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Cuarto Nivel Individual, versión Octava Región

†Alucard† Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 17 2006, 06:15 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 519 Registrado: 22-April 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 925 Nacionalidad: Sexo:	Aquí está la prueba realizada en la Región del Bío Bío: $TEX: \noindent $\boxed{P_1}$<br /><br />En la figura se etiqueta con un 0 al origen del sistema cartesiano de coordenada. Al punto de coordenadas $(1,0)$ se le asigna 1, al $(1,1)$ el 2, y as\'i sucesivamente, siguiendo un orden en espiral.<br /><br />Indicar las coordenadas del punto al que le corresponde el 2006.$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img220.imageshack.us/img220/2476/nm4f34cw.png');}" /> $TEX: \noindent $\boxed{P_2}$<br /><br />Encuentra el valor de la siguiente suma: \[<br />\frac{1}<br />{3} - \frac{2}<br />{9} + \frac{3}<br />{{27}} - \frac{4}<br />{{81}} + \frac{5}<br />{{3^5 }} - \ldots + \ldots - \frac{{2006}}<br />{{3^{2006} }}<br />\]$ Saludos -------------------- There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why is it here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened. - Adams, The Restaurant at the End of the Universe ----------------------------------- Existe una teoría que postula que si alguien alguna vez llega a descubrir exactamente para qué es el Universo y por qué está aquí, éste desaparecerá instantáneamente y será reemplazado por algo aún más extraño e inexplicable. Existe otra teoría que dice que esto ya ha ocurrido. - Adams, el Restorán al Final del Universo

0.9999999...=1 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 17 2006, 07:08 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 281 Registrado: 7-April 06 Desde: Santiago - Quirihue Miembro Nº: 786 Nacionalidad: Sexo:	Problema uno, Yo llegue a la conclusiónk los números k llevaban los vertices superiores izquierdo iban en la siguiente sucesión: $TEX: <br />\[<br />(2n)^2 <br />\]$ y sus coordenadas eran: $TEX: \[<br />( - n,n)<br />\]<br /><br />$ El número k iba en los vertices inferiores izquierdos llevaba la siguiente formula: $TEX: \[<br />(2n)^2 + 2n<br />\]$ y sus coordenadas eran: $TEX: \[<br />( - n, - n)<br />\]<br />$ luego el vertice superior izquierdo número 22 tiene el número 1936 el vertice inferior izquierdo número 22 tiene el número 1980 y su coordenada seria (-22,-22) por lo tanto el número 2002 lleva la coordenada (0,22) y el número 2006 lleva la coordenada (4,-22) En el problema dos llegue a una expresión k en too caso ni sirve, pero pa tener algo de puntaje la puse, no se si tara buena o mala. La expresión era esta: $TEX: <br />\[<br />\frac{{3^{4010} - \sum\limits_{n = 1}^{2005} {\left( {\left( {\frac{{2n + 1}}{3} - 2n} \right)*3^{4010 - n} } \right)} }}{{3^{4011} }}<br />\]<br />$ -------------------- "Si le das a un hombre un pescado, comerá un día. Si le enseñas a pescar, comerá toda la vida." "Si persiges a dos conejos al mismo tiempo, los perderás a ambos." "Las cosas valen lo que su comprador esté dispuesto a pagar por ellas."

xJuanoxx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 17 2006, 08:55 PM Publicado: #3
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 12 Registrado: 21-April 06 Miembro Nº: 902	Yo note que en el 4º cuadrante se forma una diagonal que tiene los numeros $TEX: $(2n-1)^2$$ Asi trate de llegar a algun numero de esa forma que estuviera serca del 2006 De esta manera llegue al 45 ya q $TEX: $45^2 = 2025$$ Este punto tiene las coordenadas (23 , -22) y como la diferencia entre 2025 y 2006 es 19 al 23 le reste 19 y llegue a (4 , -22 )

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 17 2006, 09:23 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	aahh la 2 creo que se puede hacer con inducción matemática pero parece que me perdí.. jeej en la solución q taba posteando --------------------

†Alucard† Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 18 2006, 10:36 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 519 Registrado: 22-April 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 925 Nacionalidad: Sexo:	CITA(†Alucard† @ Jun 17 2006, 07:15 PM) $TEX: \noindent $\boxed{P_2}$<br /><br />Encuentra el valor de la siguiente suma: \[<br />\frac{1}<br />{3} - \frac{2}<br />{9} + \frac{3}<br />{{27}} - \frac{4}<br />{{81}} + \frac{5}<br />{{3^5 }} - \ldots + \ldots - \frac{{2006}}<br />{{3^{2006} }}<br />\]$ Este problema no se me hubiese ocurrido nunca, si no fuera por este hint de Kenshin... pasa que en ese problema la segunda solución realmente me marcó, y gracias a ella pude hacer este nuevo problema sin tantas complicaciones. Paso 1: Análisis Previo Se observa que, como hay sumas y restas alternadas, lo más conveniente sería buscar alguna suma telescópica que vaya "matando" de a 2 los términos de la suma: por lo tanto, se debe encontrar algún término en función de n, tal que al sumarle el n-ésimo término de la suma y restarle el (n+1)-ésimo, dé como resultado el mismo término en función de (n+2). Luego será cosa de meter ese término adecuadamente y la suma se hará telescópica. Paso 2: Nikita-Nipone Se buscan valores de k e i que cumplan $TEX: $\dfrac{kn+i}{3^n}+\dfrac{n}{3^n}-\dfrac{n+1}{3^{n+1}}=\dfrac{k(n+2)+i}{3^{n+2}}$$ Los detalles quedan para el lector, soluciones son $TEX: $k=-\dfrac{3}{4}\wedge i=\dfrac{3}{16}$$ Entonces el término buscado es $TEX: $\dfrac{-\dfrac{3}{4}n+\dfrac{3}{16}}{3^n}$$ Sumándolo y restándolo, evaluado en n=1, a la suma original, queda $TEX: $-\dfrac{-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{16}}{3}+\dfrac{-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{16}}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3^2}+ \dfrac{3}{3^3}-\dfrac{4}{3^4}+\dots -\dfrac{2006}{3^{2006}}$$ Paso 3: Suma telescópica Se aplica reiteradas veces la propiedad mostrada en el paso 2: $TEX: $-\dfrac{-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{16}}{3}+\left(\dfrac{-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{16}}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3^2}\right)+ \dfrac{3}{3^3}-\dfrac{4}{3^4}+\dots -\dfrac{2006}{3^{2006}}$$ $TEX: $-\dfrac{-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{16}}{3}+\left(\dfrac{-\dfrac{3}{4}\cdot 3 +\dfrac{3}{16}}{3^3}+\dfrac{3}{3^3}-\dfrac{4}{3^4}\right)+\dfrac{5}{3^5}-\dots -\dfrac{2006}{3^{2006}}$$ $TEX: $-\dfrac{-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{16}}{3}+\left(\dfrac{-\dfrac{3}{4}\cdot 5 +\dfrac{3}{16}}{3^5}+\dfrac{5}{3^5}-\dfrac{6}{3^6}\right)+\dots -\dfrac{2006}{3^{2006}}$$ Y así sucesivamente, hasta $TEX: $-\dfrac{-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{16}}{3}+\dfrac{-\dfrac{3}{4}\cdot 2007 +\dfrac{3}{16}}{3^{2007}}$$ Simplificando, queda $TEX: $\dfrac{1-4\cdot 2007 +3^{2007}}{16\cdot 3^{2006}}$$ Saludos -------------------- There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why is it here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened. - Adams, The Restaurant at the End of the Universe ----------------------------------- Existe una teoría que postula que si alguien alguna vez llega a descubrir exactamente para qué es el Universo y por qué está aquí, éste desaparecerá instantáneamente y será reemplazado por algo aún más extraño e inexplicable. Existe otra teoría que dice que esto ya ha ocurrido. - Adams, el Restorán al Final del Universo

sebagarage Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 20 2006, 09:10 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 817 Registrado: 28-May 06 Desde: maipú, santiago. Miembro Nº: 1.210 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Me gustaría saber si alguien tiene otra solución para este problema (P2), para que por favor la suba; ya que me gustó la forma en que lo resolvió Alucard, pero como que no puedo verle otro tipo de solución, por eso pido ayuda. De antemano gracias. -------------------- Estudiante de 5º año de Ingeniería Civil Industrial en la U. de Chile

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 20 2006, 10:14 PM Publicado: #7
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(sebagarage @ Jun 20 2006, 10:10 PM) Me gustaría saber si alguien tiene otra solución para este problema (P2), para que por favor la suba; ya que me gustó la forma en que lo resolvió Alucard, pero como que no puedo verle otro tipo de solución, por eso pido ayuda. De antemano gracias. Bueno, dado que piden una nueva vision, veremos que se puede hacer: Llamemos: $TEX: $\mathcal{A}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{9}+\dfrac{3}{27}-\dfrac{4}{81}.....+\dfrac{2005}{3^{2005}}-\dfrac{2006}{3^{2006}}$$ Luego, amplificando por $TEX: $\dfrac{1}{3}$$ a ambos lados de la igualdad, obtendremos que: $TEX: $\dfrac{1}{3}\mathcal{A}=\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{27}+\dfrac{3}{81}-....+\dfrac{2005}{3^{2006}}-\dfrac{2006}{3^{2007}}$$ Sumando ambas ecuaciones (agrupando las fracciones de igual denominador) obtendremos: $TEX: $\dfrac{4}{3}\mathcal{A}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}-\dfrac{1}{81}+...+\dfrac{1}{3^{2005}}-\dfrac{1}{3^{2006}}-\dfrac{2006}{3^{2007}}$$ Amplificando esta ultima nuevamente por $TEX: $\dfrac{1}{3}$$ , tendremos: $TEX: $\dfrac{4}{9}\mathcal{A}=\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81}-...+\dfrac{1}{3^{2006}}-\dfrac{1}{3^{2007}}-\dfrac{2006}{3^{2008}}$$ Si nuevamente sumamos las dos ultimas ecuaciones (agrupando aquellas fraciones de igual denominador, que en este caso se van cancelando) obtendremos: $TEX: $\dfrac{16}{9}\mathcal{A}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2007}{3^{2007}}-\dfrac{2006}{3^{2008}}$$ Finalmente: $TEX: $\mathcal{A}=\dfrac{9}{16}\left[\dfrac{1}{3}-\dfrac{2007}{3^{2007}}-\dfrac{2006}{3^{2008}}\right]$$ PD: Queda propuesto al lector el comprobar que el resultado final coincide con el de †Alucard† -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Ivan Acrata Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 23 2006, 10:17 PM Publicado: #8
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 32 Registrado: 30-April 06 Desde: Puente Asko! Miembro Nº: 997 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	... -------------------- SE HACEN ESTAMPADOS... CUALQUIER CONSULTA MANDAR MENSAJE

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