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Mini Sector de Sumatorias

Makbo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 25 2006, 03:18 PM Publicado: #11
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 743 Registrado: 23-November 05 Desde: Mi Humilde Hogar! Miembro Nº: 394 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Bueno aqui aportare con 1 $TEX: <br />\[<br />\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{{2k + 1}}{{k^2 \left( {k + 1} \right)^2 }}} <br />\]<br />$ Solucion: Buscando un $TEX: <br />\[<br />{2k + 1}<br />\]<br />$ conveniente se tiene: $TEX: <br />\[<br />\begin{array}{l}<br /> \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{{2k + 1}}{{k^2 \left( {k + 1} \right)^2 }}} \\ <br /> \\ <br /> = \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{{\left( {k + 1} \right)^2 - k^2 }}{{k^2 \left( {k + 1} \right)^2 }}} \\ <br /> \\ <br /> = \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^n {\left[ {\dfrac{{\left( {k + 1} \right)^2 }}{{k^2 \left( {k + 1} \right)^2 }} - \dfrac{{k^2 }}{{k^2 \left( {k + 1} \right)^2 }}} \right]} \\ <br /> \\ <br /> = \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^n {\left[ {\dfrac{1}{{k^2 }} - \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)^2 }}} \right]} \\ <br /> \\ <br /> = \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{1}{{k^2 }}} - \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)^2 }}} \\ <br /> \\ <br /> = \left[ {\left( {\dfrac{1}{{1^2 }} - \dfrac{1}{{2^2 }}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{2^2 }} - \dfrac{1}{{3^2 }}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{3^2 }} - \dfrac{1}{{4^2 }}} \right) + ... - \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)^2 }}} \right] \\ <br /> \\ <br /> = 1 - \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)^2 }} \\ <br /> \end{array}<br />\]<br /><br />$ -------------------- © Ingeniero Civil Metalurgico. $TEX: [<br />psi psi psi .oint {mathfrak{M}alpha dag .mathbb{C}ell } <br />]$ "...La Felicidad es una mariposa que, si la persigues, siempre está justo más alla de tu alcance; Sin embargo, si te sentaras en silencio, podria posarse sobre ti..."

tt14123 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 25 2006, 06:09 PM Publicado: #12
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 228 Registrado: 8-August 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 194	$TEX: Aca va otro regalito doble$ $TEX: P8)$ $TEX: Sean $(a_k)_{k \in \mathbb{N}}$ y $(b_k)_{k \in \mathbb{N}}$ dos secuencias de numeros reales. Considere naturales $p$ y $n$ tales que $p\le n$. Calcular:$ $TEX: $\displaystyle\sum_{k=p}^n(a_{k+1}-a_k)b_k$$ $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\displaystyle\sum_{k=p}^n(a_{k+1}-a_k)b_k&=\displaystyle\sum_{k=p}^n(a_{k+1}-a_k)b_k+\displaystyle\sum_{k=p}^n(b_{k+1}-b_k)a_{k+1}-\displaystyle\sum_{k=p}^n(b_{k+1}-b_k)a_{k+1}\\<br />&=\displaystyle\sum_{k=p}^n(a_{k+1}b_{k}-a_kb_k+b_{k+1}a_{k+1}-b_ka_{k+1})-\displaystyle\sum_{k=p}^n(b_{k+1}-b_k)a_{k+1}\\<br />&=\displaystyle\sum_{k=p}^n(a_{k+1}b_{k+1}-a_kb_k)-\displaystyle\sum_{k=p}^n(b_{k+1}-b_k)a_{k+1}\\<br />&=a_{n+1}b_{n+1}-a_pb_p-\displaystyle\sum_{k=p}^n(b_{k+1}-b_k)a_{k+1}<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ $TEX: SALU$

tt14123 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 25 2006, 07:49 PM Publicado: #13
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 228 Registrado: 8-August 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 194	$TEX: P9)$ $TEX: Sea $H_k$ el k-esimo termino armonico esto es $\displaystyle\sum_{i=1}^k\dfrac{1}{i}$. Calcular:$ $TEX: $\displaystyle\sum_{k=2}^n\dfrac{H_k}{k(k-1)}$$ $TEX: Aplicando la formula anterior:$ $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\displaystyle\sum_{k=2}^n\dfrac{H_k}{k(k-1)}&=-\displaystyle\sum_{k=2}^n\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k-1}\right)H_k\\<br />&=-\dfrac{H_{n+1}}{n}+H_2+\displaystyle\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{k}\left(H_{k+1}-H_k\right)\\<br />&=-\dfrac{H_{n+1}}{n}+1+\dfrac{1}{2}+\displaystyle\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{k(k+1)}\\<br />&=-\dfrac{H_{n+1}}{n}+\dfrac{3}{2}+\displaystyle\sum_{k=2}^n\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)\\<br />&=-\dfrac{H_{n+1}}{n}+\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}\\<br />&=2-\left(\dfrac{(n+1)H_{n+1}+n}{n(n+1)}\right)\\<br />&=2-\left(\dfrac{(n+1)H_n+1+n}{n(n+1)}\right)\\<br />&=2-\left(\dfrac{H_n+1}{n}\right)<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ $TEX: SALU$

Makbo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 27 2006, 09:07 PM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 743 Registrado: 23-November 05 Desde: Mi Humilde Hogar! Miembro Nº: 394 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />S = \sum\limits_{i = 1}^n {(i - 1)} <br />\]$ Solucion: Alternativa 1: $TEX: Sea$ $TEX: \[<br />u = i - 1<br />\]$ $TEX: entonces$ $TEX: \[<br />i = 1,2,....,n \Rightarrow u = 0,1,2,3...,\left( {n - 1} \right),<br />\]$ $TEX: asi que:$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> S = \sum\limits_{u = 0}^{n - 1} u \\ <br /> = \sum\limits_{u = 1}^{n - 1} u \\ <br /> = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 1 + 1} \right)}}<br />{2} \\ <br /> = \frac{{\left( {n - 1} \right)n}}<br />{2} \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Alternativa 2: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> S = \sum\limits_{i = 1}^n {(i - 1)} \\ <br /> = \sum\limits_{i = 1}^n i - \sum\limits_{i = 1}^n 1 \\ <br /> = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}<br />{2} - n \\ <br /> = \frac{{n^2 + n - 2n}}<br />{2} \\ <br /> = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}<br />{2} \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ PD: Como hago para que el signo igual salga bien, asi como en el ejemplo 9??? -------------------- © Ingeniero Civil Metalurgico. $TEX: [<br />psi psi psi .oint {mathfrak{M}alpha dag .mathbb{C}ell } <br />]$ "...La Felicidad es una mariposa que, si la persigues, siempre está justo más alla de tu alcance; Sin embargo, si te sentaras en silencio, podria posarse sobre ti..."

Pily Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 27 2006, 11:37 PM Publicado: #15
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 365 Registrado: 27-May 05 Desde: Puente Asalto, Santiago Miembro Nº: 68 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Killua @ Jun 6 2006, 03:36 PM) Veamos... $TEX: \noindent $\boxed{\mathcal{P}_{4}}$ Calcular $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i(i+1)}$$ $TEX: $\boxed{Soluci\acute{o}n}$$ $TEX: \noindent Escribamos la sumatoria como sigue:<br /><br />$$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i(i+1)}=\dfrac{1}{1\cdot{2}}+\dfrac{1}{2\cdot{3}}+\ldots+\dfrac{1}{n(n+1)}$$<br /><br />\noindent Notemos que:<br /><br />$$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$$<br /><br />\noindent Luego la sumatoria queda dada por:<br /><br />$$1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$$<br /><br />\noindent Si nos fijamos, se "cancelan" todos los valores a partir de $-\dfrac{1}{2}$, ya que se suman a sus inversos aditivos, hasta $\dfrac{1}{n}$, luego la suma queda dada por: <br /><br />$$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i(i+1)}=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}$$$ Saludos Aplicando la Telescópica este problema sale más rapidito.. ya que $TEX: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i(i+1)}$ = $\dfrac{1}{1}$ - $\dfrac{1}{n+1}$ = $\dfrac{n}{n+1}$$ $TEX: $\boxed{{P}_{10}}$$ $TEX: $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2$$ Solución $TEX: Sabemos que [aplicandole propiedad telescopica]:$ $TEX: $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left[k^3 - (k-1)^3\right]}$ = $n^3 - (1-1)^3=n^3$$ $TEX: Pero ademas, resolviendo el polinomio de la sumatoria,$ $TEX: $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left[k^3 - (k-1)^3\right]}$ = $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left[3k^2-3k+1\right]}$$ $TEX: Igualando$ $TEX: $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left[3k^2-3k+1\right]}$ = $n^3$$ $TEX: 3$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2$ - 3$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k$ + $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1$ = $n^3$$ $TEX: 3$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2$ = $n^3$ + 3$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k$ - $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1$$ $TEX: Resolviendo cada sumatoria del costado derecho de la ecuacion:$ $TEX: 3$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2$ = $n^3$ + 3$\dfrac{(n^2+n)}{2}$ - n$ $TEX: 3$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2$ = $\dfrac{2n^3 + 3n^2 + 3n - 2n}{2}$$ $TEX: 3$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2$ = $\dfrac{n(2n^2 + 3n + 1}{2}$$ $TEX: 3$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2$ = $\dfrac{n(2n+1)(n+1)}{2}$$ $TEX: Multiplicamos ambas partes por $\dfrac{1}{3}$$ $TEX: $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2$ = $\dfrac{n(2n+1)(n+1)}{6}$$ --------------------

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 27 2006, 11:57 PM Publicado: #16
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\cdot \ln\left(1+\dfrac{1}{k}\right)$$ Solución $TEX: $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\cdot \ln\left(1+\dfrac{1}{k}\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\cdot \ln\left(\dfrac{k+1}{k}\right)=$$ $TEX: $=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left[k\cdot \ln(k+1)-k\cdot \ln(k)\right]=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left[(k+1)\cdot \ln(k+1)-\ln(k+1)-k\cdot \ln(k)\right]=$$ $TEX: $=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left[(k+1)\cdot \ln(k+1)-k\cdot \ln(k)\right]-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\ln(k+1)=$$ $TEX: $=(n+1)\cdot \ln(n+1)-1\cdot \ln(1)-\ln\left((n+1)!\right)=\ln\left((n+1)^{n+1}\right)-\ln\left(n!\cdot (n+1)\right)=$$ $TEX: $=\ln\left(\dfrac{(n+1)^{n+1}}{n!\cdot (n+1)}\right)=\boxed{\ln\left(\dfrac{(n+1)^n}{n!}\right)}$$ -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 28 2006, 02:24 PM Publicado: #17
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent Sea\\<br />$S_n=\displaystyle\sum_{k=2}^{2n}\sum_{i+j=k}ij$\\<br />donde $1\le i, j\le n; \forall n\in\mathbb{N}$\\<br />Expresar $S_{2006}$ como la suma de $2006$ potencias de base natural todas con igual exponente natural.\\<br />\\<br />\\<br />Solucion:$ $TEX: \noindent<br />Considere la matriz cuadrada $\displaystyle P=\{p_{i,j}\}_{i,j=1}^n=\{ij\}_{i,j=1}^n$ y llamemos $S_n'$ a la suma de sus elementos\\<br />Definimos la funcion $\displaystyle f: \{a_{i,j}\}_{i,j=1}^m\rightarrow \{2,3,...,2m\}$ como\\<br />$\displaystyle f(a_{i,j})=i+j$. \\<br />No es dificil darse cuenta los elementos de una matriz\\<br />$\displaystyle A=\{a_{i,j}\}_{i,j=1}^m$\\<br />que cumplen $f(a_{i,j})=t$ son los que estan dispuestos diagonalmente en el lugar correspondiente a los elementos de otra matriz $B=\{b_{u,v}\}_{u,v=1}^{2m}$, que pertenecen al cuadrante definido por $1\le u,v\le m$ y que estan sobre la diagonal que va desde $b_{1,t-1}$ hasta $b_{t-1,1}$.\\<br />Notemos que estas diagonales son disjuntas.\\<br />Por lo anterior\\<br />$\displaystyle S_n=\sum_{k=2}^{2n}p_{i,j}:f(p_{i,j})=k\\<br />\Rightarrow S_n=\sum_{p_{i,j}\in P}p_{i,j}=S_n'$\\<br />Asi que basta encontrar $S_n'$. Esto lo haremos sumando los elementos de cada fila y luego sumando todas las sumas obtenidas;\\<br />$\displaystyle S_n=S_n'=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}ij=<br />\sum_{i=1}^{n}i\sum_{j=1}^{n}j=<br />\sum_{i=1}^{n}\frac{n(n+1)}{2}i=\\<br />=\frac{n(n+1)}{2}\sum_{i=1}^{n}i=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2=<br />\sum_{i=1}^{n}i^3$\\<br />tomando $n=2006$ obtenemos una representacion de $S_{2006}$ en la forma pedida, con exponente 3.$ -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

el_troncoso Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 21 2011, 09:35 PM Publicado: #18
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 537 Registrado: 13-June 10 Desde: Linares Miembro Nº: 72.473 Nacionalidad: Sexo:	quiero aportar con una también :B $TEX: <br />$\sum\limits_{k=0}^{n}{k\cdot k!}$<br />$ Solución: $TEX: <br />\begin{align}<br /> & \text{sumando y restando 1 obtenemos:} \\ <br /> & =\sum\limits_{k=0}^{n}{k![(k+1)-1]} \\ <br /> & =\sum\limits_{k=0}^{n}{[k!}\cdot (k+1)]-k! \\ <br /> & =\sum\limits_{k=0}^{n}{(k+1)!-k!} \\ <br /> & \text{aplicando la propiedad telesc }\!\!\acute{\mathrm{o}}\!\!\text{ pica:} \\ <br /> & \text{=(n+1)!-0!=(n+1)!-1} \\ <br />\end{align}<br />$ -------------------- Recopilación Propuestos PSU 2011 Desafío PSU 2011 Derivadas de la forma $TEX: $$f(x)=g(x)^{h(x)}$$$ --> AQUÍ CITA "...La vida de investigacion no es tener LA idea y ganarse un Nobel, es una vida de dedicacion y hacer las cosas por gusto y realizacion personal, no por ganar determinado premio y quedar bien frente a todos. Los premios no son malos, obviamente, pero si esa es tu unica motivacion entonces vas a tener una carrera muy triste. (...) La cosa no funciona asi, la ciencia es una enorme selva desconocida y nosotros solo somos humildes exploradores que caemos en la mitad de ella sin un rumbo claro. Uno explora, y reporta lo que encuentra. Te puede gustar un area determinada, si, pero uno nunca sabe de antemano con que cosa te vas a encontrar. Solo exploramos y reportamos, no andamos buscando desesperadamente un descubrimiento genial que nos lleve al Nobel. Pasten

master_c	May 21 2011, 10:18 PM Publicado: #19
Invitado	Calcular $TEX: $\sum\nolimits_{j = 0}^n {\frac{1}{{j + 1}}\frac{{n!}}{{j!\left( {n - j} \right)!}}} $$ Considerar $TEX: $\left( {x + 1} \right)^n = \sum\nolimits_{j = 0}^n {\frac{{n!}}{{j!\left( {n - j} \right)!}}x^j \Rightarrow \int_0^1 {\left( {x + 1} \right)^n dx = } } \sum\nolimits_{j = 0}^n {\frac{{n!}}{{j!\left( {n - j} \right)!}}\int_0^1 {x^j dx} }$$ $TEX: $\sum\nolimits_{j = 0}^n {\frac{{n!}}{{j!\left( {n - j} \right)!}}\frac{{1^{j + 1} }}{{j + 1}}} = \sum\nolimits_{j = 0}^n {\frac{1}{{j + 1}}\frac{{n!}}{{j!\left( {n - j} \right)!}}} = \frac{{2^{n + 1} - 1}}{{n + 1}}$$ Mensaje modificado por master_c el May 21 2011, 10:19 PM

master_c	May 21 2011, 10:35 PM Publicado: #20
Invitado	Calcular $TEX: $\sum\nolimits_{r = 1}^n {\frac{r}{{\left( {r + 1} \right)\left( {r + 2} \right)\left( {r + 3} \right)}}}$$ $TEX: $$<br />S_n = \sum\nolimits_{r = 1}^n {\left( {\frac{2}<br />{{r + 2}} - \frac{1}<br />{{2\left( {r + 1} \right)}} - \frac{3}<br />{{2\left( {r + 3} \right)}}} \right) = \sum\nolimits_{r = 1}^n {\int_0^1 {\left( {2x^{r + 2} - \frac{1}<br />{2}x^r - \frac{3}<br />{2}x^{r + 2} } \right)dx} } } <br />$$<br />$$<br /> = - \frac{1}<br />{2}\int_0^1 {\sum\nolimits_{r = 1}^n {x^r \left( {3x^2 - 4x + 1} \right)dx} } = - \frac{1}<br />{2}\int_0^1 {\frac{{x^{n + 1} - x}}<br />{{x - 1}}\left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)dx = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}<br />{{4\left( {n + 2} \right)\left( {n + 2} \right)}}} <br />$$$

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