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X Olimpiada de Mayo, 2004, Segundo Nivel

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2006, 03:03 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	10ª OLIMPIADA DE MAYO Segundo Nivel Problema 1: Julián escribe cinco números enteros positivos, no necesariamente distintos, tales que su producto sea igual a su suma. ¿Cuáles pueden ser los números que escribe Julián? Problema 2: La mamá de Pepito quiere preparar $TEX: $n$$ paquetes de $TEX: $3$$ caramelos para regalar en la fiesta de cumpleños, y para ello comprará caramelos surtidos de $TEX: $3$$ sabores distintos. Puede comprar cualquier número de caramelos pero no puede elegir cuántos son de cada gusto. Ella quiere poner en cada paquete un caramelo de cada sabor, y si esto no es posible usará sólo caramelos de un sabor y todos los paquetes tendrán $TEX: $3$$ caramelos de ese sabor. Determine el menor número de caramelos que debe comprar para poder armar los $TEX: $n$$ paquetes. Explique por qué si compra menos caramelos no tiene la certeza de poder armar los paquetes como quiere. Problema 3: Disponemos de una mesa de billar de $TEX: $8$$ metros de largo y $TEX: $2$$ metros de ancho, con una única bola en su centro. La lanzamos en línea recta y, tras recorrer $TEX: $29$$ metros, se detiene en una esquina de la mesa. ¿Cuántas veces ha rebotado la bola contra los bordes de la mesa? Nota: Cuando la bola rebota contra un borde de la mesa los dos ángulos que forma su trayectoria con el borde de la mesa son iguales. Problema 4: Encuentre todos los números naturales $TEX: $x, y, z$$ que verifican simultáneamente $TEX: $x\cdot{y}\cdot{z}=4104$$ $TEX: $x+y+z=77$$ Problema 5: Sobre un tablero de $TEX: $9\times{9}$$ , dividido en casillas de $TEX: $1\times{1}$$ , se colocan, sin superposiciones y sin sobresalirse del tablero, piezas de la forma Cada pieza cubre exactamente $TEX: $3$$ casillas. $TEX: $(a)$$ A partir del tablero vacío, ¿cuál es la máxima cantidad de piezas que se pueden colocar? $TEX: $(b)$$ A partir del tablero con $TEX: $3$$ piezas ya colocadas como muestra el diagrama siguiente, ¿cuál es la máxima cantidad de piezas que se pueden colocar? Resumen de soluciones Problema 1: Pendiente de solución. Problema 2: Pendiente de solución. Problema 3: Pendiente de solución. Problema 4: Pendiente de solución. Problema 5: Pendiente de solución. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 4 2006, 05:08 PM Publicado: #2
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P1 los numeors pueden ser 1 1 1 2 5 11125=10 1+1+1+2+5=10 -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2006, 03:52 PM Publicado: #3
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed{\mathcal{S}_{P5}}$$ $TEX: $\boxed{\mathcal{P}arte\ (a)}$$ $TEX: \noindent Usaremos esta \'util coloraci\'on:$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img222.imageshack.us/img222/9068/tableritonl5.png');}" /> $TEX: \noindent Donde, si nos fijamos, la pieza cubre s\'olo un casillero rojo, y como hay $25$ casillas rojas, por ahora el m\'inimo de piezas ser\'a $25$. Cubrimos el tablero con las $25$ piezas, qued\'andonos:$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img403.imageshack.us/img403/8538/tablero2uq4.png');}" /> $TEX: \noindent Podemos ver claramente que las seis casillas blancas sobrantes no pueden ser cubiertas por otra pieza, luego la cantidad m\'axima de piezas en el tablero vac\'io son $25$$ $TEX: $\boxed{\mathcal{P}arte\ (b)}$$ $TEX: \noindent Tomando el mismo tablero de la parte $(a)$, notemos que las piezas colocadas cubren s\'olo casilleros blancos, por lo tanto, la cantidad de casilleros blancos $(56)$ se reduce a $47$. Si queremos cubrir el tablero con $25$ piezas, que cubran todas las casillas rojas, tendremos que cubriremos $25\cdot{2}=50$ casillas blancas, por lo tanto, como quedan $47$ casillas blancas, se descarta esta posibilidad. Si queremos cubrir el tablero con $24$ piezas, cubriremos $48$ piezas blancas, por lo tanto este caso no es factible. No nos queda otra alternativa que sean $23$ piezas, $23\cdot{2}=46$, si es factible. La m\'axima cantidad de piezas que se pueden colocar son $23$. A continuaci\'on, el tablero con las $23$ piezas, donde las tres piezas rojas son las que estaban inicialmente puestas.$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img20.imageshack.us/img20/5127/tablerooriginalis5.png');}" /> Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 14 2006, 02:22 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Pregunta 1: Los numeros pueden ser: 1,1,2,2,2. 11222 = 1+1+2+2+2.

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 14 2006, 05:16 PM Publicado: #5
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(The Lord @ Oct 14 2006, 03:22 PM) Pregunta 1: Los numeros pueden ser: 1,1,2,2,2. 11222 = 1+1+2+2+2. La gracia de estos problemas es que pongas alguna justificación, y que des todas las posibilidades. Así que a esperar un resultado más contundente, porque probando dudo que en una prueba como esta ganes algo de puntaje. La solución es correcta, pero hay que mostrar todas las posibilidades, y si no hay, decir por qué. A seguir intentando CITA(zirou @ Jul 4 2006, 06:08 PM) P1 los numeors pueden ser 1 1 1 2 5 11125=10 1+1+1+2+5=10 Lo mismo para zirou... ahí pueden ver que hay más de una solución. Saludos Mensaje modificado por Killua el Oct 14 2006, 05:19 PM -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 4 2006, 01:19 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Killua @ May 29 2006, 04:03 PM) $TEX: $\boxed{\mathcal{P}_{4}}$$ $TEX: \noindent Halla todos los n\'umeros naturales $x, y, z$ que verifican simult\'aneamente$ $TEX: $x\cdot{y}\cdot{z}=4104$$ $TEX: $x+y+z=77$$ $TEX: $\boxed{Sp_4}$$ $TEX: \noindent Notemos que $4104=2^33^319$. Tambien notemos que como 77 es impar, necesariamente 3 de los sumandos son impares o 1 de los sumandos es impar (se descarta que los tres sean impares, porque almenos uno de los factores es potencia de dos). Entonces hay solo 1 sumando impar. \\<br />\\<br />Ahora vamos analizando cada caso, para el cual hay solo 1 impar.\\<br />\\<br />$\boxed{Caso.1}$ Cuando el impar es $3^3$<br />Tenemos:<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />3^3+2^p17+2^q & =77 \\<br />2^p17+2^q & =50 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />$p=$ 1 o 2 y $q=$ 1 o 2 (esto es porq si fuera 0 o 3, ya no tendriamos 2 pares) tal que $p+q=3$\\ <br />Notemos que p=1, porque de no serlo $2^217=76$ , lo que forma contradicion, porq dos sumando enteros distintos de 0, nunca suman 1. Entonces:<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />217+2^2 & =50 \\<br />34+4 & =50 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Se descarta el Caso 1.\\<br />\\<br />$\boxed{Caso .2}$ Cuando el impar solo es $3^2$ \\<br />\\<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />3^2+1923^i+2^23^j & =77 \\<br />383^i+43^j & =68 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />$i=$ 0 o 1 y $j=$ 0 o 1 tal que $i+j=1$\\<br />Es directo que $i \not= 1$ porq de serlo, $1923=114$. Ahora, cuando $i=0$ , queda de la siguiente forma:<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />38+43 & =68 \\<br />38+12 & =68 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Tambien se descarta.\\<br />\\<br />$\boxed{Caso.3}$ Cuando el impar es 3.<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />3+1923^k+2^23^u & = 77 \\<br />383^k+2^23^u & = 74 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />k$=$0 o 1 o 2 y u$=$ 0 o 1 o 2 tal que $k+u=2$<br />$ $TEX: \noindent Notemos que en el mejor de los casos $k=0$ (porque si es 1 o 2, el numero se dispara, superando lo buscado ), quedando:<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />38+2^23^3 & = 74 \\<br />38+108 & = 74 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Claramente no sirve. Se descarta.\\<br />\\<br />$\boxed{Caso.4}$ Cuando el impar es $319=57$ (se descarta $3^219$ y $3^319$)<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />57+2^n3^m+2^t3^r & = 77 \\<br />2^n3^m+2^t3^r & = 20 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />$n=$1 o 2 ; t$=$1 o 2 ; $m=$ 0 o 1 o 2 ; $r=$ 0 o 1 o 2 Tal que $n+t=3$ y $m+r=2$\\<br />Por una simple inspeccion se descarta. \\<br />$\boxed{Caso.5}$ Cuando el impar es 19.<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />19+2^n3^m+2^t3^r & =77 \\<br />2^n3^m+2^t3^r & =58 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />$n=$ 1 o 2 ; t$=$ 1 o 2 ; $m=$ 0 o 1 o 2 o 3 ; $r=$ 0 o 1 o 2 o 3 Tal que $n+t=3$ y $m+r=3$\\<br />Ahora analizemos las posibles soluciones (Notese que no es necesario analizar el n=2, tarea del atento lector, descubrir porque): \\<br />\\<br />1) Cuando n$=$1:<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />23^m+2^23^r & =58 \\<br />23^m+43^r & =58 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Ahora reemplazamos para todo los posibles valores de m y n.<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />2+43^3 =2+108 & = 58 \\<br />23+43^2 = 6+36 & =58 \\<br />23^2+43 =18+12 & = 58 \\<br />23^3+4 = 54+4 & =58 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Notamos que solo la ultima alternativa es solucion.\\<br />$ $TEX: \noindent <br />Finalmente la unica solucion es:<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />x & =19 \\<br />y & =54 \\<br />z & =4 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />\\<br />Saludos <br /><br />$ $TEX: \noindent Notemos que tambien se puede tomar tambien al 1, como el impar, pero no lo puse, para no sobre cargas la solucion mas de lo que esta. No hay solucion de todos modos cuando el 1 es el impar.$ Mensaje modificado por The Lord* el Dec 4 2006, 01:28 PM

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 27 2006, 01:37 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Killua @ Aug 20 2006, 04:52 PM) $TEX: $\boxed{\mathcal{S}_{P5}}$$ $TEX: $\boxed{\mathcal{P}arte\ (a)}$$ $TEX: \noindent Usaremos esta \'util coloraci\'on:$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img222.imageshack.us/img222/9068/tableritonl5.png');}" /> $TEX: \noindent Donde, si nos fijamos, la pieza cubre s\'olo un casillero rojo, y como hay $25$ casillas rojas, por ahora el m\'inimo de piezas ser\'a $25$. Cubrimos el tablero con las $25$ piezas, qued\'andonos:$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img403.imageshack.us/img403/8538/tablero2uq4.png');}" /> $TEX: \noindent Podemos ver claramente que las seis casillas blancas sobrantes no pueden ser cubiertas por otra pieza, luego la cantidad m\'axima de piezas en el tablero vac\'io son $25$$ $TEX: $\boxed{\mathcal{P}arte\ (b)}$$ $TEX: \noindent Tomando el mismo tablero de la parte $(a)$, notemos que las piezas colocadas cubren s\'olo casilleros blancos, por lo tanto, la cantidad de casilleros blancos $(56)$ se reduce a $47$. Si queremos cubrir el tablero con $25$ piezas, que cubran todas las casillas rojas, tendremos que cubriremos $25\cdot{2}=50$ casillas blancas, por lo tanto, como quedan $47$ casillas blancas, se descarta esta posibilidad. Si queremos cubrir el tablero con $24$ piezas, cubriremos $48$ piezas blancas, por lo tanto este caso no es factible. No nos queda otra alternativa que sean $23$ piezas, $23\cdot{2}=46$, si es factible. La m\'axima cantidad de piezas que se pueden colocar son $23$. A continuaci\'on, el tablero con las $23$ piezas, donde las tres piezas rojas son las que estaban inicialmente puestas.$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img20.imageshack.us/img20/5127/tablerooriginalis5.png');}" /> Saludos Creo que fallaste en la parte (a); ya que afirmas que no se pueden colocar mas de 25 fichas; si embargo en la parte (b) pones un diagrama donde caben 26 ; debes arreglar ese punto y justificar mejor Saludos

Kudau Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 8 2007, 10:01 PM Publicado: #8
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 4-January 07 Miembro Nº: 3.514 Sexo:	CITA(The Lord @ Dec 4 2006, 02:19 PM) $TEX: $\boxed{Sp_4}$$ $TEX: \noindent Notemos que $4104=2^33^319$. Tambien notemos que como 77 es impar, necesariamente 3 de los sumandos son impares o 1 de los sumandos es impar (se descarta que los tres sean impares, porque almenos uno de los factores es potencia de dos). Entonces hay solo 1 sumando impar. \\<br />\\<br />Ahora vamos analizando cada caso, para el cual hay solo 1 impar.\\<br />\\<br />$\boxed{Caso.1}$ Cuando el impar es $3^3$<br />Tenemos:<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />3^3+2^p17+2^q & =77 \\<br />2^p17+2^q & =50 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />$p=$ 1 o 2 y $q=$ 1 o 2 (esto es porq si fuera 0 o 3, ya no tendriamos 2 pares) tal que $p+q=3$\\ <br />Notemos que p=1, porque de no serlo $2^217=76$ , lo que forma contradicion, porq dos sumando enteros distintos de 0, nunca suman 1. Entonces:<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />217+2^2 & =50 \\<br />34+4 & =50 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Se descarta el Caso 1.\\<br />\\<br />$\boxed{Caso .2}$ Cuando el impar solo es $3^2$ \\<br />\\<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />3^2+1923^i+2^23^j & =77 \\<br />383^i+43^j & =68 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />$i=$ 0 o 1 y $j=$ 0 o 1 tal que $i+j=1$\\<br />Es directo que $i \not= 1$ porq de serlo, $1923=114$. Ahora, cuando $i=0$ , queda de la siguiente forma:<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />38+43 & =68 \\<br />38+12 & =68 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Tambien se descarta.\\<br />\\<br />$\boxed{Caso.3}$ Cuando el impar es 3.<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />3+1923^k+2^23^u & = 77 \\<br />383^k+2^23^u & = 74 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />k$=$0 o 1 o 2 y u$=$ 0 o 1 o 2 tal que $k+u=2$<br />$ $TEX: \noindent Notemos que en el mejor de los casos $k=0$ (porque si es 1 o 2, el numero se dispara, superando lo buscado ), quedando:<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />38+2^23^3 & = 74 \\<br />38+108 & = 74 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Claramente no sirve. Se descarta.\\<br />\\<br />$\boxed{Caso.4}$ Cuando el impar es $319=57$ (se descarta $3^219$ y $3^319$)<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />57+2^n3^m+2^t3^r & = 77 \\<br />2^n3^m+2^t3^r & = 20 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />$n=$1 o 2 ; t$=$1 o 2 ; $m=$ 0 o 1 o 2 ; $r=$ 0 o 1 o 2 Tal que $n+t=3$ y $m+r=2$\\<br />Por una simple inspeccion se descarta. \\<br />$\boxed{Caso.5}$ Cuando el impar es 19.<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />19+2^n3^m+2^t3^r & =77 \\<br />2^n3^m+2^t3^r & =58 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />$n=$ 1 o 2 ; t$=$ 1 o 2 ; $m=$ 0 o 1 o 2 o 3 ; $r=$ 0 o 1 o 2 o 3 Tal que $n+t=3$ y $m+r=3$\\<br />Ahora analizemos las posibles soluciones (Notese que no es necesario analizar el n=2, tarea del atento lector, descubrir porque): \\<br />\\<br />1) Cuando n$=$1:<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />23^m+2^23^r & =58 \\<br />23^m+43^r & =58 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Ahora reemplazamos para todo los posibles valores de m y n.<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />2+43^3 =2+108 & = 58 \\<br />23+43^2 = 6+36 & =58 \\<br />23^2+43 =18+12 & = 58 \\<br />23^3+4 = 54+4 & =58 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Notamos que solo la ultima alternativa es solucion.\\<br />$ $TEX: \noindent <br />Finalmente la unica solucion es:<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />x & =19 \\<br />y & =54 \\<br />z & =4 \\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />\\<br />Saludos <br /><br />$ $TEX: \noindent Notemos que tambien se puede tomar tambien al 1, como el impar, pero no lo puse, para no sobre cargas la solucion mas de lo que esta. No hay solucion de todos modos cuando el 1 es el impar.$ bueno pero faltò analizar màs... xq otra soluciòn serìa x=38 , y=36, z=3*

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