUTIVO DE LA CIENCIA”. · “SÍ DESDE LOS SISTEMAS BUROCRÁTICOS SE MARGINASE A LOS CIENTÍFICOS AUTODIDACTAS, SE MARGINA DE ESTA FORMA A LA INTELIGENCIA SUPERIOR, QUE ES A SU VEZ LA QUE LE DIO ORIGEN AL VALOR HEURÍSTICO DE LAS CIENCIAS MISMAS”. Marcos Jesús Paredes. Mensaje modificado por MarcosMJP25 el Oct 2 2014, 09:23 PM -------------------- Estimados amigos de Fmat, mi nombre es Marcos Jesús Paredes, soy oriundo y residente de la ciudad de Río Tercero - Cba - Argentina (País al cual represento en ciencia por acción gubernamental), y he escrito ésta pequeña noticia, deseando desde ya que les resulte de interés, pues he de esperar sus comentarios con gozosa ansiedad. Que Dios les bendiga a todos ustedes!!! Como científico autodidacta he realizado en relatividad la: Teoría de la curvatura de la luz sobre la percepción física según MJP. Además, Sobre la Teoría Unificada por MJP (teoría física, con la cual refuto a la teoría de la relatividad). Planteo la Resolución de la conjetura de Goldbach, según MJP y la Resolución de la Conjetura de Collatz, por MJP, etc. Para poder acceder a mi documentación institucional, a los citados trabajos en ciencia, notas en medios de difusión, etc., pueden ingresar a mi Blog marcosmjp25.blogspot.com/ Científico autodidacta - Físico - Matemático - Artista Plástico - Escritor - Seminarista - Inventor Saludos cordiales, Marcos Jesús Paredes.

felipemed Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 2 2014, 09:46 PM Publicado: #23
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 529 Registrado: 28-May 12 Desde: Chile Miembro Nº: 106.591 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(MarcosMJP25 @ Oct 2 2014, 09:21 PM) Hola EderC, [...] los invito a leer mi Blog. Marcos Jesús Paredes. Señor autodidacta MJP, basicamente todo lo que escribió en el primer párrafo se encuentra en la firma de MJP. http://unoticias.net/es/36323/ -------------------- “Everybody is a genius. But if you judge a fish by its ability to climb a tree, it will live its whole life believing that it is stupid.” ― Albert Einstein

MarcosMJP25 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 2 2014, 09:53 PM Publicado: #24
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 6 Registrado: 2-October 14 Desde: Ciudad de Río Tercero - Cba -Argentina Miembro Nº: 132.670 Nacionalidad: Sexo:	CITA(felipemed @ Oct 2 2014, 09:46 PM) Señor autodidacta MJP, basicamente todo lo que escribió en el primer párrafo se encuentra en la firma de MJP. http://unoticias.net/es/36323/ Lo se, porque soy un genio !! Debes ser muy inteligente para haberte dado cuenta (la verdad no son "pocos" quienes no logran entender cuando me comunico, debo haber encontrado un templo del pensar..."en este lugar me quedo"). Saludos "felipemed"! PS: Sobre la "broma" del Link, no tengo más palabras que unas risas, por supuesto el que creó esa "noticia" es un "ignorante estulto", pues alguien docto en mis trabajos sabe que ésas no son mis áreas de desarrollo (salvo un par de "pololeos" con la Teoría de Números..). Además destacados científicos están revisando mis resultados. Mensaje modificado por MarcosMJP25 el Oct 2 2014, 09:58 PM -------------------- Estimados amigos de Fmat, mi nombre es Marcos Jesús Paredes, soy oriundo y residente de la ciudad de Río Tercero - Cba - Argentina (País al cual represento en ciencia por acción gubernamental), y he escrito ésta pequeña noticia, deseando desde ya que les resulte de interés, pues he de esperar sus comentarios con gozosa ansiedad. Que Dios les bendiga a todos ustedes!!! Como científico autodidacta he realizado en relatividad la: Teoría de la curvatura de la luz sobre la percepción física según MJP. Además, Sobre la Teoría Unificada por MJP (teoría física, con la cual refuto a la teoría de la relatividad). Planteo la Resolución de la conjetura de Goldbach, según MJP y la Resolución de la Conjetura de Collatz, por MJP, etc. Para poder acceder a mi documentación institucional, a los citados trabajos en ciencia, notas en medios de difusión, etc., pueden ingresar a mi Blog marcosmjp25.blogspot.com/ Científico autodidacta - Físico - Matemático - Artista Plástico - Escritor - Seminarista - Inventor Saludos cordiales, Marcos Jesús Paredes.

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 3 2014, 07:27 PM Publicado: #25
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Señor marcos usted es muy inteligente para comentar en el sector de olimpiadas para niños. Pues todos estos problemas para usted son triviales le sugiero que visite foros de más categoría. -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 3 2014, 07:48 PM Publicado: #26
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Lichiel @ Oct 3 2014, 08:27 PM) Señor marcos usted es muy inteligente para comentar en el sector de olimpiadas para niños. Pues todos estos problemas para usted son triviales le sugiero que visite foros de más categoría. Don't feed the troll -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 19 2015, 07:59 PM Publicado: #27
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P5 Veamos que los circuncírculos de los triángulos AZY, ZBX e YXC concurren por Miquel, en un punto que llamaremos M. De esto es facil ver que $TEX: $\overleftrightarrow{ZM}, \overleftrightarrow{YM}, \overleftrightarrow{XM}$$ son ejes radicales, luego son perpendiculares a los lados $TEX: $\overline{A'B'}, \overline{B'C'}, \overline{C'A'}$$ respectivamente. Como $TEX: $\overline{ZB'}=\overline{MB'}=\overline{XB'}$$ y $TEX: $\widehat{ZX}=2\cdot\angle{ABC}$$ tenemos que $TEX: $\angle{A'B'C'}=\angle{ABC}$$ , y la situación es simétrica para los ángulos restantes, es decir $TEX: $\angle{B'C'A'}=\angle{BCA}$$ y $TEX: $\angle{C'A'B'}=\angle{CAB}$$ , por lo tanto $TEX: $\triangle{ABC}\sim\triangle{A'B'C'}$$ . De una forma parecida, notemos que $TEX: $\angle{MB'C'}=\frac{\widehat{MX}}{2}=\angle{MBC}$$ , $TEX: $\angle{MC'B'}=\angle{MCB}$$ de donde $TEX: $\triangle{MB'C'}\sim\triangle{MBC}$$ , usando esto tenemos que $TEX: $\frac{MB}{MB'}=\frac{BC}{B'C'}$$ . Por otro lado por desigualdad triangular $TEX: $2\cdot MB'= BB'+MB'\geq MB$$ , es decir $TEX: $\frac{B'C'}{BC}=\frac{MB'}{MB}\geq \frac{1}{2}$$ , analogamente se obtiene $TEX: $\frac{A'C'}{AC}\geq\frac{1}{2}$$ , y $TEX: $\frac{A'B'}{AB}\geq\frac{1}{2}$$ . De esto podemos concluir fácilmente, ya que $TEX: $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{A'B'+B'C'+A'C'}{AB+BC+AC}\geq\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{(A'B'C')}{(ABC)}\geq\frac{1}{4}$$ . Veamos que la igualdad se da cuando $TEX: $2MB'=MB$$ , $TEX: $2MA'=MA$$ y $TEX: $2MC'=MC$$ es decir MB, MA y MC son diametros, de donde (A, A', M), (C, C', M) y (B, B', M) son ternas de 3 puntos colineales cada una, y por ende AA', BB' y CC' concurren en M. MJP=dios? " "

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