Superficie S que es parte de una Esfera

Superficie S que es parte de una Esfera

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Ivan Esteban Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 27 2008, 11:48 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 24 Registrado: 26-August 08 Desde: Macul Miembro Nº: 33.163 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Hallar el area de la superficie $S$ que es parte de la esfera\\<br /> $x^2+y^2+(z-1)^2=1$, <br />acotada por los planos $y=x, y=x\sqrt{3} (Area Menor) $$

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2008, 12:13 PM Publicado: #2
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	La porción superior de la esfera puede describirse como $TEX: $z=1+\sqrt{1-x^2-y^2}$$ y la inferior como $TEX: $z=1-\sqrt{1-x^2-y^2}.$$ La esfera posee como dominio al disco $TEX: $x^2+y^2\le1.$$ Dibuja las líneas dadas y aplica la transformación polar, así que $TEX: $$A=\left\{(r,\varphi):0\le r\le 1,\,0\le \varphi \le \frac{\pi }{3}\right\}.$$$ Por tanto el área pedida viene dada por $TEX: $$\iint_{A}{\int_{1-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}^{1+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}{dz}\,dA}=\int_{0}^{\pi /3}\!{\int_{0}^{1}{2r\sqrt{1-r^{2}}\,dr}\,d\varphi }.$$$ (Disculpa la explicación tan rápida pero tiempo no me queda porque voy saliendo.)

Ivan Esteban Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2008, 05:10 PM Publicado: #3
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 24 Registrado: 26-August 08 Desde: Macul Miembro Nº: 33.163 Nacionalidad: Sexo:	Muchas gracias, es lo que necesitaba, he estado un poco complicado con los ejercicios que he estado realizando, asi que denuevo muchas gracias por la ayuda.

Ivan Esteban Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2008, 02:07 AM Publicado: #4
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 24 Registrado: 26-August 08 Desde: Macul Miembro Nº: 33.163 Nacionalidad: Sexo:	Hola Krizalid, estuve revisando el problema y me parecio ver que la integral que tu describes es para calcular el volumen, mientras que lo que nos estan pidiendo es una integral de superficie... saludos coordiales.

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 31 2008, 11:29 PM Publicado: #5
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Tienes razón. Versión 2.0 La imagen de la esfera en el plano $TEX: $xz$$ es el círculo $TEX: $x^2+(z-1)^2=1$$ y las imágenes de la intersección de los planos dados con la esfera son las elipses $TEX: $2x^2+(z-1)^2=1$$ y $TEX: $4x^2+(z-1)^2=1.$$ La 2da. elipse está dentro de la primera y ambas están dentro del círculo. Por otra parte $TEX: $y=\pm\sqrt{1-x^2-(z-1)^2},$$ y de acuerdo a la simetría, tomamos solamente $TEX: $y=\sqrt{1-x^2-(z-1)^2},$$ así que duplicamos el resultado a obtener para tener el área que se pide, así que, el área de la superficie es $TEX: $$S=2\iint_{A}{\sqrt{1+\left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)^{2}+\left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)^{2}}\,dx}\,dz=2\iint_{A}{\frac{dx\,dz}{\sqrt{1-x^{2}-(z-1)^{2}}}}.$$$ ----- Estaría faltando determinar la región en donde la integral doble está tomada, lo haré en otra ocasión (si es que alguien no se me adelanta ) para terminar este problemita. Saludos

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