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VI OMCS (1995), Bolivia

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2006, 11:15 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	6ª OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS DEL CONO SUR Bolivia, 1995 Primera Prueba Problema 1: Encuentre un número de tres cifras, sabiendo que la suma y el producto de ellas es $TEX: $9$$ y $TEX: $24$$ , respectivamente, y que leído de derecha a izquierda es $TEX: $\dfrac{27}{38}$$ del número inicial. Problema 2: Se marcan diez puntos en una circunferencia. Se numeran de 1 a 10 y se trazan todos los segmentos que ellos determinan. Luego se colorean todos los segmentos, unos con rojo y los otros con azul. Sin cambiar los colores de los segmentos, se renumeran los puntos marcados, del 1 al 10. ¿Es posible colorear los segmentos y renumerar los puntos, de modo que aquellos números que estaban unidos con rojo queden ahora unidos con azul, y viceversa? Problema 3: La figura muestra el rectángulo $TEX: $ABCD$$ , con $TEX: $AB = a$$ y $TEX: $AD = b$$ . Dentro de él se trazan dos circunferencias tangentes exteriormente, de manera que una es tangente a los lados $TEX: $\overline{AB}, \overline{AD}$$ , y la otra es tangente a los lados $TEX: $\overline{CB}, \overline{CD}$$ $TEX: $(a)$$ Calcule la distancia entre los centros de las circunferencias, en función de a y b $TEX: $(b)$$ Haciendo variar los radios (pero manteniendo las tangencias), el punto común de las circunferencias describe un LG. Determine este LG Segunda Prueba Problema 4: Se escriben las cifras de $TEX: $1995$$ como sigue: $TEX: $199511999955111999999555\ldots$$ $TEX: $(a)$$ Calcule cuántos dígitos deben escribirse para que ellos sumen $TEX: $2880$$ $TEX: $(b)$$ Determine el dígito que aparece en el lugar $TEX: $1995$$ Problema 5: La semicircunferencia de centro $TEX: $O$$ y diámetro $TEX: $\overline{AC}$$ se divide en dos arcos: $TEX: $\widehat{AB}, \widehat{BC}$$ en razón $TEX: $1:3$$ . $TEX: $M$$ es el punto medio de $TEX: $\overline{OC}$$ . Sea $TEX: $T\in\widehat{BC}$$ el punto que maximiza el área del cuadrilátero $TEX: $OBTM$$ . Calcule dicha área en función del radio. Problema 6: Si $TEX: $\lfloor\cdot\rfloor$$ denota la función parte entera, definimos la función $TEX: $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ por la fórmula: $TEX: $\forall{x}\in\mathbb{R}:f(x)=2x-1995\left\lfloor\dfrac{x}{1000}\right\rfloor$$ La notación $TEX: $f^r(x)$$ significa que aplicamos $TEX: $r$$ veces la función $TEX: $f$$ al número $TEX: $x\in\mathbb{R}$$ $TEX: $(a)$$ Suponga que para algún $TEX: $r\in\mathbb{Z}^+$$ se tiene que $TEX: $f^r(n) = 1995$$ . Pruebe que $TEX: $n$$ es múltiplo de $TEX: $1995$$ $TEX: $(b)$$ Si $TEX: $n$$ es múltiplo de $TEX: $1995$$ , pruebe que existe $TEX: $r\in\mathbb{Z}^+$$ tal que $TEX: $f^r(n) = 1995$$ $TEX: $©$$ Determine $TEX: $r$$ (de la parte anterior), si $TEX: $n = 997500$$ Resumen de soluciones Problema 1: Aquí, resuelto por zirou. Problema 2: Pendiente de solución. Problema 3: Pendiente de solución. Problema 4: Pendiente de solución. Problema 5: Pendiente de solución. Problema 6: Pendiente de solución. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 30 2006, 12:50 PM Publicado: #2
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Killua @ May 30 2006, 12:15 AM) $TEX: $\boxed{\mathcal{P}_{1}}$$ $TEX: \noindent Hallar un n\'umero de tres cifras, sabiendo que la suma de sus cifras es $9$, el producto de las mismas es $24$ y adem\'as el n\'umero le\'ido de derecha a izquierda es $\dfrac{27}{38}$ del n\'umero primitivo.$ $TEX: \noindent Sea el numero $abc$, por enunciado tenemos:\\<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />a+b+c &=9\\<br />a\cdot b\cdot c &=24<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Analizando los divisores de 24 tenemos que:\\<br />$24=2^3\cdot3$\\<br />Donde obtenemos que existen 12 posibilidades.\\<br />Por simple inspeccion vemos que los numeros indicados son 2, 3 y 4.\\<br />\\<br />Sabemos que:\\<br />\begin{align}<br />\dfrac{27}{38}\cdot abc & =cba\\<br />27\cdot abc & = 38\cdot cba<br />\end{align}<br /> En (2) la parte derecha siempre sera multiplo sera par (ya que es multiplo de 28)\\<br />entonces para que la parte izquierda sea par abc debe serlo; infieriendose que $c=2k$\\ <br />En (1), sin perdida de la generalidad se deduce que $abc>cba$\\<br />De donde se obtiene que $a>c$ (porque $a \not =c \not =b$) Entonces $c\not =4$ y $a\not =2$\\<br />como $c=2k$ ;pero $c\not =4$ se deduce que $c=2$\\<br />Obteniendose asi que:\\<br />$a=3 \vee 4 $\\<br />$b=3 \vee 4$\\<br />$c=2$$ $TEX: \noindent Tenemos dos casos:\\<br />$\boxed{Caso_{1}\ a=3}$\\<br />\\<br />(Metodo Sudoku) si a=3 y c=2, entonces b=4; obteniendo asi el nuemero $abc=342$<br />comprobando con (1):\\<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\dfrac{27}{38}\cdot 324&=cba\\<br />423&=cba<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Lo que comprueba que el caso 1 si funcina\\<br />\\<br />$\boxed{Caso_{2}\ a=4}$\\<br />\\<br />Si $a=4$ y $c=2$ entonces $b=3$; Por lo tanto $abc=423$\\<br />Verificando con la ecuacion (1) nos queda:\\<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\dfrac{27}{38}\cdot 432 & = cba\\<br />306.9473 & \approx cba<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Pero cba es entero... $\rightarrow\leftarrow$\\<br />\\<br />De esta forma el numero buscado es 324$ Mensaje modificado por zirou el Jan 4 2007, 07:02 PM -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

sebagarage Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 20 2007, 11:14 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 817 Registrado: 28-May 06 Desde: maipú, santiago. Miembro Nº: 1.210 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(zirou @ Jul 30 2006, 02:50 PM) $TEX: \noindent Sea el numero $abc$, por enunciado tenemos:\\<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />a+b+c &=9\\<br />a\cdot b\cdot c &=24<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Analizando los divisores de 24 tenemos que:\\<br />$24=2^3\cdot3$\\<br />Donde obtenemos que existen 12 posibilidades.\\<br />Por simple inspeccion vemos que los numeros indicados son 2, 3 y 4.\\<br />\\<br />Sabemos que:\\<br />\begin{align}<br />\dfrac{27}{38}\cdot abc & =cba\\<br />27\cdot abc & = 38\cdot cba<br />\end{align}<br /> En (2) la parte derecha siempre sera multiplo sera par (ya que es multiplo de 28)\\<br />entonces para que la parte izquierda sea par abc debe serlo; infieriendose que $c=2k$\\ <br />En (1), sin perdida de la generalidad se deduce que $abc>cba$\\<br />De donde se obtiene que $a>c$ (porque $a \not =c \not =b$) Entonces $c\not =4$ y $a\not =2$\\<br />como $c=2k$ ;pero $c\not =4$ se deduce que $c=2$\\<br />Obteniendose asi que:\\<br />$a=3 \vee 4 $\\<br />$b=3 \vee 4$\\<br />$c=2$$ $TEX: \noindent Tenemos dos casos:\\<br />$\boxed{Caso_{1}\ a=3}$\\<br />\\<br />(Metodo Sudoku) si a=3 y c=2, entonces b=4; obteniendo asi el nuemero $abc=342$<br />comprobando con (1):\\<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\dfrac{27}{38}\cdot 324&=cba\\<br />423&=cba<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Lo que comprueba que el caso 1 si funcina\\<br />\\<br />$\boxed{Caso_{2}\ a=4}$\\<br />\\<br />Si $a=4$ y $c=2$ entonces $b=3$; Por lo tanto $abc=423$\\<br />Verificando con la ecuacion (1) nos queda:\\<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\dfrac{27}{38}\cdot 432 & = cba\\<br />306.9473 & \approx cba<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Pero cba es entero... $\rightarrow\leftarrow$\\<br />\\<br />De esta forma el numero buscado es 324$ Solución correctísima. Saludos. -------------------- Estudiante de 5º año de Ingeniería Civil Industrial en la U. de Chile

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 16 2007, 09:50 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Killua @ May 30 2006, 12:15 AM) Problema 4: Se escriben las cifras de $TEX: $1995$$ como sigue: $TEX: $199511999955111999999555\ldots$$ $TEX: $(a)$$ Calcule cuántos dígitos deben escribirse para que ellos sumen $TEX: $2880$$ $TEX: $(b)$$ Determine el dígito que aparece en el lugar $TEX: $1995$$ (a) Sea $TEX: $\pi(n)$$ la suma de las cifras de $TEX: $n$$ , $TEX: $\phi(n)$$ la cantidad de cifras de $TEX: $n$$ , y $TEX: $l_n$$ será la representación que le daremos al número $TEX: $19951199955.....111111111....999999....55555$$ que contenga $TEX: $n\ unos$$ en su último 11..99..55.... $TEX: $\pi(1995)=24=l_1=24\cdot 1=24\cdot\sum\limits_{k=1}^1 k$$ $TEX: $\pi(199511999955)=72=l_2=24\cdot 3=24\cdot\sum\limits_{k=1}^2 k$$ $TEX: $\pi(199511999955111999999555)=144=l_3=24\cdot 6=24\cdot\sum\limits_{k=1}^3 k$$ ... Y en general: $TEX: $\pi(199511999955.......\underbrace{11.....11}_{x\ unos}\underbrace{9...99....99}_{2x\ nueves}\underbrace{5....5...55}_{x\ cincos}=24\cdot\sum\limits_{k=1}^x k=l_x$$ este último tiene que dar 2880, osea: $TEX: $24\cdot\sum\limits_{k=1}^x k=2880$$ $TEX: $\sum\limits_{k=1}^x=120$$ $TEX: $\frac{x(x+1)}{2}=120$$ $TEX: $x^2+x=240$$ $TEX: $x=15$$ O sea, $TEX: $l_1+l_2+l_3+...+l_{15}=2880$$ . Pero $TEX: $\phi(l_1)=4$$ $TEX: $\phi(l_2)=8=4\cdot 2$$ $TEX: $\phi(l_3)=12=4\cdot 3$$ ... $TEX: $\phi(l_{15})=60=4\cdot 15$$ Eso nos dará la suma de las cifras de los números $TEX: $l_1$$ , $TEX: $l_2$$ .. $TEX: $l_{15}$$ con los cuales se obtiene 2880. $TEX: $\sum\limits_{k=1}^{15} \phi(l_k)=4(1+2+3+...+15)=4\cdot 120=480$$ O sea, se necesitan 480 números escritos de la forma $TEX: $199511999955......11....1....1....9....999....5...555$$ para que sus cifras sumen 2880. (b) Sacando conclusiones extrañas, logre descubrir que Las posiciones del 1 en el número 1995119999551119999995551111999999995555..... son: $TEX: $\underbrace{1}_{1\ numero}$$ , $TEX: $\underbrace{5,6}_{2\ numeros}$$ , $TEX: $\underbrace{13,14,15}_{3\ numeros}$$ $TEX: $\underbrace{25,26,27,28}_{4\ numeros}$$ ... Pero hay que notar que: $TEX: $5=4\cdot(\sum\limits_{k=1}^{1} k)+1$$ , que contiene 2 números en su grupito. $TEX: $13=4\cdot(\sum\limits_{k=1}^{2} k)+1$$ , que contiene 3 números en su grupito. $TEX: $25=4\cdot(\sum\limits_{k=1}^{3} k)+1$$ , que contiene 4 números en su grupito. Buscaremos un número $TEX: $x$$ tal que $TEX: $4\cdot(\sum\limits_{k=1}^{x})+1=1995$$ $TEX: $4\cdot(\sum\limits_{k=1}^{x})=1994$$ $TEX: $4\cdot\frac{x(x+1)}{2}=1994$$ $TEX: $2(x^2+x)=1994$$ $TEX: $x^2+x=997$$ Hay que hacer notar que $TEX: $31^2+31=992$$ , asi que como los siguientes 32 números son 1, y necesitamos solo 5 números mas, concluimos que este es un 1. Mensaje modificado por pelao_malo el Sep 18 2007, 05:40 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2008, 04:59 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \boxed{\mathcal{P}_{3}, \text{parte } (a)}$ p3.PNG ( 5.46k ) Número de descargas: 2 $TEX: Si trazamos el radio tangente $r$ a $AD$, que intersecte a $AD$ en $A'$, y prolongamos tal segmento hasta que intersecte en un punto $D'$ obtendremos que tal segmento es paralelo a $AB$, debido a que $\sphericalangle DA'D'= \sphericalangle DAB$, por lo que son angulos correspondientes. Hacemos lo mismo con la circunferencia mas peque\~na, tal que el radio $R$ intersecte a $DC$ en $B'$ y al prolongar el radio intersecte a $AB$ en $C'$. Sean $X,Y$, los otros puntos que resultan de la tangencia. Notemos que $AX=r$ (debido a que se forma un cuadrado), $CY=R$ (por lo mismo), $D'B=r$ (rectangulo $AA'D'B'$ y $A'A=r$) y $C'B=R$ (rectangulo $BCB'C'$ y $B'C=R$), Por lo que $XC'=AB-AX-BC'=a-(r+R)$ y $YD'=BC-D'B-CY=b-(r+R)$. Se nos forma un triangulo rectangulo de lados $r+R, a-(r+R), b-(r+R)$ (debido a los rectangulos, y a la union de los radios $r$ y $R$). Usamos el teorema de pitagoras: $\begin{aligned} (a-(r+R))^2+(b-(r+R))^2&=(r+R)^2 \\ a^2-2a(r+R)+(r+R)^2+b^2-2b(r+R)+(r+R)^2&=(r+R)^2 \\ (a^2+b^2) -2(a+b)(r+R)+2(r+R)^2&=(r+R)^2 \Big/ +(2ab-(r+R)^2) \\ (a+b)^2-2(a+b)(r+R)+(r+R)^2&=2ab \\ ((a+b)-(R+r))^2&=2ab \end{aligned}$ \\ Como $a+b>r+R$, podemos sacar raiz cuadrada: \\ $\begin{aligned} (a+b)-(r+R)&= \sqrt{2ab} \\ -(r+R)&=\sqrt{2ab}-a-b \Big/ \cdot(-1) \\ r+R&= a+b-\sqrt{2ab} \end{aligned}$ \\ Es decir, \boxed{r+R= a+b-\sqrt{2ab}}$ Saludos, -------------------- asdf

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 23 2008, 06:17 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(pelao_malo @ Sep 16 2007, 10:50 PM) (a) Sea $TEX: $\pi(n)$$ la suma de las cifras de $TEX: $n$$ , $TEX: $\phi(n)$$ la cantidad de cifras de $TEX: $n$$ , y $TEX: $l_n$$ será la representación que le daremos al número $TEX: $19951199955.....111111111....999999....55555$$ que contenga $TEX: $n\ unos$$ en su último 11..99..55.... $TEX: $\pi(1995)=24=l_1=24\cdot 1=24\cdot\sum\limits_{k=1}^1 k$$ $TEX: $\pi(199511999955)=72=l_2=24\cdot 3=24\cdot\sum\limits_{k=1}^2 k$$ $TEX: $\pi(199511999955111999999555)=144=l_3=24\cdot 6=24\cdot\sum\limits_{k=1}^3 k$$ ... Y en general: $TEX: $\pi(199511999955.......\underbrace{11.....11}_{x\ unos}\underbrace{9...99....99}_{2x\ nueves}\underbrace{5....5...55}_{x\ cincos}=24\cdot\sum\limits_{k=1}^x k=l_x$$ este último tiene que dar 2880, osea: $TEX: $24\cdot\sum\limits_{k=1}^x k=2880$$ $TEX: $\sum\limits_{k=1}^x=120$$ $TEX: $\frac{x(x+1)}{2}=120$$ $TEX: $x^2+x=240$$ $TEX: $x=15$$ O sea, $TEX: $l_1+l_2+l_3+...+l_{15}=2880$$ . Pero $TEX: $\phi(l_1)=4$$ $TEX: $\phi(l_2)=8=4\cdot 2$$ $TEX: $\phi(l_3)=12=4\cdot 3$$ ... $TEX: $\phi(l_{15})=60=4\cdot 15$$ Eso nos dará la suma de las cifras de los números $TEX: $l_1$$ , $TEX: $l_2$$ .. $TEX: $l_{15}$$ con los cuales se obtiene 2880. $TEX: $\sum\limits_{k=1}^{15} \phi(l_k)=4(1+2+3+...+15)=4\cdot 120=480$$ O sea, se necesitan 480 números escritos de la forma $TEX: $199511999955......11....1....1....9....999....5...555$$ para que sus cifras sumen 2880. (b) Sacando conclusiones extrañas, logre descubrir que Las posiciones del 1 en el número 1995119999551119999995551111999999995555..... son: $TEX: $\underbrace{1}_{1\ numero}$$ , $TEX: $\underbrace{5,6}_{2\ numeros}$$ , $TEX: $\underbrace{13,14,15}_{3\ numeros}$$ $TEX: $\underbrace{25,26,27,28}_{4\ numeros}$$ ... Pero hay que notar que: $TEX: $5=4\cdot(\sum\limits_{k=1}^{1} k)+1$$ , que contiene 2 números en su grupito. $TEX: $13=4\cdot(\sum\limits_{k=1}^{2} k)+1$$ , que contiene 3 números en su grupito. $TEX: $25=4\cdot(\sum\limits_{k=1}^{3} k)+1$$ , que contiene 4 números en su grupito. Buscaremos un número $TEX: $x$$ tal que $TEX: $4\cdot(\sum\limits_{k=1}^{x})+1=1995$$ $TEX: $4\cdot(\sum\limits_{k=1}^{x})=1994$$ $TEX: $4\cdot\frac{x(x+1)}{2}=1994$$ $TEX: $2(x^2+x)=1994$$ $TEX: $x^2+x=997$$ Hay que hacer notar que $TEX: $31^2+31=992$$ , asi que como los siguientes 32 números son 1, y necesitamos solo 5 números mas, concluimos que este es un 1. Tanto tiempo llevamos sin revisar esta solución... la primera parte está correcta, aunque la notación puede ser mejorada un poco. La segunda parte no es correcta. O sea, está "bien" si intuyes que con x=31 estás cerca de solucionar la ecuación cuadrática x²+x=997. Sin embargo, el argumento para concluir que ese dígito es 1, no es claro. No hay un fundamento de por medio -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 23 2008, 06:23 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(p.j.t @ Jan 22 2008, 05:59 PM) $TEX: \boxed{\mathcal{P}_{3}, \text{parte } (a)}$ p3.PNG ( 5.46k ) Número de descargas: 2 $TEX: Si trazamos el radio tangente $r$ a $AD$, que intersecte a $AD$ en $A'$, y prolongamos tal segmento hasta que intersecte en un punto $D'$ obtendremos que tal segmento es paralelo a $AB$, debido a que $\sphericalangle DA'D'= \sphericalangle DAB$, por lo que son angulos correspondientes. Hacemos lo mismo con la circunferencia mas peque\~na, tal que el radio $R$ intersecte a $DC$ en $B'$ y al prolongar el radio intersecte a $AB$ en $C'$. Sean $X,Y$, los otros puntos que resultan de la tangencia. Notemos que $AX=r$ (debido a que se forma un cuadrado), $CY=R$ (por lo mismo), $D'B=r$ (rectangulo $AA'D'B'$ y $A'A=r$) y $C'B=R$ (rectangulo $BCB'C'$ y $B'C=R$), Por lo que $XC'=AB-AX-BC'=a-(r+R)$ y $YD'=BC-D'B-CY=b-(r+R)$. Se nos forma un triangulo rectangulo de lados $r+R, a-(r+R), b-(r+R)$ (debido a los rectangulos, y a la union de los radios $r$ y $R$). Usamos el teorema de pitagoras: $\begin{aligned} (a-(r+R))^2+(b-(r+R))^2&=(r+R)^2 \\ a^2-2a(r+R)+(r+R)^2+b^2-2b(r+R)+(r+R)^2&=(r+R)^2 \\ (a^2+b^2) -2(a+b)(r+R)+2(r+R)^2&=(r+R)^2 \Big/ +(2ab-(r+R)^2) \\ (a+b)^2-2(a+b)(r+R)+(r+R)^2&=2ab \\ ((a+b)-(R+r))^2&=2ab \end{aligned}$ \\ Como $a+b>r+R$, podemos sacar raiz cuadrada: \\ $\begin{aligned} (a+b)-(r+R)&= \sqrt{2ab} \\ -(r+R)&=\sqrt{2ab}-a-b \Big/ \cdot(-1) \\ r+R&= a+b-\sqrt{2ab} \end{aligned}$ \\ Es decir, \boxed{r+R= a+b-\sqrt{2ab}}$ Saludos, La verificación que se necesita antes de usar teorema de Pitágoras, la leí a grandes rasgos... creo que está bien, aunque no verifique posibles errores de tipeo. El manejo de expresiones algebraicas para llegar la respuesta (incluyendo la extracción de raíz cuadrada) es correcto. Ahora viene la parte b, que es más difícil... -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 26 2016, 09:47 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P5 ejejfrh.png ( 10.27k ) Número de descargas: 1 $TEX: Es claro que el punto $T$ se ubicará de manera tal que su proyección ortogonal a $BM$ sea la máxima, esto se logra en el punto medio de $\stackrel{\textstyle\frown}{BB'}$, veamos que $\alpha=\dfrac{\stackrel{\textstyle\frown}{B'C}+45^{o}}{2}\Rightarrow \stackrel{\textstyle\frown}{B'C}=2\alpha-45^{o}$, se sigue que $\stackrel{\textstyle\frown}{BB'}=90^{o}+2\alpha$, por tanto $\angle{BOT}=45^{o}+\alpha$ y por ende $\angle{POM}=90^{o}-\alpha$, se sigue que $OT\perp BM$. Siendo $r$ el radio de la circunferencia, con esto esto último, el área del cuadrilátero es $\dfrac{OP\cdot BM}{2}+\dfrac{PT\cdot BM}{2}=\dfrac{BM(OP+PT)}{2}=\dfrac{BM\cdot r}{2}$, y por T. del coseno $BM^{2}=r^{2}+\dfrac{r^{2}}{4}-r^{2}\cos{(135^{o})}$, de donde por matraca $BM=\dfrac{r}{2}\sqrt{5+2\sqrt{2}}$, se sigue que que el área pedida es $\dfrac{r^{2}}{4}\sqrt{5+2\sqrt{2}}$.$ Mensaje modificado por juancodmw el Jun 26 2016, 10:05 PM --------------------

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