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Al menos dos iguales

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 21 2008, 02:11 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent \textbf{Propuesto.} \textsf{Los enteros positivos $x_1,x_2,\ldots ,x_{100}$ satisfacen la ecuación}<br />$$\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}+\cdots +\dfrac{1}{\sqrt{x_{100}}}=20$$<br />\textsf{Probar que al menos dos de ellos son iguales.}$ Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 8 2010, 08:17 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	Hola!! ojala me pudieras dar algun hint llevo varios dias dandole vueltas al problema, he tenido varias ideas, pero ninguna que llegue muy lejos Salu2 EDIT: De dónde sacaste el problema? Me parece muy interesante (sólo si lo recuerdas xD) Mensaje modificado por Hamon el Aug 8 2010, 08:17 PM -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 8 2010, 09:39 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Asi al ojo, desigualdad y palomar -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 10 2010, 06:11 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Pedantic Anarchy @ Aug 8 2010, 10:39 PM) Asi al ojo, desigualdad y palomar ¿qué desigualdad? Ordenarlos de menor a mayor sin perdida de generalidad? -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 12 2010, 04:40 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Supongamos sin perdida de generalidad que $TEX: $x_1\ge x_2 \ge \dots x_{100}$$ , si no existe ningún par igual entonces se cumplirá que $TEX: $x_i\ge i$ para $i\in\{1,2,\dots ,100\}$$ . Luego tenemos las siguiente desigualdad $TEX: $20=\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dots +\dfrac{1}{\sqrt{x_{100}}}\le\displaystyle\sum_{i=1}^{100}\dfrac{2}{2\sqrt{i}}< \sum_{i=1}^{100}\dfrac{2}{\sqrt{i}+\sqrt{i-1}}$$ Como $TEX: $\dfrac{1}{\sqrt{i}+\sqrt{i-1}}=\sqrt{i}-\sqrt{i-1}$$ tenemos que $TEX: $20<2\displaystyle\sum_{i=1}^{100}\dfrac{2}{\sqrt{i}+\sqrt{i-1}}=2\sum_{i=1}^{100}\sqrt{i}-\sqrt{i-1}=2(\sqrt{100}-\sqrt{0})=20$$ Contradicción $TEX: $\Box$$ -------------------- blep

Suicide Machine Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 12 2010, 05:08 PM Publicado: #6
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 146 Registrado: 22-July 10 Miembro Nº: 74.494 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Hamon @ Aug 10 2010, 07:11 PM) ¿qué desigualdad? Ordenarlos de menor a mayor sin perdida de generalidad? estaba la primera idea, faltó machacarse, como éste: CITA(snw @ Sep 12 2010, 05:40 PM) Supongamos sin perdida de generalidad que $TEX: $x_1\ge x_2 \ge \dots x_{100}$$ , si no existe ningún par igual entonces se cumplirá que $TEX: $x_i\ge i$ para $i\in\{1,2,\dots ,100\}$$ . Luego tenemos las siguiente desigualdad $TEX: $20=\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dots +\dfrac{1}{\sqrt{x_{100}}}\le\displaystyle\sum_{i=1}^{100}\dfrac{2}{2\sqrt{i}}< \sum_{i=1}^{100}\dfrac{2}{\sqrt{i}+\sqrt{i-1}}$$ Como $TEX: $\dfrac{1}{\sqrt{i}+\sqrt{i-1}}=\sqrt{i}-\sqrt{i-1}$$ tenemos que $TEX: $20<2\displaystyle\sum_{i=1}^{100}\dfrac{2}{\sqrt{i}+\sqrt{i-1}}=2\sum_{i=1}^{100}\sqrt{i}-\sqrt{i-1}=2(\sqrt{100}-\sqrt{0})=20$$ Contradicción $TEX: $\Box$$ Al fin está resuelto este problema, que llevaba aproximadamente 2 años esperando. Bien astuta la idea de amplificar la fracción por 2. (No daré mayores opiniones sobre la solución, eso queda a cargo de los moderadores, supongo.) Mensaje modificado por Suicide Machine el Sep 12 2010, 05:09 PM

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 13 2010, 05:44 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Suicide Machine @ Sep 12 2010, 07:08 PM) estaba la primera idea, faltó machacarse, como éste: Al fin está resuelto este problema, que llevaba aproximadamente 2 años esperando. Bien astuta la idea de amplificar la fracción por 2. (No daré mayores opiniones sobre la solución, eso queda a cargo de los moderadores, supongo.) La verdad no es algo que se me haya ocurrido, sino un truco algo conocido ver aquí saludos -------------------- blep

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