Segundo Nivel Individual Opciones

[Rurouni Kenshin]

Problema 1
En una antigua cronica del CMAT puede leerse el siguiente texto:
"Hace dos años,el numero de alumnos inscritos era un cuadrado perfecto.El año pasado el numero de alumnos aumento en 100,obteniendose un cuadrado perfecto aumentado en una unidad. Este año,el numero de de alumnos inscritos supero en 100 el año anterior, y este total es nuevamente un cuadrado perfecto"
Determine el numero de alumnos inscritos en el CMAT en cada uno de los tres años.

Problema 2
Dado un triangulo equilatero ABC de lado L, se construye el cuadrado BCDE exterior al triangulo ABC y de lado comun BC.
¿Cual es el radio de la circunferencia que pasa por los puntos A,D y E?

[Francisco Muñoz]

la solucion a estos problemas es casi siempre de la misma forma, es por eso que quiero postearla, para que les pueda servir en alguna ocasion.

tomemos el primer dato: en el primer año hubo a^2 participantes.

el segundo año hubo 100 participantes mas ,es decir, a^2 +100. obteniendose un cuadrado perfecto aumentado en una unidad. por lo tanto

a^2+100=b^2 + 1 (ec. 1)

el tercer año hay 100 participantes mas que el año anterior es decir a^2+200 y eso es nuevamente un cuadrado perfecto.

a^2+200=c^2. (ec.2)

realizando ec.2-ec.1 nos queda:

(a^2+200) -(a^2+100) =c^2- (b^2 + 1)
simplificando 100 =c^2-b^2 -1
sumando uno 101=c^2-b^2
factorizando 101=(c-B)(c+B)

Ahora, 101 es primo y (c-B) y (c+B) son sus divisores entonces se cumple que :

c-b=1 y c+b=101

sumando ambas ecuaciones tenemos que 2*c=102, de lo cual c=51.

ahora c-b=1 entonces b=50.

y solo nos falta calcular a... que es a^2+200=c^2
a^2+200=51^2
a^2=2601-200
a^2=2401
a=49

Entonces la respuesta es: el numero de participantes en cada año fue de 2401, 2501y 2601 respectivamente.

Eso seria todo, sin mas que decir se despide Francisco Muñoz Espinoza.