VIII Olimpiada de Mayo, 2002, Segundo Nivel Opciones

[Killua]

8ª OLIMPIADA DE MAYO
Segundo Nivel

Problema 1: Utilizando cubitos blancos de lado se armó un prisma (sin huecos). Se pintaron de negro las caras del prisma. Se sabe que los cubitos que quedaron con exactamente caras blancas son en total. Determina cuáles pueden ser las dimensiones del prisma. Da todas las posibilidades.

Problema 2: Sea un número entero positivo fijo, . Dada una lista de diez números, la operación permitida es: elegir números de la lista, y sumarle a cada uno de ellos. Se obtiene así una nueva lista de diez números. Si inicialmente se tiene la lista determine los valores de para los que es posible, mediante una secuencia de operaciones permitidas, obtener una lista que tenga los diez números iguales.
En cada caso indica la secuencia.

Problema 3: En un , rectángulo en e isósceles, sea un punto del lado , distinto de y y sea el punto de la prolongación del lado tal que el es isósceles. Si es el punto medio de , es el punto medio de y el punto en donde se cortan y , pruebe que el cuadrilátero es un cuadrado.

Problema 4: Los vértices de un polígono regular de lados están numerados del al , en sentido horario. Dado un entero , se colorea de azul el vértice , luego, siguiendo el sentido horario, se cuentan vértices comenzando en el siguiente de , y se colorea de azul el número . Y así sucesivamente, a partir del vértice que sigue al último vértice que se ha coloreado, se cuentan vértices, coloreados o sin colorear, y al número se lo colorea de azul. Cuando el vértice que toca colorear ya es azul, el proceso se detiene. Denotamos al conjunto de vértices azules que se obtienen con este procedimiento cuando se comienza por el vértice . Por ejemplo, está formado por los vértices y

Determine todos los enteros , tales que tiene exactamente vértices.

Problema 5: Dados e enteros positivos, consideramos una cuadrícula de , que tiene coloreados de rojo los puntos que son vértices de cuadraditos. Inicialmente hay una hormiga en cada uno de los puntos rojos. En un instante dado, todas las hormigas comienzan a caminar por las líneas de la cuadrícula, y todas lo hacen con la misma velocidad. Cada vez que llegan a un punto rojo, giran en alguna dirección.

Determine todos los valores de e para los cuales es posible que las hormigas continúen moviéndose indefinidamente de manera que en ningún momento haya dos o más hormigas en un mismo punto rojo. (No interesan las posibles coincidencias en puntos de las líneas de la cuadríicula que no son rojos)

Resumen de soluciones

Problema 1: Pendiente de solución.
Problema 2: Pendiente de solución.
Problema 3: Pendiente de solución.
Problema 4: Pendiente de solución.
Problema 5: Pendiente de solución.

[Alfonso]

En el primer problema del prisma que se pintaba negro, me dio que los valores deben satisfacer la ecuación:

a+b+c=11

Los valores que cumplen con la condicion y con el problema inicial son 4,4,3
quisiera saber si esta bien o no.

Mensaje modificado por Alfonso el Apr 6 2007, 02:04 PM

[Alfonso]

Tambien 3,3,5

[Niklaash]

Solucion p3:

Denotemos al y al . Tenemos que es mediana del rectangulo es isosceles de base

Tenemos que el (opuestos por el vertice) es rectangulo en e isosceles el cuadrilatero es ciclico de esto .

Como es mediana del rectangulo el es isosceles de base , .

Por propiedad "pac-man" entonces es rectangulo en e isosceles.

Tenemos que el cuadrialtero es ciclico ya que, y (corbata) y . Como y son respectivas medianas de los triangulos rectangulos y ,.

y . Tenemos que los de esto, y

Por lo tanto el cuadrilatero es un cuadrado.

Mensaje modificado por Niklaash el Mar 20 2013, 11:02 PM

[Heiricar]

Hola Niklaash que bueno que te estés interesando en el sector olimpiadas, hace falta gente nueva que se integre por estos lados

Tu solución al problema esta super buena en general pero tiene unos detalles que se pueden mejorar, por ejemplo cuando mencionas que los triángulos APQ y ARQ son congruentes tienes que mencionar el criterio de congruencia que ocupas, (esto es más que nada por un tema de formalidad y también para que quien revise pueda entender que concluiste la congruencia a través de argumentos validos y no chamullaste)

Por otro lado al final dices

de esto, y
Por lo tanto el cuadrilatero es un cuadrado.

Pero, ¿es cierto que AP//RQ y PQ//AR es suficiente para concluir que APQR es un cuadrado? esa parte de la solución habría que volver a formularla.
Se que son detalles pequeños pero tienes que considerar que al momento de competir en una olimpiada detalles como esos te puede perjudicar, así que es mejor que te acostumbres a dar soluciones intachables
Como dato curioso la circunferencia circunscrita al triangulo APQR sería la circunferencia de los nueve puntos del triangulo EBC

[Niklaash]

Hola Niklaash que bueno que te estés interesando en el sector olimpiadas, hace falta gente nueva que se integre por estos lados

Tu solución al problema esta super buena en general pero tiene unos detalles que se pueden mejorar, por ejemplo cuando mencionas que los triángulos APQ y ARQ son congruentes tienes que mencionar el criterio de congruencia que ocupas, (esto es más que nada por un tema de formalidad y también para que quien revise pueda entender que concluiste la congruencia a través de argumentos validos y no chamullaste)

Por otro lado al final dices
Pero, ¿es cierto que AP//RQ y PQ//AR es suficiente para concluir que APQR es un cuadrado? esa parte de la solución habría que volver a formularla.
Se que son detalles pequeños pero tienes que considerar que al momento de competir en una olimpiada detalles como esos te puede perjudicar, así que es mejor que te acostumbres a dar soluciones intachables
Como dato curioso la circunferencia circunscrita al triangulo APQR sería la circunferencia de los nueve puntos del triangulo EBC

Oh... se me fue señalar el criterio que use para validar la congruencia de los triangulos u,u

Pero... al señalar que los triangulos que "formaban" el cuadrado son congruentes
tenemos que los 4 lados que formaban al cuadrado eran iguales, y por el paralelismo
formamos la "Z" (diagonal) y tenemos congruencia de angulos, y angulos rectos de los
triangulos :c , nose si hay que justificar mas cosas :c

pd: Gracias por la recibida <3

[Niklaash]

Hola Niklaash que bueno que te estés interesando en el sector olimpiadas, hace falta gente nueva que se integre por estos lados

Tu solución al problema esta super buena en general pero tiene unos detalles que se pueden mejorar, por ejemplo cuando mencionas que los triángulos APQ y ARQ son congruentes tienes que mencionar el criterio de congruencia que ocupas, (esto es más que nada por un tema de formalidad y también para que quien revise pueda entender que concluiste la congruencia a través de argumentos validos y no chamullaste)

Por otro lado al final dices
Pero, ¿es cierto que AP//RQ y PQ//AR es suficiente para concluir que APQR es un cuadrado? esa parte de la solución habría que volver a formularla.
Se que son detalles pequeños pero tienes que considerar que al momento de competir en una olimpiada detalles como esos te puede perjudicar, así que es mejor que te acostumbres a dar soluciones intachables
Como dato curioso la circunferencia circunscrita al triangulo APQR sería la circunferencia de los nueve puntos del triangulo EBC

Oh... se me fue señalar el criterio que use para validar la congruencia de los triangulos u,u

Pero... al señalar que los triangulos que "formaban" el cuadrado son congruentes
tenemos que los 4 lados que formaban al cuadrado eran iguales, y por el paralelismo
formamos la "Z" (diagonal) y tenemos congruencia de angulos, y angulos rectos de los
triangulos :c , nose si hay que justificar mas cosas :c

pd: Gracias por la recibida <3