Mini Sector de Sumatorias

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el_troncoso Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 2 2011, 04:13 PM Publicado: #21
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 537 Registrado: 13-June 10 Desde: Linares Miembro Nº: 72.473 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: $$n\cdot \sum\limits_{k=2}^{n}{\left( \begin{matrix}<br /> n-1 \\<br /> k-1 \\<br />\end{matrix} \right)}(-1)^{k}\cdot \frac{3^{k}}{k}=$$$ Solución: $TEX: <br />\begin{align}<br /> & \text{sabemos que }\left( \begin{matrix}<br /> n-1 \\<br /> k-1 \\<br />\end{matrix} \right)\cdot \frac{n}{k}\text{=}\left( \begin{matrix}<br /> n \\<br /> k \\<br />\end{matrix} \right)\text{ } \\ <br /> & n\cdot \sum\limits_{k=2}^{n}{\left( \begin{matrix}<br /> n-1 \\<br /> k-1 \\<br />\end{matrix} \right)}(-1)^{k}\cdot \frac{3^{k}}{k}=n\cdot \sum\limits_{k=2}^{n}{\left( \begin{matrix}<br /> n-1 \\<br /> k-1 \\<br />\end{matrix} \right)}(-1)^{k}\cdot \frac{3^{k}}{k}\cdot \left( \frac{n}{k}\cdot \frac{k}{n} \right) \\ <br /> & =\sum\limits_{k=2}^{n}{\left( \begin{matrix}<br /> n \\<br /> k \\<br />\end{matrix} \right)}(-3)^{k}\cdot 1^{n-k} \\ <br /> & =\underbrace{\sum\limits_{k=0}^{n}{\left( \begin{matrix}<br /> n \\<br /> k \\<br />\end{matrix} \right)}(-3)^{k}\cdot 1^{n-k}}_{\text{por binomio de newton}}-\left( \left( \begin{matrix}<br /> n \\<br /> 0 \\<br />\end{matrix} \right)\cdot (-3)^{0}+\left( \begin{matrix}<br /> n \\<br /> 1 \\<br />\end{matrix} \right)(-3)^{1} \right) \\ <br /> & =(1-3)^{n}+3n-1 \\ <br /> & =(-2)^{n}+3n-1 \\ <br />\end{align}<br /><br />$ Mensaje modificado por el_troncoso el Jun 11 2011, 03:07 PM -------------------- Recopilación Propuestos PSU 2011 Desafío PSU 2011 Derivadas de la forma $TEX: $$f(x)=g(x)^{h(x)}$$$ --> AQUÍ CITA "...La vida de investigacion no es tener LA idea y ganarse un Nobel, es una vida de dedicacion y hacer las cosas por gusto y realizacion personal, no por ganar determinado premio y quedar bien frente a todos. Los premios no son malos, obviamente, pero si esa es tu unica motivacion entonces vas a tener una carrera muy triste. (...) La cosa no funciona asi, la ciencia es una enorme selva desconocida y nosotros solo somos humildes exploradores que caemos en la mitad de ella sin un rumbo claro. Uno explora, y reporta lo que encuentra. Te puede gustar un area determinada, si, pero uno nunca sabe de antemano con que cosa te vas a encontrar. Solo exploramos y reportamos, no andamos buscando desesperadamente un descubrimiento genial que nos lleve al Nobel. Pasten

~Helloween~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 2 2011, 05:10 PM Publicado: #22
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 255 Registrado: 7-October 10 Miembro Nº: 78.381 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kenshin @ Jun 19 2006, 01:06 AM) Mi otro consejo es que no veas la suma telescopica solo a partir de 1 hasta n, o a partir de 0. La regla general es la siguiente: Cuando tengas $TEX: $\displaystyle \sum_{k=n}^{m}(a_k-a_{k+1})$$ siempre tendras un termino adelantado ( $TEX: $a_{k+1}$$ ) y uno atrasado ( $TEX: $a_k$$ ), luego el valor superior de k ( $TEX: $k=m$$ ) debe reemplazarse en el adelantado, y el valor inferior de k ( $TEX: $k=n$$ ) debe reemplazarse en el atrasado. Asi $TEX: $\displaystyle \sum_{k=n}^{m}(a_{k}-a_{k+1})=a_n-a_{m+1}$$ Saludos Great!, se me había olvidado la telescópica --------------------

Pablo2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 5 2011, 10:11 PM Publicado: #23
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 167 Registrado: 4-April 10 Miembro Nº: 67.759 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(master_c @ May 21 2011, 11:18 PM) Calcular $TEX: $\sum\nolimits_{j = 0}^n {\frac{1}{{j + 1}}\frac{{n!}}{{j!\left( {n - j} \right)!}}} $$ Considerar $TEX: $\left( {x + 1} \right)^n = \sum\nolimits_{j = 0}^n {\frac{{n!}}{{j!\left( {n - j} \right)!}}x^j \Rightarrow \int_0^1 {\left( {x + 1} \right)^n dx = } } \sum\nolimits_{j = 0}^n {\frac{{n!}}{{j!\left( {n - j} \right)!}}\int_0^1 {x^j dx} }$$ $TEX: $\sum\nolimits_{j = 0}^n {\frac{{n!}}{{j!\left( {n - j} \right)!}}\frac{{1^{j + 1} }}{{j + 1}}} = \sum\nolimits_{j = 0}^n {\frac{1}{{j + 1}}\frac{{n!}}{{j!\left( {n - j} \right)!}}} = \frac{{2^{n + 1} - 1}}{{n + 1}}$$ $TEX: Una solución un tanto diferente a la expuesta anteriormente:<br /><br />$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \binom {n}{k} \frac {1}{k+1} \Rightarrow \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{(n-k)!k!} \frac{1}{k+1} \Rightarrow \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{(n-k)!(k+1)!} \frac{n+1}{n+1} \Rightarrow \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} \binom{n+1}{k+1} \Rightarrow \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n+1}{k} \therefore \frac{2^{n+1} -1}{n+1} $$

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 19 2013, 10:00 PM Publicado: #24
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}{\frac{j+2}{j!+(j+1)!+(j+2)!}}$$ Solución La expresión de nuestra suma es equivalente a $TEX: $\frac{k+1}{(k+2)!}=\frac{1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+2)!}$$ . Aplicando lo anterior a nuestro problem, se deduce que dicha suma es telescópica. Luego el resultado es $TEX: $\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+2)!} \ \blacksquare$$ -------------------- Me voy, me jui.

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