XXIII OIM: 2008 - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Competencias y Olimpiadas > Olimpiadas > Olimpiada Iberoamericana

3 Páginas:

< 1 2 3 >

Reply to this topic

Start new topic

XXIII OIM: 2008, Sin resolver: 3, 6

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 25 2008, 10:12 PM Publicado: #11
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Killua @ Sep 21 2008, 08:14 PM) Problema 1: Considere los números $TEX: $1, 2, 3, \ldots , 2008^2$$ distribuidos en un tablero de $TEX: $2008\times{2008}$$ , de modo que en cada casilla haya un número distinto. Para cada fila y cada columna del tablero se calcula la diferencia entre el mayor y el menor de sus elementos. Sea $TEX: $\mathcal{S}$$ la suma de los $TEX: $4016$$ números obtenidos. Determine el mayor valor posible de $TEX: $\mathcal{S}$$ . Solución al problema 1 $TEX: \noindent Primero resolveremos el problema para un tablero de $4\times{4}$, a modo de ejemplo para explicar la forma de distribuir los n\'umeros en las casillas para maximizar el valor de $\mathcal{S}$. Definimos $\mathcal{S}_n$ la suma $\mathcal{S}$ definida en el problema, para un tablero de $n\times{n}$.$ $TEX: \noindent Dividimos el tablero como se muestra en la figura, con una regi\'on azul ("cuadrado $1$") y una regi\'on blanca ("cuadrado $2$"). Ubicaremos n\'umeros en las esquinas de cada cuadrado.\\<br /><br />\noindent En la regi\'on azul, ubicamos el $1$ como se muestra en la figura. Para que la diferencia sea m\'axima en la columna que ocupa el $1$, ubicamos el $16$ en esa columna. Ahora, en la fila que ocupa el $1$ ubicamos el $15$, maximizando la diferencia. Y en la fila que ocupa el $16$, escribimos el $2$ que maximiza la diferencia en esa columna.<br /><br />\noindent En el cuadrado $2$ o regi\'on blanca, ubicamos el siguiente n\'umero m\'as chico, que es el $3$, como muestra la figura. En esa columna anotamos el $14$ que maximiza la diferencia, y en la fila que ocupa el $3$ anotamos el $13$. Finalmente ubicamos el $4$ en la fila del $14$ para maximizar la diferencia de esa columna, y que a la vez lo hace de la fila del $13$. En este caso $\mathcal{S}_4=96$.\\<br /><br />\noindent En un tablero de $n\times{n}$, con $n$ par, dividimos este tablero en $\frac{n}{2}$ cuadrados, como se hizo en el ejemplo. El primer cuadrado cubrir\'a las filas y columnas perif\'ericas ($2$ filas y $2$ columnas), el segundo cuadrado cubrir\'a las $2$ filas y $2$ columnas siguientes, y as\'i sucesivamente, hasta que el cuadrado $\frac{n}{2}$ cubrir\'a las $2$ filas y $2$ columnas del centro. Ubicamos en las esquinas de cada cuadrado los n\'umeros que maximizan las diferencias de las filas y columnas que cubren. Como las diferencias se construyen restando el mayor menos el menor, en el cuadrado $1$ ubicamos primero el mayor n\'umero, $n^2$, compartiendo fila y columna con los menores, $1$ y $2$. Luego ubicamos $n^2-1$ en la esquina opuesta, que compartir\'a fila y columna con $1$ y $2$. Repetimos este procedimiento sucesivamente en cada cuadrado, haciendo las diferencias menores a medida que se avanza en los cuadrados.$ $TEX: \noindent M\'as precisamente, sea $s_k$ la suma de las diferencias del cuadrado $k$, tenemos que:<br /><br />$$s_1=(n^2)-1+(n^2)-2+(n^2-1)-1+(n^2-1)-2$$<br />$$s_2=(n^2-2)-3+(n^2-2)-4+(n^2-3)-3+(n^2-3)-4$$<br />$$\ldots$$<br />$$s_{\frac{n}{2}}=(n^2-n+2)-(n-1)+(n^2-n+2)-n+(n^2-n+1)-(n-1)+(n^2-n+1)-n$$\\$ $TEX: \noindent Como $\mathcal{S}_n=s_1+s_2+\ldots+s_{\frac{n}{2}}$, tenemos que:<br /><br />$$\mathcal{S}_n=2\displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1}(n^2-i)-2\sum_{i=1}^n{i}}$$<br />$$\mathcal{S}_n=\displaystyle{2\left(\sum_{i=0}^{n-1}{n^2}-\sum_{i=0}^{n-1}i-\sum_{i=1}^{n}i\right)}$$<br />$$\mathcal{S}_n=\displaystyle{2\left(n^2\cdot{n}-\frac{(n-1)n}{2}-\frac{n(n+1)}{2}\right)}$$<br />$$\mathcal{S}_n=2n^2(n-1)$$<br /><br />\noindent De esta forma $\mathcal{S}=\mathcal{S}_{2008}=2\cdot{2008}^2\cdot{2007}\ \blacksquare$$ Espero que se entienda, y disculpen por lo extensa Saludos. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 29 2008, 10:35 PM Publicado: #12
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Killua @ Sep 21 2008, 08:14 PM) Problema 5: Sean $TEX: $ABC$$ un triángulo y $TEX: $X, Y, Z$$ puntos interiores de los lados $TEX: $BC, AC, AB$$ respectivamente. Sean $TEX: $A', B', C'$$ los circuncentros correspondientes a los triángulos $TEX: $AZY, BXZ, CYX$$ , respectivamente. Demuestre que: $TEX: $(A'B'C')\ge\displaystyle\frac{(ABC)}{4}$$ y que la igualdad ocurre si y sólo si $TEX: $AA', BB'$$ y $TEX: $CC'$$ son concurrentes. Nota: Para un triángulo cualquiera $TEX: $RST$$ , denotamos su área por $TEX: $(RST)$$ . Solución al problema 5 Afirmación: $TEX: $\triangle{ABC}\sim\triangle{A'B'C'}$$ $TEX: \noindent Probaremos la afirmaci\'on. Sean $\alpha, \beta, \gamma$ los \'angulos del $\triangle{ABC}$ como habitual. Sea $D$ la intersecci\'on de los circunc\'irculos de $\triangle{AZY}$ y $\triangle{BZX}$. Sea $E$ la intersecci\'on de $\overleftrightarrow{XD}$ y $\overline{AC}$ (no mostrado en la figura). Notemos que $BZDX$ es c\'iclico, luego $\angle{ZDE}=\beta$. Como $AZDY$ es c\'iclico, entonces $\angle{ZDY}=180-\alpha=\beta+\gamma\Rightarrow\angle{EDY}=\gamma$. As\'i se tiene que $\angle{EDY}=\angle{YCX}$, de donde $DXCY$ es c\'iclico, es decir, el circunc\'irculo del $\triangle{CXY}$ pasa por $D$. Luego las tres circunferencias pasan por $D$.\\<br /><br />\noindent Notemos que $\overline{A'B'}\perp\overline{ZD}$ por ser ejes radicales de los c\'irculos con centros $A'$ y $B'$, y que $\overline{A'C'}\perp\overline{YD}$ por ser ejes radicales de los c\'irculos con centros $A'$ y $C'$. Luego el cuadril\'atero que forman $A', D$ y las intersecciones de estos ejes es c\'iclico, de donde el \'angulo en $A'$ es $180-(\beta+\gamma)=\alpha$. De esto se tiene que $\angle{B'A'C'}=\alpha$. An\'alogamente, $\beta=\angle{B'}$ y $\gamma=\angle{C'}$. De esto se sigue la afirmaci\'on $\square$.$ $TEX: \noindent Llamaremos $AB=c$ y $A'B'=c'$. Sean $P$ y $Q$ los pies de las perpendiculares desde $A', B'$, respectivamente, sobre $\overline{AB}$. Sea $R$ el pie de la perpendicular de $A'$ a $\overline{B'Q}$. Como $\overline{A'}P$ es mediatriz en el circunc\'irculo del $\triangle{AZY}$, entonces $AP=PZ$. Como $\overline{B'Q}$ es mediatriz en el circunc\'iculo del $\triangle{BZX}$, se tiene que $ZQ=QB$. Por lo tanto $PQ=\frac{c}{2}$. Ahora bien, es claro que $PQ=A'R$, luego, $\overline{A'B'}$ es hipotenusa en el tri\'angulo rect\'angulo $A'RB'$, de donde $A'B'=c'\ge{A'R}=\frac{c}{2}$ (con igualdad si y s\'olo si $A'B'=A'R$, o sea $A'B'\parallel{AB}$ $()$). Como $\triangle{ABC}\sim\triangle{A'B'C'}$, entonces $h_{C'}\ge\frac{h_{C}}{2}$ (son las alturas desde los v\'ertices respectivos en los tri\'angulos $A'B'C$ y $ABC$). Luego:<br /><br />$$\displaystyle\frac{h_{C'}c'}{2}\ge\frac{h_C{c}}{8}$$<br />$$\boxed{\displaystyle(A'B'C')\ge\frac{(ABC)}{4}}$$<br /><br />\noindent Veamos que la igualdad se da cuando $c'=\frac{c}{2}$ y $h_{C'}=\frac{h_C}{2}$, entonces tenemos que analizar la condici\'on $()$, es decir, $AB\parallel{A'B'}, BC\parallel{B'C'}, AC\parallel{A'C'}$ (la condici\'on se extiende de $\overline{A'B'}$ a los otros lados, ya que las desigualdades son an\'alogas para cada par de lados debido a que $\triangle{ABC}\sim\triangle{A'B'C'}$). Sea $T_1=AA'\cap{BB'}$, luego $B'$ es el punto medio de $BT_1$ (Thales). Sea $T_2=BB'\cap{CC'}$, entonces $B'$ es el punto medio de $BT_2$ (Thales). As\'i $T_1=T_2$, lo que implica que $AA', BB'$ y $CC'$ concurren en $T_1$. Resumiendo, la igualdad se da si y s\'olo si $c'=\frac{c}{2}\Leftrightarrow\ AA', BB'$ y $CC'$ son concurrentes. Hemos finalizado $\blacksquare$$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

tebas Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 9 2008, 09:58 AM Publicado: #13
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 85 Registrado: 9-January 08 Desde: Guatemala Miembro Nº: 14.478 Sexo:	otra pa el Problema 1 Sean $TEX: $a$$ y $TEX: $c$$ la suma de todos los mayores elementos de todas las columnas y de todas las filas respectivamente. Sean $TEX: $b$$ y $TEX: $d$$ la suma de todos los mayores elementos de todas las columnas y todas las filas respectivamente. Note que $TEX: $S=(a-b)+(c-d)=(a+b)-(c+d)$$ Ahora $TEX: $a$$ y $TEX: $c$$ son la suma de $TEX: $2008$$ enteros distintos menores o iguales a $TEX: $2008^2$$ por tanto $TEX: $$a+c\le 2\sum_{k=0}^{2007}{2008^2-k}=2(2008^3-\frac{2007\cdot 2008}{2})=2\cdot 2008^3-2007\cdot 2008$$$ La interpretación de esto es que cada número entre $TEX: $2008^2, 2008^2-1,...,2088^2-2007$$ es el mayor de su columna y de su fila. Este es el único caso en que se da la igualdad. De manera similar $TEX: $b$$ y $TEX: $d$$ son la suma de $TEX: $2008$$ enteros distintos así que $TEX: $$b+d\ge 2\sum_{k=1}^{2008}{k}=2008\cdot 2009$$$ La interpretación de esto es que cada número entre $TEX: $1,2,...,2008$$ es el menor de su fila y de su columna. Este es el único caso en que se da la igualdad. De las desigualdes anteriores resulta $TEX: $S=(a+b)-(c+d)\le 2\cdot2008^3-2007\cdot 2008-2009\cdot 2008=2(2008^3-2008^2)$$ Ahora para comprobar que este es el máximo valor de $TEX: $S$$ falta dar una manera de colocar los números de tal forma que $TEX: $S$$ tome el valor anterior. Una de las posibles configuraciones que máximizan $TEX: $S$$ es colocar los números $TEX: $1,2,...,2008$$ en una de las diagonales, en cualquier orden, y los números $TEX: $2008^2, 2008^2-1,...,2088^2-2007$$ en otra de las diagonales, en cualquier orden también. (note que las diagonales tiene $TEX: $2008$$ casillas cada una y que no se traslapan) De esta manera se cumple que cada número $TEX: $1,2,...,2008$$ es el menor de su fila y su columna. En efecto el $TEX: $1$$ siempre es mínimo de su fila y columna sin importar donde se coloque, y para cada uno de los otros números tenemos que los números menores que ellos estan en la diagonal, es decir en distinta fila y columna. Por eso son los mínimos de su fila y de su columna. Análogamente se argumenta que en este caso los números $TEX: $2008^2, 2008^2-1,...,2088^2-2007$$ son los mayores de su fila y su columna. No importa como se coloquen los demás números en tanto lo que determina $S$ son los mayores y los menores. Esto concluye la solución. De hecho el máximo valor posible para $TEX: $S$$ es $TEX: $2(2008^3-2008^2)$$ Mensaje modificado por tebas el Oct 9 2008, 10:00 AM

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2009, 03:31 PM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	tengo duda en la solucion de killua del prob 4, acaso no se puede concluir que $TEX: $y=1000$$ y $TEX: $y=331$$ directamente, lo que produciria una contradiccion, resolviendo el problema? $TEX: Por polignac sabemos que la maxima potencia de 7 que divide a $2008!$ es 331, ademas como 7 divide a $2008!$ y a $21^y$, entonces 7 divide a $x^{2008}$. Entonces escribimos $2008!=7^{331}a$, con $a$ entero positivo coprimo con 7, y $x=7^bc$ con $b$ y $c$ enteros positivos. Entonces la ecuacion se transforma en:<br />$7^{2008b}c^{2008}+7^{331}a=21^y$, entonces<br />$7^{331}(7^{2008b-331}c+a)=21^y$<br />Como $2008b-331>0$ puesto que $b$ es entero positivo se sigue que $7^{2008b-331}$ es multiplo de 7, y como $a$ es coprimo con 7, se sigue que la expresion $7^{2008b-331}c+a$ no es multiplo de 7, por lo tanto $y=331$<br />Analogamente encuentras que $y=1000$ (utlilizando el 3 en vez del 7), contradiccion<br />$ -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 6 2009, 11:35 AM Publicado: #15
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Killua @ Sep 21 2008, 08:24 PM) Problema 3: Sean $TEX: $m$$ y $TEX: $n$$ números enteros tales que el polinomio $TEX: $P(x)=x^3+mx +n$$ tiene la siguiente propiedad: si $TEX: $x$$ e $TEX: $y$$ son enteros y $TEX: $107$$ divide a $TEX: $P(x)-P(y)$$ , entonces $TEX: $107$$ divide a $TEX: $x-y$$ . Demuestre que $TEX: $107$$ divide a $TEX: $m$$ . Acabo de leer este tema y viendo que falta la solucion del P3 (y aprovechando que ando con tiempo) les cuento lo que se me ocurre al respecto: Escribimos x=y+107k+2r y tenemos para x distinto de y: $TEX: $\frac{P(x)-P(y)}{x-y}=(x^2+xy+y^2+m)\\<br />=3y^2 + 3y(107k + 2r) + (107k + 2r)^2+m.$ ()$ Ahora, como 2 es coprimo con 107, decir que x-y no es divisible por 107 es lo mismo que decir que r no es cero modulo 107. Lo que probaremos es lo siguiente: si m no es multiplo de 107 entonces podemos encontrar enteros x e y tales que x-y no es multiplo de 107 pero P(x)-P(y) si. Esto bastara para resolver el problema. De esta forma lo unico que tenemos que hacer es mostrar que para cada m que no es 0 modulo 107, existen enteros y,k,r cumpliendo que: 1. r no es cero modulo 107 (esto asegura que 107 no divide x-y) 2. La expresion () es cero modulo 107 (esto asegura que 107 divide P(x)-P(y)). Tomemos k=0. Nos falta encontrar r e y (o al menos mostrar que existen). Veamos () modulo 107 y con k=0: $TEX: $3y^2 + 3y(107k + 2r) + (107k + 2r)^2+m\\<br />=3y^2 + 6ry+4r^2+m=3(y+r)^2+r^2+m$$ Ahora, cuando r varia sobre los restos no nulos modulo 107 obtenemos que $TEX: $r^2$$ recorre el conjunto C los restos cuadraticos no nulos modulo 107, que son 53 porque 107 es primo. Una vez fijado un r, cuando y recorre los restos modulo 107 entonces $TEX: $(y+r)^2$$ recorre todos los restos cuadraticos modulo 107, que son 54 (contando al 0). Como 3 es coprimo con 107 entonces $TEX: $3(y+r)^2$$ recorre un conjunto D con 54 elementos. Finalmente, al hacer todas las elecciones posibles de r e y vemos que $TEX: $3(y+r)^2+r^2$$ recorre un conjunto con al menos \|C\|+\|D\|-1=53+54-1=106 elementos (por Cauchy-Davenport). Esto significa que a lo mas hay solo un resto modulo 107 que no podemos escribir en la forma $TEX: $3(y+r)^2+r^2$$ , lo llamamos s. Basta mostrar que en caso que exista s debe ser 0 y con esto estariamos listos porque significa que -m mod 107 puede ser escrito en la forma $TEX: $3(y+r)^2+r^2$$ obteniendo que existen y,k,r con r no divisible por 107 tales que () es 0 modulo 107. Veamos entonces que s en efecto existe y es 0: Primero, observamos que $TEX: $D=C\cup \{0\}$$ porque $TEX: $18^2=3$$ modulo 107 asi que $TEX: $3(y+r)^2+r^2=(18y+18r)^2+r^2$$ donde 18y+18r recorre todos los restos modulo 107. De esta forma s es un resto modulo 107 que no se puede escribir en la forma $TEX: $a^2+r^2$$ con r distinto de 0 modulo 107. De la reciprocidad cuadratica sabemos que -1 no es resto cuadratico modulo 107 porque $TEX: $(-1)^{\frac{107-1}{2}}=(-1)^{53}=-1$$ asi que no se puede tener $TEX: $a^2+r^2=0$$ cuando r no es 0 modulo 107. Por lo tanto 0 tiene la propiedad de s pero habia a lo mas un resto de ese tipo, probando que s=0. Esto finaliza la solucion. Saludos! Mensaje modificado por Pasten el May 6 2009, 11:37 AM -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 8 2009, 06:21 PM Publicado: #16
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Solucion alternativa del 2, usando trigonometria y ley de senos . Voy a utilizar la imagen de killua pa mi solucion, ps no tengo programa para graficar, gracias de antemano: Sea D el punto de interseccion de las rectas PB y AC. Todas las sgts relaciones son por ley de senos: $TEX: $\dfrac{BN}{NQ}=\dfrac{sen\angle{BQN}}{sen\beta},\dfrac{NQ}{NC}=\dfrac{sen\angle{NCQ}}{sen\angle{NQC}}=\dfrac{sen(90-\beta)}{sen(90-\angle{BQN)}}=\dfrac{cos\beta}{cos\angle{BQN}}$$ Multiplicandolas dos ultimas ecuaciones obtenemos: $TEX: $\dfrac{BN}{NC}=\dfrac{Sen\angle{BQN}}{sen\beta}\dfrac{cos\beta}{cos\angle{BQN}}=\dfrac{tan\angle{BQN}}{tan\beta}(1)$$ Analogamente obtenemos: $TEX: $\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{tan\beta}{tan\angle{BPM}}(2)$$ Multiplicando las ecuaciones (1) y (2) ecuaciones obtenemos: $TEX: $\dfrac{BN}{NC}\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{tan\angle{BQN}}{tan\angle{BPM}}=\dfrac{tan\angle{PQA}}{tan\angle{QPC}}=\dfrac{PA/PQ}{QC/PQ}=\dfrac{PA}{QC}=\dfrac{AD}{DC} (3)$$ La ultima igualdad se sigue de la semejanza de los triangulos DPA y DQC. Multiplicando la ecuacion (3) por $TEX: $\dfrac{DC}{AD}$$ y con el teorema de menelau se sigue el resultado que D, M y N son colineales, y ya ta viteh. Mensaje modificado por xD13G0x el Jun 8 2009, 07:02 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 8 2009, 06:22 PM Publicado: #17
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	perdon por el doble post, este mause no sirve ps, da dos clics en uno XD, una cosa... porque no puedo modificar mi anterior mensaje, me acabo de dar cuenta que hay un error en la ultima parte Mensaje modificado por xD13G0x el Jun 8 2009, 07:03 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 8 2009, 08:04 PM Publicado: #18
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ Jun 8 2009, 07:22 PM) perdon por el doble post, este mause no sirve ps, da dos clics en uno XD, una cosa... porque no puedo modificar mi anterior mensaje, me acabo de dar cuenta que hay un error en la ultima parte Si es un error de latex, tienes que volver a poner las etiquetas {tex} y {/tex} (en lugar de las llaves "{}", colocar corchetes "[]"), porque el latex genera una imagen que se guarda en el servidor (por eso te queda algo así como [tex=./tex/ade2dd24e46ca20e0d22aaf9fe326f6b.png]), y sólo cambiando los códigos, no pasa nada. Saludos. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 15 2013, 01:50 PM Publicado: #19
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Se me ocurrió una más corta al 4 Problema 4: Supongamos que si tiene soluciones. De la ecuación es directo que $TEX: $21\|x\Rightarrow x=21k, k\in \mathbb{Z}$$ , luego $TEX: $x^{2008}=(21k)^{2008}$$ . Por otro lado $TEX: $21^y>(21j)^{2008}>21^{2008}$$ , luego $TEX: $y>2008$$ de donde se tiene que $TEX: $21^{2008}\|2008!$$ , contradicción. Luego la ecuación no tiene soluciones enteras. Saludos c: -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 17 2014, 07:34 AM Publicado: #20
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	CUIDADO! Si abre este spoiler se encontrará con una solución del P2 que utiliza geometría analítica, abstenerse los sensibles o alérgicos a los sistemas de coordenadas P2: Coloquemos nuestro triángulo en un sistema de coordenadas, con el vértice B en el centro y la bisectriz exterior en el eje y (con ecuación $TEX: \( x=0 \)$ ). Ya que la bisectriz exterior es perpendicular a la interior, dicha línea va a quedar en el eje x (ecuación $TEX: \( y=0 \)$ ). Ya que los lados del triángulovan a formar los mismos ángulos con los ejes, pero en distinto sentido, van a tener la misma pendiente, pero de distinto signo. Llamemos entonces: $TEX: \( \displaystyle \overleftrightarrow { BA } :\quad y=mx \)$ $TEX: \( \displaystyle \overleftrightarrow { BC } :\quad y=-mx \)$ Para obtener los vértices A y C, vamos a ubicar los puntos P y Q, que se encuentran sobre el eje y. Para hacerlo, vamos a introducir los parámetros p y q, que cumplen: - $TEX: \( \displaystyle p,\quad q\quad \in \quad { { R } }^{ + } \)$ - $TEX: \( \displaystyle p\neq q \)$ Y nombraremos a los puntos P y Q como sigue: $TEX: \( \displaystyle P(0,p) \)$ $TEX: \( \displaystyle Q(0,-q) \)$ Con esto es fácil determinar los puntos B y C. Las ecuaciones de las rectas AP y CQ, al ser paralelas al eje x, son: $TEX: \( \displaystyle \overleftrightarrow { AP } :\quad y=p \)$ $TEX: \( \displaystyle \overleftrightarrow { CQ } :\quad y=-q \)$ Las coordenadas de A las obtenemos como intersección de AB y AP: $TEX: \( A:\overleftrightarrow { AB } \cap \overleftrightarrow { AP } \)$ $TEX: \( \displaystyle y=mx \)$ $TEX: \( \displaystyle y=p \)$ $TEX: \( \displaystyle mx=p \)$ $TEX: \( \displaystyle x=\frac { p }{ m } \)$ $TEX: \( \displaystyle A\left( \frac { p }{ m } ,p \right) \)$ Y las de C las sacamos como intersección de CB y CQ: $TEX: \( \displaystyle C:\overleftrightarrow { CB } \cap \overleftrightarrow { CQ } \)$ $TEX: \( \displaystyle y=-mx \)$ $TEX: \( \displaystyle y=-q \)$ $TEX: \( \displaystyle mx=q \)$ $TEX: \( \displaystyle x=\frac { q }{ m } \)$ $TEX: \( \displaystyle C\left( \frac { q }{ m } ,-q \right) \)$ Una vez obtenidas, saquemos la ecuación de la recta AC: $TEX: \( \displaystyle \frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ x-{ x }_{ 1 } } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { p+q }{ \frac { p }{ m } -\frac { q }{ m } } =\frac { y-p }{ x-\frac { p }{ m } } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { m(p+q) }{ p-q } =\frac { m(y-p) }{ mx-p } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { p+q }{ p-q } =\frac { y-p }{ mx-p } \)$ $TEX: \( \displaystyle (mx-p)(p+q)=(y-p)(p-q) \)$ $TEX: \( \displaystyle mxp-{ p }^{ 2 }+mxq-pq=yp-{ p }^{ 2 }-yq+pq \)$ $TEX: \( \displaystyle x(mp+mq)-pq=y(p-q)+pq \)$ $TEX: \( \displaystyle y=\frac { mp+mq }{ p-q } x-\frac { 2pq }{ p-q } \)$ Antes de sacar M y N, escribamos las ecuaciones de AQ y CP: AQ: $TEX: \( \displaystyle \frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ x-{ x }_{ 1 } } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { p+q }{ \frac { p }{ m } } =\frac { y+q }{ x } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { m(p+q) }{ p } =\frac { y+q }{ x } \)$ $TEX: \( \displaystyle x(mp+mq)=yp+pq \)$ $TEX: \( \displaystyle y=\frac { mp+mq }{ p } x-q \)$ CP: $TEX: \( \displaystyle \frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ x-{ x }_{ 1 } } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { -q-p }{ \frac { q }{ m } } =\frac { y-p }{ x } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { -m(q+p) }{ q } =\frac { y-p }{ x } \)$ $TEX: \( \displaystyle -x(mq+mp)=yq-pq \)$ $TEX: \( \displaystyle y=\frac { -(mp+mq) }{ q } x+p \)$ Ahora podemos obtener sin problemas las coordenadas de M y N. Comencemos con M: $TEX: \( M:\overleftrightarrow { CP } \cap \overleftrightarrow { AB } \)$ $TEX: \( \displaystyle y=\frac { -(mp+mq) }{ q } x+p \)$ $TEX: \( \displaystyle y=mx \)$ $TEX: \( \displaystyle mx=\frac { -(mp+mq) }{ q } x+p \)$ $TEX: \( \displaystyle mx+\frac { mp+mq }{ q } x=p \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { mp+2mq }{ q } x=p \)$ $TEX: \( \displaystyle x=\frac { pq }{ mp+2mq } \)$ $TEX: \( \displaystyle y=m\frac { pq }{ mp+2mq } \)$ $TEX: \( \displaystyle y=\frac { pq }{ p+2q } \)$ $TEX: \( \displaystyle M\left( \frac { pq }{ mp+2mq } ,\frac { pq }{ p+2q } \right) \)$ Y las del punto N: $TEX: \( N:\overleftrightarrow { AQ } \cap \overleftrightarrow { BC } \)$ $TEX: \( \displaystyle y=\frac { mp+mq }{ p } x-q \)$ $TEX: \( \displaystyle y=-mx \)$ $TEX: \( \displaystyle -mx=\frac { mp+mq }{ p } x-q \)$ $TEX: \( \displaystyle mx+\frac { mp+mq }{ p } x=q \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { 2mp+mq }{ p } x=q \)$ $TEX: \( \displaystyle x=\frac { pq }{ 2mp+mq } \)$ $TEX: \( \displaystyle y=-m\frac { pq }{ 2mp+mq } \)$ $TEX: \( \displaystyle y=-\frac { pq }{ 2p+q } \)$ $TEX: \( \displaystyle N\left( \frac { pq }{ 2mp+mq } ,-\frac { pq }{ 2p+q } \right) \)$ Para finalizar, obtengamos la ecuación de la recta MN: $TEX: \( \displaystyle { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ x-{ x }_{ 1 } } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { \frac { pq }{ p+2q } +\frac { pq }{ 2p+q } }{ \frac { pq }{ mp+2mq } -\frac { pq }{ 2mp+mq } } =\frac { y-\frac { pq }{ p+2q } }{ x-\frac { pq }{ mp+2mq } } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { \frac { 1 }{ p+2q } +\frac { 1 }{ 2p+q } }{ \frac { 1 }{ mp+2mq } -\frac { 1 }{ 2mp+mq } } =\frac { \frac { 1 }{ p+2q } \left( y(p+2q)-pq \right) }{ \frac { 1 }{ m(p+2q) } \left( mx(p+2q)-pq \right) } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { \frac { 3p+3q }{ (p+2q)(2p+q) } }{ \frac { 2mp+mq-mp-2mpq }{ (mp+2mq)(2mp+mq) } } =\frac { m\left( y(p+2q)-pq \right) }{ mx(p+2q)-pq } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { \frac { 1 }{ (p+2q)(2p+q) } (3p+3q) }{ \frac { 1 }{ m(p+2q)(2p+q) } (p-q) } =\frac { m\left( y(p+2q)-pq \right) }{ mx(p+2q)-pq } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { m(3p+3q) }{ p-q } =\frac { m\left( y(p+2q)-pq \right) }{ mx(p+2q)-pq } \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac { 3p+3q }{ p-q } =\frac { y(p+2q)-pq }{ mx(p+2q)-pq } \)$ $TEX: \( \displaystyle (3p+3q)(mx(p+2q)-pq)=(y(p+2q)-pq)(p-q) \)$ $TEX: \( \displaystyle mx(3p+3q)(p+2q)-pq(3p+3q)=y(p+2q)(p-q)-pq(p-q) \)$ $TEX: \( \displaystyle mx(3p+3q)(p+2q)-pq(3p+3q)+pq(p-q)=y(p+2q)(p-q) \)$ $TEX: \( \displaystyle mx(3p+3q)(p+2q)-pq(2p+4q)=y(p+2q)(p-q) \)$ $TEX: \( \displaystyle y=\frac { m(3p+3q)(p+2q) }{ (p+2q)(p-q) } x-\frac { 2pq(p+2q) }{ (p+2q)(p-q) } \)$ $TEX: \( \displaystyle y=\frac { m(3p+3q) }{ (p-q) } x-\frac { 2pq }{ p-q } \)$ Y vemos que tiene el mismo intercepto-y que la de AC, por lo que se MN y AC se interceptan en el eje y, que es donde está la bisectriz exterior; con eso estamos listos. -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

« Posterior · Olimpiada Iberoamericana · Anterior »

3 Páginas:

< 1 2 3 >

Reply to this topic

Start new topic

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 4th April 2025 - 11:26 AM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.