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Tercer Nivel Individual

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 28 2005, 10:41 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Problema 1 Cinco jovenes ordenados de mayor a menor peso: Mario, Rodolfo, Jose, Daniel y Gonzalo descubrieron que pesandose de dos en dos,e intercambiandose de a uno cada vez,podian conocer el peso de todos ellos gastando solo una moneda. Una vez que todas las posibles parejas se pesaron, sus pesos resultaron ser: 119Kg, 116Kg, 125Kg, 114Kg, 121Kg, 117Kg, 112Kg, 108Kg, 110Kg, 106Kg. ¿Cuanto pesa cada uno de ellos? Problema 2 En una circunferencia de centro $TEX: $O$$ y radio $TEX: $r$$ , se dibujan los diametros perpendiculares $TEX: $\overline{AC}$$ y $TEX: $\overline{BD}$$ .Con centro en $TEX: $A$$ y radio $TEX: $AB$$ dibujamos un arco de circunferencia como muesta la figura: -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Francisco Muñoz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2005, 11:13 AM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 414 Registrado: 19-May 05 Desde: puente alto, santiago Miembro Nº: 45 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bueno el problema dos es super directo, uno se puede dar la lata de hacer los calculos, pero considero que es una perdida de tiempo( ya se daran cuenta porque). Este problema no es mas que una aplicacion del teorema de las semilunas (asi yo recuerdo que se llama, pero si alguien sabe el nombre exacto me lo podria decir) de este teorema se deduce, que el area del triangulo rectangulo $TEX: $ADB$$ es igual al area del sector achurado. es decir $TEX: $r^2$$ . En este momento no tengo el tiempo para postear el teorema integro, me debo ir a clases, pero me comprometo que a mas tardar el domingo lo posteo, asi que los dejo con la curiosidad... Este post no termina aqui, continuara... pero por mientras lo pueden buscar en internet o simplemente esperar. lo siento... Sin otro particular, se despide Francisco Muñoz Espinoza -------------------- "No tenemos la solucion a todos los problemas del mundo en nuestras manos... Pero frente a los problemas del mundo tenemos nuestras manos..." Teresa de Calcuta

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2005, 08:25 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Creo que lo importante no va en el teorema de las semilunas sino en cómo se justifica dicho teorema. Si alguien hubiera hecho referencia a dicho resultado (en la prueba), ojalá que lo haya explicado brevemente en su desarrollo -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Deep Blue Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2005, 09:55 PM Publicado: #4
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 35 Registrado: 18-May 05 Desde: Santiago Miembro Nº: 40	P1/ LLamemos $TEX: $M$$ a Mario, $TEX: $R$$ a Rodolfo, $TEX: $J$$ a José, $TEX: $D$$ a Daniel y $TEX: $G$$ a Gonzalo, si tenemos como dato que $TEX: $M$$ y $TEX: $R$$ son los sujetos con mayor peso, entonces la suma de los pesos de esos dos sujetos será la mayor suma entre los datos, esta suma es 125Kg, como $TEX: $J$$ es el que sigue, la suma que viene después de 125Kg, que es 121Kg, corresponderá a la suma de sus pesos, y asi continuarán dándose las siguientes relaciones: $TEX: \begin{eqnarray}<br />M+R & = & 125 \\<br />M+J & = & 121 \\<br />M+D & = & 119 \\<br />M+G & = & 117 \\<br />R+J & = & 116 \\<br />R+D & = & 114 \\<br />R+G & = & 112 \\<br />J+D & = & 110 \\<br />J+G & = & 108 \\<br />D+G & = & 106<br />\end{eqnarray}$ Entonces, podremos empezar a desarrollar sistemas de ecuaciones: $TEX: \begin{eqnarray}<br />M+R & = & 125 \\<br />M+J & = & 121\qquad/\cdot -1<br />\end{eqnarray}$ $TEX: \begin{eqnarray}<br />M+R & = & 125 \\<br />-M-J & = & -121<br />\end{eqnarray}$ Se adicionan las dos ecuaciones quedando: $TEX: $R-J=4$$ Como tenemos otra ecuación con $TEX: $R$$ y $TEX: $J$$ , queda: $TEX: \begin{eqnarray}<br />R-J & = & 4 \\<br />R+J & = & 116\qquad\textrm{Se adicionan} \\<br />2R & = & 120 \\<br />\mathbf{R} & \mathbf{=} & \mathbf{60} \\<br />M & = & 125-R \\<br />M & = & 125-60 \\<br />\mathbf{M} & \mathbf{=} & \mathbf{65} \\<br />J & = & 121-M \\<br />J & = & 121-65 \\<br />\mathbf{J} & \mathbf{=} & \mathbf{56} \\<br />D & = & 110-J \\<br />D & = & 110-56 \\<br />\mathbf{D} & \mathbf{=} & \mathbf{54} \\<br />G & = & 106-D \\<br />G & = & 106-54 \\<br />\mathbf{G} & \mathbf{=} & \mathbf{52} \\<br />\end{eqnarray}$ Por lo tanto, tenemos que los pesos son: Mario:65Kg Rodolfo:60Kg José:56Kg Daniel:54Kg Gonzalo:52Kg :evil: :evil: :evil: :evil: :evil: :evil: :evil:

Francisco Muñoz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2005, 08:16 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 414 Registrado: 19-May 05 Desde: puente alto, santiago Miembro Nº: 45 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	bueno lo prometido es deuda, ahora que tengo tiempo posteo el teorema de las semilunas. Teorema: sea $TEX: $ABC$$ un triángulo rectángulo. si dibujamos semicircunferencias sobre los catetos y trazamos la circuferencia circunscrita. entonces la suma de las áreas comprendidas entre las semicircunferencias y la circunferencia circunscrita, es igual al área del triángulo rectángulo. Viendo la figura, el teorema dice que $TEX: $A1+A2=A3$$ . Demostración: no se requiere de nada desconocido, pero para asegurarme que todos la entiendan, demostrare algo (aunque se deduce del teorema de Pitagoras) Conocimiento previo: En un triángulo rectángulo, si dibujamos semicircunferencias sobre los lados, entonces se cumple que la suma de las áreas de las semicircunferencia contruidas sobre los catetos es igual al area de la semicircunferencia construida sobre la hipotenusa. Viendo la figura y calculando las areas tenemos: $TEX: $\begin{array}{ccccc}<br />A1 & = & \displaystyle{\frac{\left(\frac{AB}{2}\right)^2\cdot\pi}{2}} & = & \displaystyle{\frac{AB^2\cdot\pi}{8}} \\<br />A2 & = & \displaystyle{\frac{\left(\frac{AC}{2}\right)^2\cdot \pi}{2}} & = & \displaystyle{\frac{AC^2\cdot\pi}{8}} \\<br />A3 & = & \displaystyle{\frac{\left(\frac{BC}{2}\right)^2\cdot \pi}{2}} & = & \displaystyle{\frac{BC^2\cdot\pi}{8}}<br />\end{array}$$ Ahora sumando: A1+A2 $TEX: \begin{eqnarray}<br />A1+A2 & = & \displaystyle{\frac{AB^2\cdot\pi}{8}+\frac{AC^2\cdot\pi}{8}} \\<br />A1+A2 & = & \displaystyle{\frac{(AB^2+AC^2)\cdot\pi}{8}} \\<br />A1+A2 & = & \displaystyle{\frac{BC^2\cdot\pi}{8}} \\<br />A1+A2 & = & A3<br />\end{eqnarray}$ Ya que hemos demostramos el conocimiento previo, sigamos con lo nuestro. Cambiemos un poco nuestra figura inicial , agreguegando $TEX: $A4,A5$$ y $TEX: $A6$$ . Ahora ya tenemos el teorema casi listo... veamos que $TEX: $(A1+A5)+(A2+A4)=A6$$ (por teorema anterior) pero $TEX: $A6=A3+A4+A5$$ (son semicircunferencias) igualando las ecuaciones nos queda: $TEX: $(A1+A5)+(A2+A4)=A3+A4+A5$$ restando $TEX: $(A4+A5)$$ , resulta: $TEX: $\mathbf{A1+A2=A3}$$ , que es lo que queriamos demostrar. Sin otro particular se despide , Francisco Muñoz Espinoza... espero que alguna vez le sirva este teorema... -------------------- "No tenemos la solucion a todos los problemas del mundo en nuestras manos... Pero frente a los problemas del mundo tenemos nuestras manos..." Teresa de Calcuta

Francisco Muñoz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2005, 08:41 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 414 Registrado: 19-May 05 Desde: puente alto, santiago Miembro Nº: 45 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ahora que ya tienen este conocimiento, es posible ver mas claramente, y sin calculos feos, por que en el problema dos, el area sombreada es igual al área del triángulo, se lo dejo para que piensen un rato, aunque es solo aplicar. Y si alguien tiene dudas que postee y yo muestro como se hace.... Ahora si, nos vemos... -------------------- "No tenemos la solucion a todos los problemas del mundo en nuestras manos... Pero frente a los problemas del mundo tenemos nuestras manos..." Teresa de Calcuta

Corecrasher	Jul 2 2005, 10:16 PM Publicado: #7
Invitado	CITA(Francisco Muñoz @ Jul 2 2005, 10:41 PM) Ahora que ya tienen este conocimiento, es posible ver mas claramente, y sin calculos feos, por que en el problema dos, el area sombreada es igual al área del triángulo, se lo dejo para que piensen un rato, aunque es solo aplicar. Y si alguien tiene dudas que postee y yo muestro como se hace.... Ahora si, nos vemos... Esta echo , no hay que postear mas , con eso basta.

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2005, 10:18 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Yo insisto en lo que decía antes, el problema resulta con pocos cálculos, que no sean TAN feos, en unas 4 líneas (o sea es fácil)... si crees que estamos preguntando por el teorema de las semilunas, entonces lo mínimo que podemos exigir en la prueba, es su demostración Estoy de acuerdo que esa solución es muy rápida, pero también existe otra que es muy ágil (para cambiar de adjetivo) y que a "cualquiera" se le podía ocurrir... -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Francisco Muñoz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2005, 11:12 PM Publicado: #9
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 414 Registrado: 19-May 05 Desde: puente alto, santiago Miembro Nº: 45 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Yo se que con la otra forma tambien es facil resolver el problema, incluso creo que cuando hice por primera vez el problema lo saque de esa forma, porque es mucho mas intiutiva. es solo hacer un calculo. pero mi intencion de poner el teorema de las semilunas es para que tengan otra vision a una misma cosa y poder entregar un poco de conocimiento extra, ya que teniamos este problema no se podia perder la oportunidad de pasar este teorema. esa fue mi intencion. Bueno nos vemos... Francisco Muñoz Espinoza

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2005, 09:09 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Sí entiendo que era una muy buena oportunidad... muy bien con hacer este comentario, sólo quería que pensaras en los alumnos que no conocen ese teorema de las semilunas... lo intuitivo era hacer el cálculo de todas las partes, incluyendo el pedazo no achurado de la semicircunferencia de la derecha... lo digo, porque yo propuse ese problema y yo lo corregí, sé lo que hicieron casi todos los alumnos... Lo que pensaba como solución, para ser explícitos, era que el área de una semicircunferencia de diámetro $TEX: $\overline{BD}$$ (la de la derecha) es la misma que la del cuarto de circunferencia, limitada por los radios $TEX: $\overline{AB},\overline{AD}$$ y el arco $TEX: $BD$$ (que no pasa por $TEX: $C$$ )... eso es muy sencillo de justificar, y luego bastaba con quitar el pedazo común para concluir que el área achurada es igual que la del $TEX: $\triangle ABD$$ (o sea: $TEX: $r^2$$ ) Una solución en cuatro líneas, como dije antes ... Que bueno que ahora sí tengan una visión un poco más amplia de estos asuntos, es bueno para los alumnos... la idea es generar algo de discusión en torno de los problemas, espero que siempre sea la idea... con esta pregunta hemos cumplido muy bien -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

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