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> Propuesto Especial 17, Novedoso
Jean Renard Gran...
mensaje Aug 21 2008, 01:33 AM
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Probar que TEX: $$\int_{\left[ {0,1} \right]^n } {f\left( {\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {x_i } } \right)^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle n$}}} } \right)} dx\mathop \to \limits_{n \to \infty } f\left( {\frac{1}{e}} \right),f \in C\left( {\left[ {0,1} \right]} \right)$$


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mensaje Feb 13 2023, 08:54 PM
Publicado: #2


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CITA(neo shykerex @ Aug 21 2008, 12:33 AM) *
Probar que TEX: $$\int_{\left[ {0,1} \right]^n } {f\left( {\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {x_i } } \right)^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle n$}}} } \right)} dx\mathop \to \limits_{n \to \infty } f\left( {\frac{1}{e}} \right),f \in C\left( {\left[ {0,1} \right]} \right)$$

Solución probabilistica

Considere TEX: $\{X_n,n \in \mathbb{N}\}$ una sucesión iid uniforme en [0,1] y definamos TEX: $G_n=\prod_{i=1}^n X_k^{1/n}$ (la media geometrica). Luego:
TEX: $$\int_{\left[ {0,1} \right]^n } {f\left( {\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {x_i } } \right)^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle n$}}} } \right)} dx=E[f(G_n)]$$

Sin embargo por la ley fuerte de los grandes numeros (porque TEX: $\ln X_k$ es cuadrado integrable en [0,1] (es una exponencial con el signo negativo)):
TEX: $$G_n=\exp(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln X_k)\to^{c.s.} \exp(\int_0^1 \ln x dx)=e^{-1}$$

Por lo que
TEX: $$E[f(G_n)]=\int_{\left[ {0,1} \right]^n } {f\left( {\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {x_i } } \right)^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle n$}}} } \right)} dx\to f(e^{-1})$$
ya que TEX: $f$ es continua.

Mensaje modificado por 2.718281828 el Feb 13 2023, 08:57 PM


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Claudio Henriquez Tapia
Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM
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Lichiel
mensaje Apr 29 2023, 02:26 AM
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TEX: Solución analista:<br />Supongamos que $f(t)=t^k$ con $k\geq 0$ entero, luego<br />\begin{align*}<br />\int_{[0,1]^n} f\left(\left( \prod_{i=1}^n x_i\right)^\frac{1}{n}\right)dx <br />&= \int_{[0,1]^n}\left( \prod_{i=1}^n x_i\right)^\frac{k}{n} dx \\<br />&= \int_{[0,1]^n}\ \prod_{i=1}^n x_i^\frac{k}{n} dx \\<br />&=\prod_{i=1}^n \int_{0}^{1} x_i^\frac{k}{n} dx_i \\<br />&=\prod_{i=1}^n \frac{1}{\frac{k}{n}+1} = \frac{1}{\left(\frac{k}{n}+1\right)^n} \xrightarrow[]{n \to \infty} \frac{1}{e^k} = f\left(\frac{1}{e}\right).<br />\end{align*}<br />Consideramos el caso en que $f(t)=\sum_{k=0}^m a_kx^k$ y en virtud del cálculo anterior<br />\begin{align*}<br />\int_{[0,1]^n} f\left(\left( \prod_{i=1}^n x_i\right)^\frac{1}{n}\right)dx <br />&= \sum_{k=0}^m a_k \int_{[0,1]^n}\left( \prod_{i=1}^n x_i\right)^\frac{k}{n} dx <br />\xrightarrow[]{n \to \infty} \sum_{k=0}^m a_k \left( \frac{1}{e}\right)^k = f\left(\frac{1}{e}\right).<br />\end{align*}<br />Los polinomios son un conjunto denso en $C[0,1]$ por lo tanto existe una sucesión $(f_m)_{m\geq0}$<br />de polinomios que convergen uniformemente a $f$. <br />\begin{align*}<br />\lim_{n\to \infty} \int_{[0,1]^n} f\left(\left( \prod_{i=1}^n x_i\right)^\frac{1}{n}\right)dx <br />&= \lim_{n\to \infty} \lim_{m\to \infty} \int_{[0,1]^n} f_m\left(\left( \prod_{i=1}^n x_i\right)^\frac{1}{n}\right) \\<br />&= \lim_{m\to \infty} \lim_{n\to \infty} \int_{[0,1]^n} f_m\left(\left( \prod_{i=1}^n x_i\right)^\frac{1}{n}\right) \\<br />&=\lim_{m\to \infty} f_m\left(\frac{1}{e}\right) = f\left(\frac{1}{e}\right) .<br />\end{align*}<br />No recuerdo en este momento que hipótesis necesito para intercambiar los límites pero supongo <br />que la convergencia uniforme y que el caso polinomial sea convergente debería bastar. <br />


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TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $|?|$ $< \aleph_1 $ \end{center}

TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.
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CITA(Lichiel @ Apr 29 2023, 01:26 AM) *
TEX: Solución analista:<br />Supongamos que $f(t)=t^k$ con $k\geq 0$ entero, luego<br />\begin{align*}<br />\int_{[0,1]^n} f\left(\left( \prod_{i=1}^n x_i\right)^\frac{1}{n}\right)dx <br />&= \int_{[0,1]^n}\left( \prod_{i=1}^n x_i\right)^\frac{k}{n} dx \\<br />&= \int_{[0,1]^n}\ \prod_{i=1}^n x_i^\frac{k}{n} dx \\<br />&=\prod_{i=1}^n \int_{0}^{1} x_i^\frac{k}{n} dx_i \\<br />&=\prod_{i=1}^n \frac{1}{\frac{k}{n}+1} = \frac{1}{\left(\frac{k}{n}+1\right)^n} \xrightarrow[]{n \to \infty} \frac{1}{e^k} = f\left(\frac{1}{e}\right).<br />\end{align*}<br />Consideramos el caso en que $f(t)=\sum_{k=0}^m a_kx^k$ y en virtud del cálculo anterior<br />\begin{align*}<br />\int_{[0,1]^n} f\left(\left( \prod_{i=1}^n x_i\right)^\frac{1}{n}\right)dx <br />&= \sum_{k=0}^m a_k \int_{[0,1]^n}\left( \prod_{i=1}^n x_i\right)^\frac{k}{n} dx <br />\xrightarrow[]{n \to \infty} \sum_{k=0}^m a_k \left( \frac{1}{e}\right)^k = f\left(\frac{1}{e}\right).<br />\end{align*}<br />Los polinomios son un conjunto denso en $C[0,1]$ por lo tanto existe una sucesión $(f_m)_{m\geq0}$<br />de polinomios que convergen uniformemente a $f$. <br />\begin{align*}<br />\lim_{n\to \infty} \int_{[0,1]^n} f\left(\left( \prod_{i=1}^n x_i\right)^\frac{1}{n}\right)dx <br />&= \lim_{n\to \infty} \lim_{m\to \infty} \int_{[0,1]^n} f_m\left(\left( \prod_{i=1}^n x_i\right)^\frac{1}{n}\right) \\<br />&= \lim_{m\to \infty} \lim_{n\to \infty} \int_{[0,1]^n} f_m\left(\left( \prod_{i=1}^n x_i\right)^\frac{1}{n}\right) \\<br />&=\lim_{m\to \infty} f_m\left(\frac{1}{e}\right) = f\left(\frac{1}{e}\right) .<br />\end{align*}<br />No recuerdo en este momento que hipótesis necesito para intercambiar los límites pero supongo <br />que la convergencia uniforme y que el caso polinomial sea convergente debería bastar. <br />

Hemos resucitado a alguien... welcome back


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