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hallar x, numero de oro

xdanielx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2008, 12:27 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 3.360 Registrado: 11-March 08 Miembro Nº: 16.617	$TEX: Halle el valor de$ $TEX: $$<br />\sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + ......} } } } } } } <br />$$$

Ernesto Piwonka Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2008, 01:01 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 874 Registrado: 18-October 07 Desde: The Matrix... Miembro Nº: 11.478 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(vivanco @ Aug 30 2008, 02:17 PM) $TEX: Halle el valor de$ $TEX: $$<br />\sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + ......} } } } } } } <br />$$$ Sea la siguiente sucesión, definida recursivamente: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> a_1 = 1 \hfill \\<br /> a_{n + 1} = \sqrt {1 + a_n } \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ De este modo, el valor que se desea calcular es igual a $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } a_{n + 1} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt {1 + a_n } = \sqrt {1 + L} \hfill \\<br /> \therefore L^2 = L + 1 \Rightarrow L^2 - L - 1 = 0 \Rightarrow L = \frac{{1 \pm \sqrt {1^2 + 4} }}<br />{2} = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}<br />{2} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Tenemos dos posibles valores. Para saber cuál es el correcto, debemos determinar si la sucesión es creciente o no, puesto que uno de los valores es mayor que 1 y el otro es menor. Por inducción, debemos probar que $TEX: \[<br />a_{n + 1} > a_n ,\forall n \in \mathbb{N}<br />\]$ i) P(1): $TEX: \[<br />a_2 > a_1 \Leftrightarrow \sqrt 2 > 1<br />\]$ , lo cual evidentemente se cumple. ii) P(k) => P(k+1): suponiendo cierto que $TEX: \[<br />a_{k + 1} > a_k <br />\]$ , debemos probar que $TEX: \[<br />a_{k + 2} > a_{k + 1} <br />\]$ : $TEX: \[<br />\underbrace {\sqrt {1 + a_k } }_{a_{k + 1} } > a_k \Rightarrow 1 + \sqrt {1 + a_k } > 1 + a_k \Rightarrow \underbrace {\sqrt {1 + \underbrace {\sqrt {1 + a_k } }_{a_{k + 1} }} }_{a_{k + 2} } > \underbrace {\sqrt {1 + a_k } }_{a_{k + 1} } \Rightarrow a_{k + 2} > a_{k + 1} <br />\]$ lo que prueba que la sucesión es creciente; además, como $TEX: \[<br />a_1 = 1<br />\]$ , es claro, pues, que el límite finalmente vale $TEX: \[<br />\frac{{1 + \sqrt 5 }}<br />{2}<br />\]$ , es decir, $TEX: \[<br />\sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + \ldots } } } = \frac{{1 + \sqrt 5 }}<br />{2} = \phi <br />\]$ -------------------- Saludos, EPC http://epiwonka.blogspot.com

diagramadecuerpo... diagramadecuerpolibre Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 24 2017, 03:38 PM Publicado: #3
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 22 Registrado: 27-January 16 Miembro Nº: 143.491 Nacionalidad: Sexo:	un clásico xd

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