Segundo Nivel Individual

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daniel_contreras... daniel_contreras(IN) Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2006, 09:13 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 18 Registrado: 15-December 05 Miembro Nº: 470 Nacionalidad: Sexo:	(1) La secretaria María José intenta digitar un número de 6 dígitos que lleva dos unos, pero éstos no aparecen, pues el teclado está con defectos y lo que aparece en la pantalla es 2006. ¿Cuántos son los posibles números de 6 dígitos que María José intentó digitar? (2) Es común que algunos alumnos (no los del CMAT) sumen fracciones de la siguiente forma: $TEX: $\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1+1}{5+8}=\dfrac{2}{13}$$ Encontrar si existen números enteros a,b tales que: $TEX: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{a+b}$$

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2006, 10:12 PM Publicado: #2
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed{\mathcal{S}_{P2}}$$ $TEX: \noindent Notemos que:$ $TEX: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{a+b}$$ $TEX: $\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{2}{a+b}/\cdot(a+b)$$ $TEX: $\dfrac{(a+b)^2}{ab}=2/\cdot{ab}$$ $TEX: $a^2+b^2+2ab=2ab$$ $TEX: $a^2+b^2=0$$ $TEX: \noindent Pero esto \'utimo es imposible, ya que $a^2$ es el inverso aditivo de $b^2$, luego, uno de los dos es negativo, pero esto es imposible ya que $\forall{x}\in{\mathbb{R}}, x^2\ge{0}$. Tambi\'en se descarta la posibilidad de que $a$ y $b$ sean los dos cero, puesto que las fracciones $\dfrac{1}{a}$ y $\dfrac{1}{b}$ estar\'ian indeterminadas (la divisi\'on por 0 no est\'a permitida)$ $TEX: \noindent Se concluye entonces que no existen tales $a$ y $b$$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

ZeuS Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 21 2006, 09:52 AM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 209 Registrado: 12-June 05 Desde: Sagrados Corazones Alameda Miembro Nº: 98 Nacionalidad: Sexo:	Los dos numeros $TEX: 1$ pertenecen a un mismo tipo de elemento para este problema ... tambien sabemos que debemos mezclar estos dos elementos en $TEX: 6$ cosas , o sea en $TEX: 6$ espacios de cifras , puesto que el numero es de $TEX: 6$ cifras. Luego, queremos saber cuantas maneras existen para combinar dos elementos en $TEX: 6$ cosas ... utilizando la nocion de combinatoria, lo anterior expresado matematicamente queda: $TEX: $\displaystyle{6\choose 2} = \frac{6!}{2!\cdot(6-2)!} = \frac{6!}{2!\cdot4!} = \frac{4!\cdot5\cdot6}{2!\cdot4!} = \frac{5\cdot6}{2!} = \frac{5\cdot6}{2} = {5\cdot3} = 15$$ Y asi, obtenemos que Maria Jose pudo digitar $TEX: 15$ posibles numeros. PD: se que es un tanque para un problema de cmat, pero la solucion se ve bonita -------------------- SS - CC , SS - CC , SS - CC , SAGRADOS CORAZONES DE ALAMEDA!! T_TNIVERSIDAD DE CHILE GRACIAS POR EXISTIR!!! VAMOS LOS LEONES!!!

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 21 2006, 11:34 AM Publicado: #4
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(ZeuS @ May 21 2006, 10:52 AM) Los dos numeros $TEX: 1$ pertenecen a un mismo tipo de elemento para este problema ... tambien sabemos que debemos mezclar estos dos elementos en $TEX: 6$ cosas , o sea en $TEX: 6$ espacios de cifras , puesto que el numero es de $TEX: 6$ cifras. Luego, queremos saber cuantas maneras existen para combinar dos elementos en $TEX: 6$ cosas ... utilizando la nocion de combinatoria, lo anterior expresado matematicamente queda: $TEX: $\displaystyle{6\choose 2} = \frac{6!}{2!\cdot(6-2)!} = \frac{6!}{2!\cdot4!} = \frac{4!\cdot5\cdot6}{2!\cdot4!} = \frac{5\cdot6}{2!} = \frac{5\cdot6}{2} = {5\cdot3} = 15$$ Y asi, obtenemos que Maria Jose pudo digitar $TEX: 15$ posibles numeros. PD: se que es un tanque para un problema de cmat, pero la solucion se ve bonita esta bonita, pero la solucion estaba regalada xDD cuando estaba en NM2 nunk me toco uno asi -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

Animiko Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 22 2006, 10:39 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 336 Registrado: 26-May 05 Desde: Pte Asalto Miembro Nº: 63 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(ziroujack @ May 21 2006, 12:34 PM) esta bonita, pero la solucion estaba regalada xDD cuando estaba en NM2 nunk me toco uno asi Pero hay que tomar en cuenta que a este nivel, la mayoría de los alumnos no sabe combinatoria por lo que el problema se les complica más.... --------------------

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 23 2006, 08:37 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Animiko @ May 22 2006, 11:39 PM) Pero hay que tomar en cuenta que a este nivel, la mayoría de los alumnos no sabe combinatoria por lo que el problema se les complica más.... Pero con un poco de paciencia podías exponer todas las posibilidades, no son muchas, y puede intentar explicarse que no hay más. Por eso iba en segundo medio -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

mahuachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 23 2006, 05:30 PM Publicado: #7
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 57 Registrado: 22-April 06 Desde: ? Miembro Nº: 922	Oigan...si pongo todas las posibilidades? O sea las escribo... Cuanto me descuentan (solo ponerlas, sin justificar con combinatoria) 120061 201061 120016 120106 120106 210061 121006 210106 201016 200161 112006 211006 201106 200116 200611 Cuantos ptos. dan? -------------------- ¡¡El talento no discrimina lugar de nacimiento ni condicion social!! Jonas Valdivieso

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 23 2006, 06:46 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	No sabría decirte, porque me imagino (no lo he confirmado) que muchos lo hicieron así. En tu caso, no mucho, porque tipeaste dos números iguales. No es por ser molestoso ni nada por el estilo, estoy hablando en serio quie pusiste dos números iguales, así que comienza con corregir ese detalle. Después vemos qué sucede -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

mahuachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 24 2006, 02:59 PM Publicado: #9
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 57 Registrado: 22-April 06 Desde: ? Miembro Nº: 922	a verdad xd... no pero en la prueba lo hice bien -------------------- ¡¡El talento no discrimina lugar de nacimiento ni condicion social!! Jonas Valdivieso

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 24 2006, 09:05 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Entonces estamos a la espera de que edites tu mensaje anterior, para que realmente hayan quince números distintos con las propiedades indicadas. Después de esó podría decirte qué va a suceder al corregir tu prueba. Les comento que la corrección no es al lote, en realidad se siguen ciertos parámetros. Previamente se crea una pauta, que debe predecir la mayor cantidad posible de situaciones, de este modo la corrección se hace realmente justa. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

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