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Propuesto 17, Dificultad [Intermedia, Difícil]

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 2 2008, 01:16 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Probar que si una función $TEX: $$\varphi$$$ cumple con las siguientes condiciones. $TEX: $$\varphi$$$ es convexa. Es estrictamente creciente y continua en $TEX: $$\left[ {0,\infty } \right)$$$ . $TEX: $$\varphi \left( 0 \right) = 0$$$ $TEX: $$\psi = \varphi ^{ - 1} $$$ Entonces, para $TEX: $$a \in \left[ {0,\infty } \right)$$$ y $TEX: $$b \in \left[ {0,\sup \varphi } \right)$$$ la siguente desigualdad se cumple. $TEX: $$ab \leqslant \int_0^a {\varphi \left( t \right)dt} + \int_0^b {\psi \left( t \right)dt} $$$ Razón de Edición Se me había olvidado poner una condición, ahora creo que debería estar más claro. Mensaje modificado por neo shykerex el Dec 8 2008, 02:51 PM -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

kbzoon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 7 2008, 09:28 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.627 Registrado: 11-October 07 Desde: Suburbios de Conchalí Miembro Nº: 11.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Salió largo. Demostración: Las hipótesis planteadas en el problema, permiten plantear lo pedido como : $TEX: \[<br />\left( {\forall a,b \in \mathbb{R}_0^ + } \right)<br />\]<br />$ es válida la desigualdad; $TEX: \[<br />ab \leqslant \int_0^a {\varphi \left( t \right)dt + \int_0^b {\varphi ^{ - 1} \left( t \right)dt} } <br />\]<br />$ además, como $TEX: \[<br />\varphi \left( t \right)<br />\]<br />$ es continua y creciente en $TEX: \[<br />\left[ {0,a} \right]<br />\]<br />$ entonces, $TEX: \[<br />{\varphi ^{ - 1} \left( t \right)}<br />\]<br />$ también es continua y creciente en $TEX: \[<br />\left[ {0,b} \right]<br />\]<br />$ . Consideremos la partición $TEX: \[<br />P_{\left[ {0,a} \right]} <br />\]<br />$ tal que $TEX: \[<br />P_{\left[ {0,a} \right]} = \left\{ {x_0 ,x_1 ,...,x_n } \right\}:x_0 = 0,x_n = a<br />\]<br />$ Por otro lado, consideremos la partición imagen de $TEX: \[<br />{\varphi \left( t \right)}<br />\]<br />$ o partición de $TEX: \[<br />{\varphi ^{ - 1} \left( t \right)}<br />\]<br />$ tal que $TEX: \[<br />Q_{\left[ {0,b} \right]} = \left\{ {y_0 ,y_1 ,...,y_n } \right\} = \left\{ {\varphi \left( {x_0 } \right),\varphi \left( {x_1 } \right),...,\varphi \left( {x_n } \right)} \right\}<br />\]<br />$ donde, $TEX: \[<br />y_0 = 0,y_n = b<br />\]<br />$ . como sabemos que $TEX: \[<br />{\varphi \left( t \right)}<br />\]<br />$ es creciente, por Weirstrass sabemos que en cada $TEX: \[<br />\left[ {x_{i - 1} ,x_i } \right]<br />\]<br />$ el mayor valor de la función es $TEX: \[<br />M_i \left( \varphi \right) = \varphi \left( {x_i } \right)<br />\]<br />$ del mismo modo, $TEX: \[<br />m_i \left( \varphi \right) = \varphi \left( {x_{i - 1} } \right)<br />\]<br />$ . Análogamente, tenemos que sobre $TEX: \[<br />\left[ {y_{i - 1} ,y_i } \right]<br />\]<br />$ el valor minimo $TEX: \[<br />m_i \left( {\varphi ^{ - 1} } \right) = \varphi ^{ - 1} \left( {y_{i - 1} } \right) = x_{i - 1} <br />\]<br />$ y el máximo $TEX: \[<br />M_i \left( {\varphi ^{ - 1} } \right) = \varphi ^{ - 1} \left( {y_i } \right) = x_i <br />\]<br />$ . entonces, tenemos las siguientes sumas: $TEX: \[<br />S\left( {\varphi ,P} \right) = \mathop \sum \limits_{i \leqslant n} \varphi \left( {x_i } \right)\left( {x_i - x_{i - 1} } \right) = \mathop \sum \limits_{i \leqslant n} \left( {\varphi \left( {x_i } \right)x_i - \varphi \left( {x_i } \right)x_{i - 1} } \right)<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />s\left( {\varphi ,P} \right) = \mathop \sum \limits_{i \leqslant n} \varphi \left( {x_{i - 1} } \right)\left( {x_i - x_{i - 1} } \right) = \mathop \sum \limits_{i \leqslant n} \left( {\varphi \left( {x_{i - 1} } \right)x_i - \varphi \left( {x_{i - 1} } \right)x_{i - 1} } \right)<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />S\left( {\varphi ^{ - 1} ,Q} \right) = \mathop \sum \limits_{i \leqslant n} x_i \left( {\varphi \left( {x_i } \right) - \varphi \left( {x_{i - 1} } \right)} \right) = \mathop \sum \limits_{i \leqslant n} \left( {x_i \varphi \left( {x_i } \right) - x_i \varphi \left( {x_{i - 1} } \right)} \right)<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />s\left( {\varphi ^{ - 1} ,Q} \right) = \mathop \sum \limits_{i \leqslant n} x_{i - 1} \left( {\varphi \left( {x_i } \right) - \varphi \left( {x_{i - 1} } \right)} \right) = \mathop \sum \limits_{i \leqslant n} \left( {x_{i - 1} \varphi \left( {x_i } \right) - x_{i - 1} \varphi \left( {x_{i - 1} } \right)} \right)<br />\]<br />$ Entonces, $TEX: \[<br />S\left( {\varphi ,P} \right) + s\left( {\varphi ^{ - 1} ,Q} \right) + S\left( {\varphi ^{ - 1} ,Q} \right) + s\left( {\varphi ,P} \right) = <br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\mathop \sum \limits_{i \leqslant n} \left( {x_i \varphi \left( {x_i } \right) - x_{i - 1} \varphi \left( {x_{i - 1} } \right)} \right) + \mathop \sum \limits_{i \leqslant n} \left( {x_i \varphi \left( {x_i } \right) - x_{i - 1} \varphi \left( {x_{i - 1} } \right)} \right) = <br />\]<br />$ $TEX: \[<br />2\mathop \sum \limits_{i \leqslant n} \left( {x_i \varphi \left( {x_i } \right) - x_{i - 1} \varphi \left( {x_{i - 1} } \right)} \right) = <br />\]<br />$ $TEX: \[<br />2\left( {\underbrace {x_n \varphi \left( {x_n } \right)}_{ab} - \underbrace {x_0 \varphi \left( {x_0 } \right)}_{ = 0}} \right) = 2ab<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\therefore S\left( {\varphi ,P} \right) + s\left( {\varphi ^{ - 1} ,Q} \right) + S\left( {\varphi ^{ - 1} ,Q} \right) + s\left( {\varphi ,P} \right) = 2ab<br />\]<br />$ ,por otro lado, como: $TEX: \[<br />s\left( {\varphi ,P} \right) \leqslant \int_0^a {\varphi \left( t \right)dt} \leqslant S\left( {\varphi ,P} \right)<br />\]<br />$ y $TEX: \[<br />s\left( {\varphi ^{ - 1} ,Q} \right) \leqslant \int_0^b {\varphi ^{ - 1} \left( t \right)dt} \leqslant S\left( {\varphi ^{ - 1} ,Q} \right)<br />\]<br />$ Podemos acotar: $TEX: \[<br />S\left( {\varphi ,P} \right) + s\left( {\varphi ^{ - 1} ,Q} \right) + S\left( {\varphi ^{ - 1} ,Q} \right) + s\left( {\varphi ,P} \right) \leqslant \int_0^a {\varphi \left( t \right)dt} + \int_0^b {\varphi ^{ - 1} \left( t \right)dt} + \int_0^a {\varphi \left( t \right)dt} + \int_0^b {\varphi ^{ - 1} \left( t \right)dt} <br />\]<br />$ $TEX: \[<br /> \Rightarrow 2ab \leqslant 2\left\{ {\int_0^a {\varphi \left( t \right)dt} + \int_0^b {\varphi ^{ - 1} \left( t \right)dt} } \right\}<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\therefore ab \leqslant \int_0^a {\varphi \left( t \right)dt} + \int_0^b {\varphi ^{ - 1} \left( t \right)dt} <br />\]<br />$ como quería demostrarse $TEX: \[<br />\blacksquare <br />\]<br />$ Espero que guste la solución. -------------------- Injeniería de Minas. The best SpaceDream Radio ever

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 8 2008, 12:49 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Sólo me pregunto el porqué no comenzaste indicando que $TEX: $$a \in \left[ {0,\infty } \right),b \in \left[ {0,\sup\varphi } \right)$$$ para analizar el problema. Me retracto de mi errónea primera percepción de su solución, por el detalle presentado al inicio no estaría del todo bien la demostración - siendo rigurosos -. Para comprender el porqué, podría relacionar el problema con la Transformada de Legendre. Razón de Edición Especificar sobre lo usado en la Transformada de Legendre podría confundir en el presente caso. Mensaje modificado por neo shykerex el Dec 8 2008, 02:41 AM -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

kbzoon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 8 2008, 03:04 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.627 Registrado: 11-October 07 Desde: Suburbios de Conchalí Miembro Nº: 11.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bueno, bueno, es verdad, ahora bien, mi prueba es sólo válida para $TEX: \[<br />\varphi <br />\]<br />$ función estrictamente creciente, en donde $TEX: \[<br />\varphi :\left[ {0,a} \right] \to \left[ {0,b} \right]<br />\]<br />$ porsupuesto, también biyectiva. desde este punto de vista, mi prueba es correcta. (Desigualdad de Young). Sin más que decir, ojalá alguién resuelva este propuesto con las intenciones originales de neo_shykerex. -------------------- Injeniería de Minas. The best SpaceDream Radio ever

tsoldovieri Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 16 2015, 06:23 PM Publicado: #5
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 16-December 15 Miembro Nº: 143.002 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Yo estoy escribiendo un libro sobre la Transformación de Legendre. Puedes encontrar una versión en desarrollo y revisión en mi web www.cmc.org.ve/tsweb . Por favor, deja tus comentarios en el libro de visitas, el link está en la parte superior derecha donde está la calavera que mueve el dedo. Gracias! :-)

2.718281828 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 3 2017, 11:53 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.876 Registrado: 27-December 07 Desde: ∂Ω©ȹʕѺϧگἐᾋ1©Ӹ█₯►☻X TH.....I FORGOR Miembro Nº: 14.122 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Ｅｎ　ｔｕ　ｈｏｎｏｒ　Ｊｅａｎ Consideremos la siguiente identidad $TEX: $$ \int_0^x h(x) dx+\int_0^{h(x)} h^{-1}(x)dx=xh(x)$$$ para todo h tal que h(0)=0 continua estrictamente creciente. Sea $TEX: $a \in [0,\infty[$ y $b \in Rec\varphi=[0,\sup(\phi)[$$ . Sea $TEX: $\psi=\varphi^{-1}$$ entonces $TEX: $\psi$$ tambien es continua y estrictamente creciente con $TEX: $\psi(0)=0$$ . Luego se cumple la identidad: $TEX: $$ \int_0^x \psi(x) dx+\int_0^{\psi(x)} \varphi (x)dx=x\psi(x)$$$ . Supongamos sin perdida de generalidad que $TEX: $\psi(b)\leq a$,$ es decir $TEX: $b \leq \varphi(a)$$ . Por lo tanto: $TEX: $$\int_0^a\varphi(x)dx=\int_0^{\psi(b)}\varphi(x)dx+\int_{\psi(b)}^a \varphi(x)dx$$$ Pero como $TEX: $\varphi$$ es estrictamente creciente: $TEX: $$\int_0^a\varphi(x)dx=\int_0^{\psi(b)}\varphi(x)dx+\int_{\psi(b)}^a \varphi(x)dx \geq \int_0^{\psi(b)}\varphi(x)dx +(a-\psi(b))b$$$ y usando la identidad: $TEX: $$\int_0^a\varphi(x)dx\geq \int_0^{\psi(b)}\varphi(x)dx +(a-\psi(b))b=b\psi(b)-\int_0^b \psi (x) dx+ab-b\psi(b)=ab-\int_0^b \psi (x) dx$$$ Concluyendo que: $TEX: $$ab\leq \int_0^a\varphi(x)dx+\int_0^b \psi (x) dx$$$ ¿Era necesario el supuesto de convexidad? ＳａｌｕｄｏｓＣｌａｕｄｉｏ -------------------- Claudio Henriquez Tapia Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin Si todo sale bien, estaría defendiendo en Julio 2024. [indent] everywhere at the end of FMAT ｆｍａｔ　ｎｅｅｄｓ　.... To Survive... 3ch03s facts: a nearest integer: $TEX: $e^{\pi}-\pi=19.999099979$$ Ecuacion funcional no simetrica de la funcion zeta de riemann: $TEX: $$\zeta (1-s)=2^{1-s}\pi^s \cos (\pi s/2) \Gamma(s) \zeta(s)$$$ acid number as a pitagoric trio: $TEX: $45904^2+303^2=45905^2$$ lost: $TEX: 4 8 15 16 23 42$ Teorema del colo colo: $TEX: axioma del colo: $\forall \lambda>1$ $\forall \mu>0$, se tiene que: $$\inf(colo)^{-\mu}>\sup(U)^{\lambda}$$ y es invariante ante derrotas.$ Una interesante distribucion (en ingles y en progreso): ver aqui y aqui Como hallar a lacie resolviendo esta ecuacion: $TEX: $$\ln \left(\frac{x}{acl}\right)=1+\frac 12 i \pi$$<br />aplicando exponencial:<br />$$\frac{x}{acl}=e^{1+\frac 12 i \pi}$$<br />$$\frac{x}{acl}=e\times e^{\frac 12 i \pi}$$<br />y como $e^{\frac 12 i \pi}=\cos(\frac \pi 2)+i\sin(\frac \pi 2)=i$<br />y en consecuencia:<br />$$\frac{x}{acl}=ei$$<br />$$x=acl \times ei$$<br />finalmente:<br />$$x=lacie$$<br />$$=$$$ Frases para el bronce by 3ch03s: uno de los mejores mensajes de fmat, de parte de un loco pasado a dubstep (respondiendole a pasten): CITA(skrillex @ Jul 9 2012, 10:41 PM) nunca e dicho que me gusta vagar :o que * te pasa no fumo ni tomo tienes super esteriotipada la pobresa no por que sea de no tantos recursos me voy a drogar :´C me hiere tu comentario creí que aquí habría gente con mente abierta no como tu ** burgués ojala quemen tu casa y se violen a tu familia y en otro mundo de tantos esta pasando :D saludos fraternos y en otro mundo eres travestí y te vendí en la calle abrazos :D Kaissa se autodeclara un "ICM lover" (es en buena) meanwhile in "ayuda para un primo mio" (seccion consultas generales): CITA(KaICMssa @ Dec 30 2012, 09:55 AM) En la UdeC se llama "optimización no lineal" creo y es un curso de Ing Mat (puaj) Este "aporte" lo dejo porque puede haber algún estudiante de dicha carrera (puaj...) que desconozca el curso con ese nombre. Posteriormente pregunte a que se debe el Puaj, y me dijo que se referia a ICM, entonces en un post de agradecimiento a todos (pq igual no me acordaba mucho de la materia y tuve que rebobinar my cerebro) dije que seria odiado por kaissa pq saldria de Ingeniero Civil Matematico. entonces.... CITA(KaICMssa @ Jan 1 2013, 12:25 PM) faltó el "puajjj!" (es importante!) fin. Pasten, idolo: CITA(Pasten @ Jan 31 2013, 07:46 PM) Yo persigo fama, mujeres, dinero y poder, por eso me meti a estudiar matematica. trolleo terafail. sobre las temperaturas bajo 0K (aunq originalmente en el manga camus si se veia ultragay, con el pelo rosado y las uñas pintadas webbona!) CITA(Pedro Gaete @ Feb 11 2013, 09:20 PM) El primer indicio de que se podía bajar la temperatura bajo el cero absoluto fue cuando pelearon en las 12 casas los maracos de Hyoga y Camus. don coqui se hace el chistoso. CITA(coquitao @ Mar 24 2012, 10:36 PM) Tal como se lee en el encabezado, el objetivo de este tema es proponer una lista de problemitas para celebrar el post 1500 de coquitao. Algunas de las preguntas se han retomado de discusiones sin respuesta en fmat.cl y algunas otras de Condorito y revistas similares. Se ha intentado darle variedad a las preguntas para que no haya pretexto de no abordarlas sino hasta el 2015. Saludos. Kaissa, da ICM lover strikes back: Haters gonna hate. CITA(KaICMssa @ Feb 18 2013, 09:11 PM) ¿Qué hace hoy un matemático? - ver HD. - disfrutar de las vacaciones. - sobarse las manos pensando en cuánto hará sufrir a sus futuros alumnos. - recibir llamadas telefónicas preguntando tonteras como "cuánto es la raíz cuadrada de 7561?" - mirar de vez en cuando el diploma para no sentirse tan mal por la horrible vida que escogió. - esperar un futuro mejor :3 Kaissa da flamin' ICM lovah is fuckin' back. (mientras tanto en un post de bienvenida) El asunto es que una usuaria pregunto acerca de como eramos los usuarios de FMAT, un par les respondieron que tenian buena voluntad siempre y cuando sea con respeto y blah blah.... la cosa es que le respondi explayandome un poco (como siempre), y en la ultima linea dije que no sabia si habian usuarios prepotentes. entonces y en modo de respuesta por la ultima linea..... Asi hablo Kaissa da ICM lovah: CITA(Kaissa da ICM lovah @ May 9 2013, 01:40 PM) Sin mencionar a los ICM puaj! Le respondi que extrañaba sus comentarios..... Kaissa RULZ Con uds. Las ironias y el sarcasmo de Pasten.!!!!! pt.1. CITA(Pasten @ Apr 13 2012, 08:24 PM) Demostracion 2: Estimado lector, si usted no cree que hay infinitos numeros primos entonces hagamos el siguiente experimento mental. Suponga que los unicos numeros primos son p1, p2, ..., pr y que no hay mas. Hagase el numero N que es el producto de todos esos primos que segun usted son solo finitos. Entonces, estimado lector, podria decirme cuales son los factores primos de N+1? seguro que no podra! pienselo un minuto y se va a dar cuenta. Este error le muestra que debe haber infinitos primos. Mori con esto: Los picapiedras ft. coquitao. CITA(coquitao aka pedro picapiedra @ Mar 8 2012, 08:38 PM) es notable pues: ¡no es por contradicción! ¡Yabadabadoo! Kaissa pesaa conmigo ajajajaj: CITA(Kaissa da ICM lovah 2014 @ Jan 1 2014, 01:30 PM) Ojalá que este año Claudio enmiende camino y se salga de la cuestión de carrera esa. (broma, obvio :) ) Creo que JAV no entiende el comercial de snickers. CITA(jefferson alexander vitola @ Mar 12 2014, 05:11 PM) .......por ultimo, dices que me calme y que me coma una chocolatina snikers, esa no me gusta tanto, prefiero la milkyway, esa es mi favorita,,,, ..... att jefferson alexander vitola :zippytecito: e=syd barrett. coquitabadabadoo goes floyd. CITA(coquitao @ May 20 2009, 07:03 PM) Presento aquí una versión aumentada de la propuesta hecha por Syd Barrett. Espero que sea del agrado de todos: - Si G es un grupo de orden pq donde p, q son números primos, p>q y q no divide a p-1, entonces G es cíclico. Nótese que el propuesto anterior proporciona una nueva solución al problema planteado por e = Syd Barrett. En efecto, mi propuesto implica que ............. tl;dr wtf abu? CITA(Abu-Khalil @ Nov 7 2009, 11:39 AM) Me referia a cambios de series con integrales, con límites, con asdfsda. Pasten, the warrior. (Plus interesante detalle despues del texto en negrita) CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 08:21 AM) Por que la gente vieja deja de postear? porque la gente nueva ya no tiene el espiritu del guerrero. Antes teniamos el espiritu del guerrero pero ahora ustedes ya no tienen el espiritu del guerrero. ...... En mis tiempos eramos bacanes, brigidos y por que no decir pulentos.** Donde estan las nuevas generaciones? wassappeando y actualizando su perfil de face. Saludos. Solo se que pasten tiene sed CITA(Pasten @ Nov 1 2015, 09:21 PM) Sólo sé que tengo sed. QQQQQUUUUEEEEEEEEEE (and he was f*cking right) ???????? CITA(C.F.Gauss @ Nov 3 2015, 03:24 PM) Sólo sé que G.B. se ha materializado en un flaite. Fmat dejame subir mas citas! TB-3030303 que es YTP-Tennis:

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