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Mini Sector de Sumatorias

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 31 2006, 01:02 AM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Bueno, me decidi y dado que a mi me encantan las sumatorias, entonces decidi crear un post donde vayamos recolectando problemitas del estilo. La idea es poner el problema, y ojala aca en el mismo post alguien postee la solucion, o bien el mismo autor, si asi lo desea. De esta forma podremos recopilar un numero importantes de problemas resueltos y crear una Guia de Sumatorias por Fmat, creada con el aporte de cada uno de ustedes. Para darle partida a esta iniciativa, yo pondre el primer problemita, bastante facilito por cierto $TEX: \noindent \textbf{P1)} Calcule el valor de $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}$$ Solucion: $TEX: \noindent<br />Considerando que $x=\sqrt{x}\sqrt{x}$ (truquito) se tendra que: <br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}&=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k+1}\sqrt{k+1}\sqrt{k}+\sqrt{k}\sqrt{k}\sqrt{k+1}}\\<br />&=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})}\\<br />&=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})}\cdot\dfrac{(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}\\<br />&=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}(k+1-k)}\\<br />&=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}\\<br />&=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}-\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}\\<br />&=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\\<br />&=\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\\<br />&=1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ Explicado pasito a pasito..imposible perderse... -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Jaime sscc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 31 2006, 10:03 AM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 167 Registrado: 17-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 38 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Bueno, voy a aportar con un granito de arena a la super guia de sumatorias Fmat $TEX: \noindent \textbf{P2)} Calcule el valor de $\displaystyle \sum_{k=1}^n (k^2+1) \cdot k!$$ Solucion: Haciendo un "Nikita ni pone" sumando y restando $TEX: $k$$ en el parentesis: $TEX: \noindent<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\sum_{k=1}^n (k^2+1) \cdot k! &=\sum_{k=1}^n (k^2+k-k+1) \cdot k!\\<br />&=\sum_{k=1}^n (k(k+1)-(k-1)) \cdot k!\\<br />&=\sum_{k=1}^n k(k+1)!-(k-1)k!\\<br />&=n(n+1)!-(1-1)1!\\<br />&=n(n+1)!<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />$ Bueno, ojala se entienda la solucion, salu2 ^^ --------------------

Jaime sscc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 31 2006, 04:21 PM Publicado: #3
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 167 Registrado: 17-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 38 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Ya, ahora otro: P3) Calcule el valor de: $TEX: $\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{2k}{k^4+k^2+1}$$ Solucion Aplicando "Nikita ni pone" en el denominador, sumando y restando $TEX: $k^2$$ $TEX: $\displaystyle = \sum_{k=1}^n \frac{2k}{k^4+2k^2+1-k^2}$$ $TEX: $\displaystyle = \sum_{k=1}^n \frac{2k}{(k^2+1)^2-k^2}$$ $TEX: $\displaystyle = \sum_{k=1}^n \frac{2k}{(k^2+1+k)(k^2+1-k)}$$ Ahora bien, notando que $TEX: $(k^2+1+k)-(k^2+1-k) = 2k$$ $TEX: $\displaystyle = \sum_{k=1}^n \frac{(k^2+1+k)-(k^2+1-k)}{(k^2+1+k)(k^2+1-k)}$$ $TEX: $\displaystyle = \sum_{k=1}^n \frac{(k^2+1+k)}{(k^2+1+k)(k^2+1-k)} - \frac{(k^2+1-k)}{(k^2+1+k)(k^2+1-k)}$$ $TEX: $\displaystyle = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(k^2+1-k)} - \frac{1}{(k^2+1+k)}$$ $TEX: $\displaystyle = \frac{1}{1} - \frac{1}{(n^2+1+n)}$$ $TEX: $\displaystyle = 1 - \frac{1}{(n^2+1+n)}$$ Listo, que se entienda, salu2 ^^ --------------------

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 6 2006, 02:36 PM Publicado: #4
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Veamos... $TEX: \noindent $\boxed{\mathcal{P}_{4}}$ Calcular $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i(i+1)}$$ $TEX: $\boxed{Soluci\acute{o}n}$$ $TEX: \noindent Escribamos la sumatoria como sigue:<br /><br />$$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i(i+1)}=\dfrac{1}{1\cdot{2}}+\dfrac{1}{2\cdot{3}}+\ldots+\dfrac{1}{n(n+1)}$$<br /><br />\noindent Notemos que:<br /><br />$$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$$<br /><br />\noindent Luego la sumatoria queda dada por:<br /><br />$$1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$$<br /><br />\noindent Si nos fijamos, se "cancelan" todos los valores a partir de $-\dfrac{1}{2}$, ya que se suman a sus inversos aditivos, hasta $\dfrac{1}{n}$, luego la suma queda dada por: <br /><br />$$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i(i+1)}=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}$$$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

tt14123 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 6 2006, 04:56 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 228 Registrado: 8-August 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 194	$TEX: P5) Calcule:$ $TEX: $\displaystyle\sum_{k=n}^mlog\left(1+\dfrac{1}{k} \right)$$ $TEX: Solucion:$ $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\sum_{k=n}^mlog\left(1+\frac{1}{k}\right)&= \sum_{k=n}^mlog\left(\frac{k+1}{k}\right) \\<br />&= \sum_{k=n}^mlog(k+1)-log(k) \\<br />&= \sum_{k=1}^mlog(k+1)-log(k)-\left(\sum_{k=1}^{n-1}log(k+1)-log(k) \right) \\<br />&= log(m+1)-log1-(log(n)-log1) \\<br />&= log(m+1)-log(n) \\<br />&= log\left(\frac{m+1}{n}\right)<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ $TEX: SALU$

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 18 2006, 11:58 PM Publicado: #6
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA $TEX: $\displaystyle = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(k^2+1-k)} - \frac{1}{(k^2+1+k)}$$ $TEX: $\displaystyle = \frac{1}{1} - \frac{1}{(n^2+1+n)}$$ No estaria mal que explicaras un poco mas este paso, que me parece clave dentro de tu desarrollo... Se agradece el buen aporte Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 18 2006, 11:59 PM Publicado: #7
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Killua @ Jun 6 2006, 03:36 PM) Veamos... $TEX: \noindent $\boxed{\mathcal{P}_{4}}$ Calcular $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i(i+1)}$$ $TEX: $\boxed{Soluci\acute{o}n}$$ $TEX: \noindent Escribamos la sumatoria como sigue:<br /><br />$$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i(i+1)}=\dfrac{1}{1\cdot{2}}+\dfrac{1}{2\cdot{3}}+\ldots+\dfrac{1}{n(n+1)}$$<br /><br />\noindent Notemos que:<br /><br />$$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$$<br /><br />\noindent Luego la sumatoria queda dada por:<br /><br />$$1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$$<br /><br />\noindent Si nos fijamos, se "cancelan" todos los valores a partir de $-\dfrac{1}{2}$, ya que se suman a sus inversos aditivos, hasta $\dfrac{1}{n}$, luego la suma queda dada por: <br /><br />$$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i(i+1)}=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}$$$ Saludos Otro bonito aporte que nunca esta de mas en el hogar... Saludos y Gracias -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 19 2006, 12:06 AM Publicado: #8
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(tt14123 @ Jun 6 2006, 05:56 PM) $TEX: P5) Calcule:$ $TEX: $$\sum_{k=n}^mlog(1+\frac{1}{k})$$$ $TEX: Solucion:$ $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\sum_{k=n}^mlog(1+\frac{1}{k})&= \sum_{k=n}^mlog(\frac{k+1}{k}) \\<br />&= \sum_{k=n}^mlog(k+1)-log(k) \\<br />&= \sum_{k=1}^mlog(k+1)-log(k)-(\sum_{k=1}^{n-1}log(k+1)-log(k) ) \\<br />&= log(m+1)-log1-(log(n)-log1) \\<br />&= log(m+1)-log(n) \\<br />&= log(\frac{m+1}{n})<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ $TEX: SALU$ Muy bonito aporte...vamos formando asi ya una bonita coleccion Mi consejo es cuando quieras poner parentesis mas adecuados a las expresiones uses $\left( 1+\dfrac{1}{k} \right)$ que te deja la expresion como: $TEX: $\left( 1+\dfrac{1}{k} \right)$$ en vez de $(1+\dfrac{1}{k})$ que te genera: $TEX: $(1+\dfrac{1}{k})$$ Mi otro consejo es que no veas la suma telescopica solo a partir de 1 hasta n, o a partir de 0. La regla general es la siguiente: Cuando tengas $TEX: $\displaystyle \sum_{k=n}^{m}(a_k-a_{k+1})$$ siempre tendras un termino adelantado ( $TEX: $a_{k+1}$$ ) y uno atrasado ( $TEX: $a_k$$ ), luego el valor superior de k ( $TEX: $k=m$$ ) debe reemplazarse en el adelantado, y el valor inferior de k ( $TEX: $k=n$$ ) debe reemplazarse en el atrasado. Asi $TEX: $\displaystyle \sum_{k=n}^{m}(a_{k}-a_{k+1})=a_n-a_{m+1}$$ Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 19 2006, 12:12 AM Publicado: #9
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Y no puedo evitar unirme a la cruzada con otra sumatoria...a mi juicio dificil a primera vista, y que ruego no ver la solucion hasta haberse dado el gusto de poder intentarla hacer por sus propios meritos $TEX: \noindent \textbf{P6)} Calcule $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(-1)^k(n-k)!(n+k)!$$ Solucion: $TEX: \noindent Procedo entonces a entregar la solucion a este encantador problemita:<br />\begin{gather}<br />\sum_{k=0}^{n}(-1)^k(n-k)!(n+k)!\\<br />=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2n+2}(-1)^k(n-k)!(n+k)!(2n+2)\\<br />=\frac{1}{2n+2}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k(n-k)!(n+k)!((n+k+1)+(n-k+1))\\<br />=\frac{1}{2n+2}\sum_{k=0}^{n}\left[(-1)^k(n-k)!(n+k)!(n+k+1)+(-1)^k(n-k)!(n+k)!(n-k+1)\right]\\<br />=\frac{1}{2n+2}\sum_{k=0}^{n}\left[(-1)^k(n-k)!(n+k+1)!+(-1)^k(n-k+1)!(n+k)!\right]\\<br />=\frac{1}{2n+2}\sum_{k=0}^{n}\left[(-1)^k(n-k)!(n+k+1)!-(-1)^{k-1}(n-(k-1))!(n+(k-1)+1)!\right]\\<br />=\frac{1}{2n+2}\left[(-1)^n(n-n)!(n+n+1)!-(-1)^{0-1}(n-(0-1))!(n+(0-1)+1)!\right]\\<br />=\frac{1}{2n+2}\left[(-1)^n(2n+1)!+(n+1)!n!\right]<br />\end{gather}$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Jaime sscc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 25 2006, 11:09 AM Publicado: #10
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 167 Registrado: 17-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 38 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Kenshin @ Jun 19 2006, 12:58 AM) No estaria mal que explicaras un poco mas este paso, que me parece clave dentro de tu desarrollo... Se agradece el buen aporte Saludos Yap haer, lo que pasa, es que para formar la telescopica, hay que tener un adelantado y un atrasado como decias mas arriba, luego en la parte antes de la telescopica $TEX: $\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{(k^2+1-k)} - \frac{1}{(k^2+1+k)}$$ ahora bien, nos gustaria que $TEX: $k^2+1+k$$ Fuera Igual a $TEX: $(k+1)^2+1-(k+1)$$ para asi formar la Telescopica, pero si lo trabajamos nos damos cuenta que: $TEX: $(k+1)^2+1-(k+1)$$ $TEX: $=k^2+2k+1+1-k-1$$ $TEX: $=k^2+1+k$$ Y luego Todo como antes salu2 --------------------

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