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> Prueba Grupal (Tercer y Cuarto Nivel)
tt14123
mensaje May 24 2006, 01:10 PM
Publicado: #21


Dios Matemático
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TEX: P8)

TEX: Sabemos que el termino central esta en la diagonal principal, y entre todos los terminos de la diagonal principal hay una relacion:

TEX: $d_n = d_i+(n+1)(n-i)$

TEX: donde $d_n$ es el ultimo termino de la diagonal del cuadrado de orden $n$ (que tambien es el ultimo termino de la sucesion $A_n$), y $d_i$ cualquier termino de la diagonal principal, donde $i$ es su posicion dentro de la diagonal principal.

TEX: Ahora sabemos que el termino central esta en la posicion $\frac{n+1}{2}$, entonces:

TEX: $$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = d_{\frac{n+1}{2}}+(n+1)(n-\frac{n+1}{2})$$

TEX: $$\frac{2n^3+3n^2+n}{6} = t_{central}+\frac{n^2-1}{2}$$

TEX: $$\frac{2n^3+3n^2+n}{6}-\frac{3n^2-3}{6} = t_{central}$$

TEX: $$\frac{2n^3+n+3}{6} = t_{central}$$

TEX: Ahora la suma de sus vertices es:

TEX: $$S_v = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-(n-1)]+[\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}+1]+[\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}+1$$
TEX: $$+(n-1)]$$

TEX: $$S_v = 2[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}]+2[\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}+1]$$

TEX: $$S_v = \frac{2n^3+3n^2+n}{3}+\frac{2n^3-3n^2+n+6}{3}$$

TEX: $$S_v = \frac{4n^3+2n+6}{3}$$

TEX: $$\frac{S_v}{4} = \frac{2n^3+n+3}{6}$$

TEX: Por lo tanto:

TEX: $$t_{central} = \frac{S_v}{4}$$

TEX: SALU victory.gif
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