IX Olimpiada de Mayo, 2003

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IX Olimpiada de Mayo, 2003, Segundo Nivel

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Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2006, 02:38 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	9ª OLIMPIADA DE MAYO Segundo Nivel Problema 1: Se eligen cuatro dígitos $TEX: $a, b, c, d$$ distintos entre sí y distintos de cero y se escribe la lista de todos los números de cuatro cifras que se obtienen intercambiando de lugar los dígitos $TEX: $a, b, c, d$$ ¿Qué dígitos hay que elegir para que la lista tenga la mayor cantidad posible de números de cuatro cifras que sean múltiplos de $TEX: $36$$ ? Problema 2: Sea $TEX: $ABCD$$ un rectángulo de lados $TEX: $\overline{AB}=4$$ y $TEX: $\overline{BC}=3$$ . La perpendicular a la diagonal $TEX: $\overline{BD}$$ trazada por $TEX: $A$$ corta a $TEX: $\overline{BD}$$ en el punto $TEX: $H$$ . Denotamos $TEX: $M$$ al punto medio de $TEX: $\overline{BH}$$ y $TEX: $N$$ al punto medio de $TEX: $\overline{CD}$$ . Calcula la medida de $TEX: $\overline{MN}$$ Problema 3: Encuentre todos los pares de números enteros positivos $TEX: $(a,b)$$ tales que $TEX: $8b+1$$ es múltiplo de $TEX: $a$$ y $TEX: $8a+1$$ es múltiplo de $TEX: $b$$ Problema 4: Beto marcó $TEX: $2003$$ puntos verdes en el plano, de manera que todos los triángulos con sus tres vértices verdes tienen área menor que $TEX: $1$$ . Demuestre que los $TEX: $2003$$ puntos verdes están contenidos en un triángulo $TEX: $\mathcal{T}$$ de área menor que $TEX: $4$$ Problema 5: Una hormiga que está en una arista de un cubo de lado $TEX: $8$$ , debe realizar un recorrido por la superficie del cubo y regresar al punto de partida. Su camino debe contener puntos interiores de las seis caras del cubo y debe visitar sólo una vez cada cara del cubo. Halle la longitud del camino más corto que puede realizar la hormiga y justifique por qué es el camino más corto. Resumen de soluciones Problema 1: Pendiente de solución. Problema 2: Aquí, resuelto por Krizalid. Problema 3: Pendiente de solución. Problema 4: Pendiente de solución. Problema 5: Pendiente de solución. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 4 2006, 01:18 PM Publicado: #2
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Killua @ May 29 2006, 04:38 PM) $TEX: Sea $ABCD$ un rect\'angulo de lados $AB=4$ y $BC=3$. La perpendicular a la diagonal $BD$ trazada por $A$ corta a $BD$ en el punto $H$. Denotamos $M$ al punto medio de $BH$ y $N$ al punto medio de $CD$. Calcula la medida del segmento $MN$.$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img50.imageshack.us/img50/681/recpo3.png');}" /> $TEX: Por $N$ bajamos $\overline {NP} \perp \overline {BD}$.\\<br />\\<br />El $\Delta ADH \sim \Delta DNP$ (criterio AA), luego $\dfrac{{\overline {AD} }}{{\overline {DN} }} = \dfrac{{\overline {DH} }}{{\overline {NP} }}.$ $\overline {AD} = \overline {BC}$ (lados opuestos del rect\'angulo); $\overline {BD}=5$ (tr\'io pitag\'orico $3-4-5$), $\therefore {\text{ }}\overline {AH} = \dfrac{{12}}{5}$. Mediante Pit\'agoras $\overline {DH} = \sqrt {3^2 - \dfrac{{12^2 }}{{5^2 }}} = \dfrac{{\sqrt {15^2 - 12^2 } }}{5} = \dfrac{{\sqrt {(15 + 12)(15 - 12)} }}{5} = \dfrac{{\sqrt {9^2 } }}{5} = \dfrac{9}{5}$, y por tanto $\overline {NP} = \dfrac{6}{5}$. Por otra parte:<br /><br />\begin{eqnarray}<br /> \overline {MP} &=& \overline {MD} - \overline {PD}\\ <br /> &=& \left( {\overline {DH} + \overline {MH} } \right) - \overline {PD}\\ <br /> &=& \left( {\frac{9}<br />{5} + \frac{8}<br />{5}} \right) - \frac{8}<br />{5}\\ <br /> &=& \frac{9}<br />{5}<br />\end{eqnarray}<br />Luego:<br /><br />\begin{eqnarray}<br /> \overline {MN} &=& \sqrt {\frac{{36}}<br />{{25}} + \frac{{81}}<br />{{25}}}\\ <br /> &=& \sqrt {\frac{{117}}<br />{{25}}}\\ <br /> &=& \frac{3}<br />{5}\sqrt {13}<br />\end{eqnarray}$ Mensaje modificado por Krizalid el Jan 24 2007, 10:43 AM

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 6 2007, 07:55 PM Publicado: #3
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Krizalid @ Dec 4 2006, 02:18 PM) $TEX: Por $N$ bajamos $\overline {NP} \perp \overline {BD}$.\\<br />\\<br />El $\Delta ADH \sim \Delta DNP$ (criterio AA), luego $\dfrac{{\overline {AD} }}{{\overline {DN} }} = \dfrac{{\overline {DH} }}{{\overline {NP} }}.$ $\overline {AD} = \overline {BC}$ (lados opuestos del rect\'angulo); $\overline {BD}=5$ (tr\'io pitag\'orico $3-4-5$), $\therefore {\text{ }}\overline {AH} = \dfrac{{12}}{5}$. Mediante Pit\'agoras $\overline {DH} = \sqrt {3^2 - \dfrac{{12^2 }}{{5^2 }}} = \dfrac{{\sqrt {15^2 - 12^2 } }}{5} = \dfrac{{\sqrt {(15 + 12)(15 - 12)} }}{5} = \dfrac{{\sqrt {9^2 } }}{5} = \dfrac{9}{5}$, y por tanto $\overline {NP} = \dfrac{6}{5}$. Por otra parte:<br /><br />\begin{eqnarray}<br /> \overline {MP} &=& \overline {MD} - \overline {PD}\\ <br /> &=& \left( {\overline {DH} + \overline {MH} } \right) - \overline {PD}\\ <br /> &=& \left( {\frac{9}<br />{5} + \frac{8}<br />{5}} \right) - \frac{8}<br />{5}\\ <br /> &=& \frac{9}<br />{5}<br />\end{eqnarray}<br />Luego:<br /><br />\begin{eqnarray}<br /> \overline {MN} &=& \sqrt {\frac{{36}}<br />{{25}} + \frac{{81}}<br />{{25}}}\\ <br /> &=& \sqrt {\frac{{117}}<br />{{25}}}\\ <br /> &=& \frac{3}<br />{5}\sqrt {13}<br />\end{eqnarray}$ Solución correcta, muy bien. Aún quedan problemas por resolver en esta prueba. Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

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